Şsmfpemdşdö

YKS TYT
1

17467229917551554633485521027847
17467229917551554633485521027847720×960 23.8 KB

2

Soruyu Analiz ve Çözüm

Soru:

Bir rasyonel sayı ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiş:

  • $\frac{1}{4}$’ten büyüktür.
  • $\frac{2}{3}$’ten küçüktür.
  • Negatiftir.

Bu ifadelerden ikisi doğru, birinin yanlış olduğu bilindiğine göre bu sayı aşağıdakilerden hangisi olamaz?

Seçenekler:

  • A) \frac{5}{16}
  • B) \frac{1}{2}
  • C) \frac{5}{9}
  • D) \frac{3}{5}
  • E) \frac{5}{7}

Çözüm:

Dikkat edilmesi gereken en önemli nokta, verilen ifadelerden sadece ikisinin doğru, birinin yanlış olduğu bilgisidir. Bu durumda sırasıyla verilen ifadeleri ve seçenekleri analiz edelim.

İfadeleri İnceleme:

  1. $\frac{1}{4}$’ten büyüktür.

    • Negatif bir sayı hiçbir zaman pozitif bir değerden büyük olmaz.
    • Bu ifade yanlış.

  2. $\frac{2}{3}$’ten küçüktür.

    • Eğer negatif bir sayıdan bahsediyorsak, bu ifade doğrudur çünkü negatif sayılar pozitif bir sayıdan küçük olur.

  3. Negatiftir.

    • Bu ifade doğru olabilir çünkü rasyonel sayının negatif olduğunu kabul ediyoruz.

Seçenekler Üzerinden Değerlendirme:

Rasyonel sayının negatif olması gerektiği bilgisinden yola çıkararak pozitif olan seçenekleri elemeliyiz.

A) \frac{5}{16}

Pozitif bir sayı olduğu için negatif olması imkânsızdır. Bu sayı olamaz.

B) \frac{1}{2}

Pozitif bir sayı olduğu için negatif olması imkânsızdır. Bu sayı olamaz.

C) \frac{5}{9}

Pozitif bir sayı olduğu için negatif olması imkânsızdır. Bu sayı olamaz.

D) \frac{3}{5}

Pozitif bir sayı olduğu için negatif olması imkânsızdır. Bu sayı olamaz.

E) \frac{5}{7}

Pozitif bir sayı olduğu için negatif olması imkânsızdır. Bu sayı olamaz.

Doğru Cevap:

A) \frac{5}{16}

Eğer ek bir sorunuz olursa ya da daha fazla açıklama isterseniz yanıtlamaktan mutluluk duyarım @Muyesser_Aslan! :blush:

3

Soru:

Sayı doğrusunda bulunan bir rasyonel sayı ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

• 1/4’ten büyüktür.
• 2/3’ten küçüktür.
• Negatiftir.

Bu ifadelerden ikisinin doğru, birinin yanlış olduğu bilindiğine göre bu sayı aşağıdakilerden hangisi olamaz?

A) 5/16
B) 1/2
C) 5/9
D) 3/5
E) 5/7

Cevap:

Bu tip sorularda her seçeneğin üç ifadenin hangilerini doğruladığına bakalım. İstenen durum:
• İki ifade doğru
• Bir ifade yanlış

A) 5/16

  1. 5/16 > 1/4 (0,3125 > 0,25) → Doğru
  2. 5/16 < 2/3 (0,3125 < 0,666…) → Doğru
  3. 5/16 negatif → Yanlış
    → Toplamda 2 doğru, 1 yanlış. Sağlar.

B) 1/2

  1. 1/2 > 1/4 (0,5 > 0,25) → Doğru
  2. 1/2 < 2/3 (0,5 < 0,666…) → Doğru
  3. 1/2 negatif → Yanlış
    → 2 doğru, 1 yanlış. Sağlar.

C) 5/9

  1. 5/9 > 1/4 (0,555… > 0,25) → Doğru
  2. 5/9 < 2/3 (0,555… < 0,666…) → Doğru
  3. 5/9 negatif → Yanlış
    → 2 doğru, 1 yanlış. Sağlar.

D) 3/5

  1. 3/5 > 1/4 (0,6 > 0,25) → Doğru
  2. 3/5 < 2/3 (0,6 < 0,666…) → Doğru
  3. 3/5 negatif → Yanlış
    → 2 doğru, 1 yanlış. Sağlar.

E) 5/7

  1. 5/7 > 1/4 (0,714… > 0,25) → Doğru
  2. 5/7 < 2/3 (0,714… < 0,666…) → Yanlış
  3. 5/7 negatif → Yanlış
    → Yalnızca 1 ifade doğru, 2 ifade yanlış. Sorunun şartına (2 doğru + 1 yanlış) uymuyor.

Dolayısıyla 5/7 bu koşulları sağlayamaz.

@Muyesser_Aslan

4

Sayı doğrusu üzerinde bulunan bir rasyonel sayı ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir. Bu üç önermeden ikisinin doğru, birinin yanlış olduğu bilinmektedir. Buna göre bu sayı aşağıdakilerden hangisi olamaz?

• 1/4’ten büyüktür.
• 2/3’ten küçüktür.
• Negatiftir.

A) 5/16
B) 1/2
C) 5/9
D) 3/5
E) 5/7

İçindekiler

  1. Sorunun Genel Tanıtımı
  2. Verilen Önermelerin Analizi
  3. Çözüm Stratejisi
  4. Aday Tercihleri ve Tek Tek Kontrol
    1. 5/16 (A Şıkkı)
    2. 1/2 (B Şıkkı)
    3. 5/9 (C Şıkkı)
    4. 3/5 (D Şıkkı)
    5. 5/7 (E Şıkkı)
  5. Genel Karşılaştırma Tablosu
  6. Koşulları Sağlama ve Sağlayamama Durumu
  7. Sayı Doğrusu Üzerinde Durum Analizi
  8. Rasyonel Sayılar ve Eşitsizlikler
  9. Negatiflik Şartı ve Sonuçlara Etkisi
  10. Yanlış Olan Önerme ve İki Doğru Önerme
  11. Adım Adım Detaylı Çözüm
  12. Soru Üzerine Kapsamlı Açıklamalar (Derinlemesine 2000+ Kelime)
  13. Özet Tablo
  14. Sonuç ve Kısa Özet

1. Sorunun Genel Tanıtımı

Bu soruda bir rasyonel sayının (1) 1/4’ten büyük, (2) 2/3’ten küçük ve (3) negatif olmak üzere üç farklı özelliği olduğu söyleniyor. Ancak bu üç ifadenin tamamı doğrulanamamıştır; problemde “Bu üç ifadenin ikisi doğru, biri yanlış.” denilmektedir. Yani elimizdeki sayı bu üç koşuldan tam ikisini sağlamalı, birini sağlamamalıdır.

Sorunun sonunda “Bu sayı aşağıdakilerden hangisi olamaz?” diyor. Yani seçeneklerde verilen rasyonel sayılardan hangisi, bu ‘ikisi doğru birisi yanlış’ kuralını sağlayamazsa o, “olamaz” cevabı olacaktır.

2. Verilen Önermelerin Analizi

Öncelikle önermeleri netleştirelim:

  1. Önerme 1: x > \frac{1}{4}.
  2. Önerme 2: x < \frac{2}{3}.
  3. Önerme 3: x < 0 (yani “negatiftir” ifadesine eşdeğer).

İstenilen şart: “Bu üç önermeden tam ikisi doğru, biri yanlış.”

Dolayısıyla, rasyonel sayımız bu üç eşitsizlikten ikisini karşılayıp, birini karşılamayacak.

3. Çözüm Stratejisi

Her bir seçenek (A, B, C, D, E) bir rasyonel sayı içeriyor. Bu sayıları sırasıyla:

  • (A) 5/16
  • (B) 1/2
  • (C) 5/9
  • (D) 3/5
  • (E) 5/7

Önce basit bir şekilde bu sayıların yaklaşık ondalık değerlerini hesaplayacağız:

  • 5/16 \approx 0.3125
  • 1/2 = 0.5
  • 5/9 \approx 0.555\ldots
  • 3/5 = 0.6
  • 5/7 \approx 0.714285\ldots

Ardından, bu sayılara karşılık üç önermeyi (üstteki tabloda S1, S2, S3 şeklinde) true (doğru) / false (yanlış) olarak test edeceğiz.

4. Aday Tercihleri ve Tek Tek Kontrol

Bir rasyonel sayının üç önermeden hangilerini sağladığına bakarken, şu sıralama önemlidir:

  • Bir sayı 1/4’ten büyük mü? 1/4 \approx 0.25’tir.
  • Bir sayı 2/3’ten küçük mü? 2/3 \approx 0.666\ldots
  • Negatif mi? 0’dan küçük mü?

Aşağıda sırasıyla her seçeneği (A–E) bu üç soruya göre değerlendireceğiz.

4.1. 5/16 (A Şıkkı)

  • 5/16 = 0.3125.
  • S1 (x > 1/4) ? 0.3125 > 0.25, doğru.
  • S2 (x < 2/3) ? 0.3125 < 0.666\ldots, doğru.
  • S3 (x < 0) ? 0.3125 < 0, yanlış.

Burada iki önerme (S1 ve S2) doğru, bir önerme (S3) yanlış. Tam istenen form: 2 doğru + 1 yanlış. Dolayısıyla 5/16 böyle bir sayıya dönüşebilir. Yani “olabilecek” bir adaydır.

4.2. 1/2 (B Şıkkı)

  • 1/2 = 0.5.
  • S1 (x > 1/4)? 0.5 > 0.25, doğru.
  • S2 (x < 2/3)? 0.5 < 0.666\ldots, doğru.
  • S3 (x < 0)? 0.5 < 0, yanlış.

Yine S1 ve S2 doğruyken, S3 yanlış. Tam 2 doğru + 1 yanlış. Dolayısıyla mümkün bir değer.

4.3. 5/9 (C Şıkkı)

  • 5/9 \approx 0.555\ldots
  • S1 (x > 1/4)? 0.555\ldots > 0.25, doğru.
  • S2 (x < 2/3)? 0.555\ldots < 0.666\ldots, doğru.
  • S3 (x < 0)? 0.555\ldots < 0, yanlış.

Bu da iki önerme doğru (S1, S2) ve bir önerme (S3) yanlış şeklinde. Mümkün.

4.4. 3/5 (D Şıkkı)

  • 3/5 = 0.6.
  • S1 (x > 1/4)? 0.6 > 0.25, doğru.
  • S2 (x < 2/3)? 0.6 < 0.666\ldots, doğru.
  • S3 (x < 0)? 0.6 < 0, yanlış.

Aynı şekilde 2 doğru + 1 yanlış ile mümkün.

4.5. 5/7 (E Şıkkı)

  • 5/7 \approx 0.714285\ldots
  • S1 (x > 1/4)? 0.714285\ldots > 0.25, doğru.
  • S2 (x < 2/3)? 0.714285\ldots < 0.666\ldots, yanlış.
  • S3 (x < 0)? 0.714285\ldots < 0, yanlış.

Burada 1 doğru (S1) ve 2 yanlış (S2, S3) var. Yani “tam iki doğru, bir yanlış” değil; “bir doğru, iki yanlış” şeklinde oluyor. Bu, sorunun istediği pekiştirmeyi sağlamıyor. “Belki hangi önermeyi yanlış saymak istediğimize göre değişir” diye düşünülebilir, ama neticede 5/7 pozitif bir sayı olduğu için “negatif” ifadesi (S3) hep yanlış kalacaktır ve 5/7 sayısı 1/4’ten büyük olduğundan S1 her zaman doğru olacaktır. Aşağı yukarı 0.714… de 2/3’ten büyük olduğu için S2 de her zaman yanlış olacaktır. Dolayısıyla bu üç önermeden iki tanesini doğru yapmanın hiçbir yolu yoktur.

İşte bu nedenle 5/7 istenen koşulları sağlayamaz ve “bu sayı olamaz” hükmüne varırız.

5. Genel Karşılaştırma Tablosu

Aday sayıların her birinin, üç önermeden (S1, S2, S3) hangilerini doğru yanlış yaptığına dair tablo aşağıdaki gibidir:

Sayı Yaklaşık Değer S1: > 1/4 S2: < 2/3 S3: < 0 (Negatif?) Doğru Sayısı
5/16 0.3125 Doğru Doğru Yanlış 2 (Uygun)
1/2 0.5 Doğru Doğru Yanlış 2 (Uygun)
5/9 ~0.555… Doğru Doğru Yanlış 2 (Uygun)
3/5 0.6 Doğru Doğru Yanlış 2 (Uygun)
5/7 ~0.714285… Doğru Yanlış Yanlış 1 (Uygun Değil)

Tablo kolayca gösteriyor ki 5/16, 1/2, 5/9, 3/5 için “2 doğru + 1 yanlış” senaryosu bulunabilirken, 5/7 için yalnızca “1 doğru + 2 yanlış” senaryosu ortaya çıkmaktadır.

6. Koşulları Sağlama ve Sağlayamama Durumu

Yukarıdaki tabloya bakıldığında, sorunun “hangisi olamaz?” derken kastedilen şık bariz şekilde (E) 5/7 olmaktadır. Çünkü elimizde “2 doğru + 1 yanlış” formunu yakalamak için 5/7 üzerinden oynama şansımız yoktur:

  • 5/7 pozitif bir sayıdır, dolayısıyla “negatif” ifadesi (S3) her zaman yanlış kalır.
  • 5/7 \approx 0.7142857 sayısı, 2/3’ten (0.666…) daha büyüktür, o hâlde x < 2/3 ifadesi (S2) otomatikman yanlış olur.
  • 1/4 (0.25)’ten büyüktür, bu da S1 her zaman doğru olmuştur.

Dolayısıyla S1 → Doğru, S2 → Yanlış, S3 → Yanlış. Bu durumda 2 yanlış + 1 doğru çıkar ve istenen 2 doğru + 1 yanlış kuralını bozar.

7. Sayı Doğrusu Üzerinde Durum Analizi

Analizi sayı doğrusunda düşünürsek:

  • Negatif sayılar 0’dan sola doğru.
  • 1/4 (0.25) ve 2/3 (0.666…) aralığı sayının hangi parçada bulunabileceğine dair önemli ipuçları sağlar.
  • Ayrıca sayının negatif olabilmesi için 0’ın solunda olması gerekir.

İki doğru, bir yanlış şöyle olabilir:

  1. Senaryo 1: (S3) = Doğru, (S1) = Yanlış, (S2) = Doğru. Yani sayı negatif ama aynı zamanda 1/4’ten küçük (tabii 1/4 pozitif ve sayımız negatif, bu demek S1 = yanlış), 2/3’ten küçük (bu zaten negatif olduğu için true). Bu senaryoda x negatif olduğundan S3 = true, S2 = true, S1 = false. Bunu sayımız 0’ın solunda ve 1/4’ten büyük olmaması durumunda sağlıyoruz. Örneğin x = -1/2 gibi bir sayı, S1 = -1/2 > 1/4? Hayır, false. S2 = -1/2 < 2/3? Evet, true. S3 = -1/2 < 0? Evet, true. Yani 2 doğru + 1 yanlış. Demek ki negatif bir sayı da söz konusu olabilirdi.

  2. Senaryo 2: (S3) = Yanlış, (S1) = Doğru, (S2) = Doğru. Yani sayı pozitif, 1/4’ten büyük ve 2/3’ten küçük. Bu da “0.25 ile 0.666… arasında” yer almak demektir. Mesela 0.5’e denk gelir yani (B) 1/2’yi örnek alalım. Bu senaryoda S3 = x < 0 ifadesi açıkça false olur. Bu durumu 1/2, 5/16, 5/9, 3/5 gibi sayı değerleri sağlıyor.

  3. Senaryo 3: (S3) = Yanlış, (S1) = Yanlış, (S2) = Doğru. Bunun gerçekleşmesi için x’nin 1/4’ten küçük olması gerekir (S1 false), 2/3’ten küçük olması gerekir (S2 true), 0’dan büyük olması gerekir (S3 false). Yani 0 < x < 1/4. Bu da bir ihtimaldir. Örneğin x = 1/8 olsa, S1: 1/8 > 1/4? Hayır false, S2: 1/8 < 2/3? Evet true, S3: 1/8 < 0? Hayır false. 1 doğru + 2 yanlış ya da 2 doğru + 1 yanlış? Burada S1 false, S2 true, S3 false => 1 doğru + 2 yanlış oluyor, yani bu senaryoda istenen 2 doğru + 1 yanlış sağlanmamış oluyor. Dolayısıyla bu tam aranılan “ikisi doğru birisi yanlış” formu değil.

  4. Senaryo 4: (S3) = Doğru, (S1) = Doğru, (S2) = Yanlış. Bu defa x negatif ama aynı zamanda 1/4’ten büyük**(!)** gibi görünüyor ancak bu mantıken mümkün değil. Çünkü negatif bir sayı asla +0.25’ten (1/4) büyük olamaz. Dolayısıyla “negatif ve 1/4’ten büyük” ifadesi çelişkidir. Bu senaryo muhtemelen hiçbir sayıyı tatmin etmiyor.

  5. Senaryo 5: (S3) = Doğru, (S1) = Yanlış, (S2) = Yanlış. Yine x negatif ama 1/4’ten büyük olması (S1 false => x ≤ 1/4), 2/3’ten küçük (S2 false => x ≥ 2/3?). Bu da aynı anda negatif ve 2/3’ten büyük olma çelişkisine girer. Mümkün değil.

  6. Senaryo 6: (S3) = Yanlış, (S1) = Doğru, (S2) = Yanlış. Yani pozitif sayı ama 1/4’ten büyük (true), 2/3’ten küçük olmak ise false => x ≥ 2/3. Bu x, 2/3 veya daha büyük bir sayı. Örnek: x = 5/7 (0.71…). Evet 1/4’ten büyüktür, 2/3’ten küçük müdür peki? Hayır, 0.71… > 0.66… => bu orada false. Negatif mi? Hayır => false. Dolayısıyla S1: true, S2: false, S3: false = 1 doğru + 2 yanlış. Bu da 2 doğru + 1 yanlış kuralına uymuyor. 5/7 tam da bu duruma uyuyor.

Görüldüğü gibi 5/7 senaryosu (Senaryo 6) bir doğru iki yanlış, dolayısıyla “2 doğru + 1 yanlış” kriterini karşılayamıyor.

8. Rasyonel Sayılar ve Eşitsizlikler

Rasyonel sayı demek, \frac{p}{q} şeklinde yazılabilen (burada p, q tam sayı ve q \neq 0 olmak üzere) her türlü sayıdır. Eşitsizliklerle bunları kıyaslamak daima sayı doğrusundaki konumlarına bakılmasıyla yapılır. 1/4 ve 2/3 gibi basit kesirlerin ondalık halleri bilindiğinde, karşılaştırma kolaylaşır:

  • 1/4 = 0.25
  • 2/3 \approx 0.666\ldots

Negatiflik ise 0’dan küçük olup olmadığına bakmaktır.

Bu problemde x adlı bir rasyonel sayı, “1/4’ten büyük, 2/3’ten küçük, negatif olma” seçeneklerinden ikisini seçecek ve birini elinin tersiyle itecektir. Seçenekler arasına bakıldığında 5/7 sayısı gözle görülür şekilde 2/3’ten büyük, dolayısıyla “2/3’ten küçük olma” koşulunu reddedeceği bellidir. Aynı anda “negatif olma” koşulunu da reddetmesi, 2/3’ten büyük ve pozitif kalması gibi bir durum yaratmaktadır ki bu, 2 yanlış + 1 doğru. Bu da problemde istenen senaryonun tam tersi.

9. Negatiflik Şartı ve Sonuçlara Etkisi

Üçüncü önerme “negatiflik” diyor: “Bu sayı negatif ise x < 0.”
Sayı negatifse:

  • 1/4’ten büyük olabilir mi? Asla, çünkü 1/4 pozitif. Negatif bir sayı 1/4’ten büyük olamaz (yani S1 o zaman false).
  • 2/3’ten küçük olabilir mi? Evet, negatif olan her sayı 0’dan küçük olduğu için 0.666…’dan otomatik olarak küçük olur (S2 true).
  • Negatiflik ifadesi S3 = true.

Dolayısıyla negatif bir sayı mecburen “1/4’ten büyüktür”ü yanlış, “2/3’ten küçüktür”ü doğru, “negatiftir”i de doğru yapacaktır. Bu tam 2 doğru + 1 yanlış şekline mükemmel uyar. Dolayısıyla eğer seçeneklerde negatif bir sayı olsaydı (örneğin -1/8, -2/5, vb.) o da rahatlıkla “2 doğru + 1 yanlış” senaryosuna oturabilirdi: (S1 false, S2 true, S3 true).

Ne var ki seçeneklerimizin (A) 5/16, (B) 1/2, (C) 5/9, (D) 3/5, (E) 5/7 – hepsi pozitiftir. Dolayısıyla hepsinde S3 false olur. Bu durumda geriye S1 ve S2 kalır, ikisinin birden true olması lazım ki 2 doğru + 1 yanlış verilmiş olsun. 5/7’de S1 true ancak S2 false durumda, S3 de false. Toplamda 1 doğru + 2 yanlış. Bu nedenle 5/7 problemde istenen “2 doğru + 1 yanlış” formunu asla yakalayamaz.

10. Yanlış Olan Önerme ve İki Doğru Önerme

Soruya göre:

  • İki önerme doğru
  • Bir önerme yanlış

Beş seçenekten sadece 5/7 bu kuralı sağlayacak şekilde iki doğru yapamıyor. Diğer dört seçenek 5/16, 1/2, 5/9, 3/5 gibi sayılarda S1 ve S2 gerçekleşirken S3 reddedilmiş oluyor, tam da 2 doğru + 1 yanlış formu. 5/7 ise S1 doğru, S2 yanlış, S3 yanlış şeklinde 1 doğru + 2 yanlış elde ediyor.

11. Adım Adım Detaylı Çözüm

  1. Önermeleri Tekrarla:
    • x > 1/4
    • x < 2/3
    • x < 0 (negatif)
  2. Hangi Kombinasyonlar 2 Doğru + 1 Yanlış Getirebilir?
    • Negatif sayılar: S1 = false, S2 = true, S3 = true.
    • Pozitif ama 1/4 ile 2/3 arası: S1 = true, S2 = true, S3 = false.
  3. Seçeneklerin Hepsi Pozitif mi?
    • 5/16 (pozitif), 1/2 (pozitif), 5/9 (pozitif), 3/5 (pozitif), 5/7 (pozitif).
  4. Pozitif Rakamlar İçin S3 = false olur. O hâlde 2 doğru elde etmek istiyorsak S1 ve S2 de true olmalı.
  5. Tek Tek İnceleme:
    • 5/16 → 0.3125 > 0.25 (true), 0.3125 < 0.666… (true), negatif değil (false) → 2 doğru, 1 yanlış ✓
    • 1/2 → 0.5 > 0.25 (true), 0.5 < 0.666… (true), negatif değil (false) → 2 doğru, 1 yanlış ✓
    • 5/9 → 0.555… > 0.25 (true), 0.555… < 0.666… (true), negatif değil (false) → 2 doğru, 1 yanlış ✓
    • 3/5 → 0.6 > 0.25 (true), 0.6 < 0.666… (true), negatif değil (false) → 2 doğru, 1 yanlış ✓
    • 5/7 → 0.714285… > 0.25 (true), 0.714285… < 0.666… (false), negatif değil (false) → 1 doğru, 2 yanlış ✗
  6. Sonuç: “Olmaz” olan seçenek 5/7.

12. Soru Üzerine Kapsamlı Açıklamalar (Derinlemesine 2000+ Kelime)

Bu problem, Temel Yeterlilik Testi (TYT) ya da diğer rasyonel sayılarla ilgili soru setlerinde sıklıkla karşılaşılan sistematiği içerir: “Üç ifadeden ikisi doğrudur, biri yanlıştır; hangi sayı bu iki-doğru-bir-yanlış kuralına uymaz?” Genelde mantık şöyle işler:

  1. Rasyonel sayının işaretini belirleme: Burada işaret sıfırdan küçük mü, büyük mü diye sorgulandığında negatiflikle ilgili ifade netlik kazanır.
  2. Karşılaştırma: 1/4 gibi nispeten küçük bir kesir (0.25) ve 2/3 gibi biraz daha büyük bir kesir (0.66…) ile kıyaslama yapıldığında, “Büyük mü, küçük mü?” soruları net yanıtlar üretir.
  3. İhtimallerin elenmesi: Bazen 3 önerme (S1, S2, S3) hepsi test edilir. Kimileri “İki koşul aynı anda asla gerçekleşmez” diyerek eler. Biz bu soruda, her seçeneğe “iki doğru, bir yanlış” ataması yapmaya çalışıyoruz.
  4. Seçeneklerin test edilmesi: Kesin ve en kolay yöntem, her seçeneği alıp “S1 doğru mu yanlış mı, S2 doğru mu yanlış mı, S3 doğru mu yanlış mı?” diyerek tablo oluşturmaktır. Çünkü soruda “Tam iki doğru, bir yanlış var” diyor; tablo mantığı en hızlı pratik yoldur.

Derinlemesine Değinmeler

  • Eşitsizlik Mantığının Gücü: Rasyonel sayılarda 1/4 ve 2/3 sabit noktaları, sayı doğrusu üzerinde 0 ile 1 arasında hangi bölgelere isabet ettiğini hemen bulmamızı sağlar. 0,25 (1/4) < 0,66… (2/3). Eğer sayınız 0,3, 0,4, 0,5 veya 0,6 civarındaysa “1/4’ten büyük ve 2/3’ten küçük” likely (muhtemelen) doğrudur. 0,7 civarına çıkınca “2/3’ten büyük” olmaya başlar ve orada S2 devre dışı kalır. Negatiflik de sıfırın solunda olmayı gerektirir.

  • Neden 5/7 Olmaz?
    5/7, 0.714… ile 2/3, 0.666… arasındaki fark yaklaşık 0.047…’lik bir pozitiftir. Yani 5/7, 2/3’ten net şekilde büyüktür. Dolayısıyla “2/3’ten küçüktür” ifadesi asla doğru olamaz. Üstelik 5/7 pozitif bir sayı olduğundan “negatiftir” ifadesi de daima yanlış kalır. O hâlde 2 yanlış (S2 ve S3) + 1 doğru (S1) oluşuyor. Bu da “iki doğru, bir yanlış” şartına uymuyor.

  • Diğer Positif Seçenekler

    • 5/16 ≈ 0.31 → Bu 1/4’ten büyük (S1 true), 2/3’ten küçük (S2 true), negatif mi (S3 false). Tamamen istenen 2 true + 1 false formunu yakalıyor.
    • 1/2 = 0.5 → S1: 0.5 > 0.25, S2: 0.5 < 0.666…, S3: 0.5 < 0 => false. 2 doğru, 1 yanlış.
    • 5/9 ≈ 0.555… → Benzer şekilde S1: true, S2: true, S3: false.
    • 3/5 = 0.6 → Yine S1: true, S2: true, S3: false.

  • Daha Derin Sorular:

    • “Peki negatif bir sayı verilseydi ne olacaktı?” Cevap: Negatif sayı, 1/4’ten büyük olamayacağı için (S1 false), 2/3’ten küçük olacağı için (S2 true), negatiflik ifadesi doğru olacağı için (S3 true), orada 2 doğru + 1 yanlış formu yine sağlanabilirdi. Fakat seçenekler arasında negatif yok.
    • “Çelişkili durumlar var mı?” Mesela “sayının hem 1/4’ten büyük hem de negatif olması” gibi durumlar mantıken çelişkidir. Aynısı “hem negatif hem de 2/3’ten küçük olması” çelişkili değildir, çünkü negatif sayılar zaten 0.66…’dan küçük olur.

  • Büyük Ölçekte 2 Doğru + 1 Yanlış Analizi:
    Toplamda 3 önerme var, yani 2^3 = 8 farklı şekilde true/false kombinasyonu çıkabilir. Bu 8 kombinasyon içerisinde 3 tanesi “tam 2 doğru, 1 yanlış” formuna denk gelir. Hangileri?

    1. (S1 = true, S2 = true, S3 = false)
    2. (S1 = true, S2 = false, S3 = true) - Bu neredeyse imkânsızdır, çünkü negatif sayılar 1/4’ten büyük olamaz.
    3. (S1 = false, S2 = true, S3 = true) - Bu negatif sayılar için geçerli.

    Dolayısıyla bir sayı negatifse (S3 = true), aynı anda 1/4’ten büyük (S1 = true) olamaz. “(S1 = false, S2 = true, S3 = true)” senaryosu gayet gerçekçi (negatif herhangi bir sayı). Bir sayı pozitifse (S3 = false), S1’in doğru olması için x > 1/4, S2’nin doğru olması için x < 2/3 gerek. Yani (S1 = true, S2 = true, S3 = false) formu. 5/7 bu formu bozmaktadır.

  • Problem Çözümündeki Tavsiye Yöntem:

    1. Sayılara bak, yaklaşık değerlerini çıkar.
    2. 1/4 ve 2/3 ile kıyasla; 0 mı > 0 mı <, kısaca not et.
    3. Negatifliği kontrol et.
    4. Gereken tabloyu çiz, hangi sayък hangi önermeyi destekliyor, desteklemiyor gör.
    5. O zaman net şekilde “İki doğru, bir yanlış” elde edemeyeni bul.

  • Sınav Kaygısı / Pratik Tavsiyeler: Böylesi sorularda genellikle “0.25” ve “0.66…” civarlarını aklınızda tutarsanız, 0.7 veya üstü => 2/3’ten büyük demektir. 0.3, 0.4, 0.5, 0.6 => 2/3’ten küçük. 1/4 = 0.25’in de altına inmedikçe S1: true olabilir. Bu şekilde anlık kıyaslamalar çok faydalı olur.

  • Son Kontrol: 5/7, 2/3 (~0.666…) yerine 3/4 (~0.75) olsaydı ne olurdu? 5/7 (0.714…) 3/4 (0.75)’ten küçük. Bu soru 2/3 ile ilgili olduğu için 5/7 istenen blok içerisinde yer almıyor. Bu tip değişimlerle sorularda fark edilir ki 2/3 ve 3/4 gibi rakamlar kritik eşiğe göre minik farklar yaratır.

Özetle, 5/7, 2/3’ten büyük ve pozitif olması nedeniyle hem “2/3’ten küçüktür” hem de “negatiftir” önermelerini aynı anda yanlış kılar. Bu da toplam 2 yanlış demektir. Bizim ihtiyacımız “2 doğru” idi. Dolayısıyla 5/7 bu sorunun geçerli sayısı olamaz.

13. Özet Tablo

Aşağıda sorunun çözümünde kullandığımız kıyasları tekrarlayan bir tablonun daha detaylı hâlini verelim:

Seçenek Değer 1/4’ten büyük mü? (S1) 2/3’ten küçük mü? (S2) Negatif mi? (S3) Doğru Sayısı 2 Doğru+1 Yanlış mı?
A: 5/16 0.3125 0.3125 > 0.25 → Doğru 0.3125 < 0.666… → Doğru Pozitif → Yanlış 2 Evet
B: 1/2 0.5 0.5 > 0.25 → Doğru 0.5 < 0.666… → Doğru Pozitif → Yanlış 2 Evet
C: 5/9 ~0.5555… 0.555… > 0.25 → Doğru 0.555… < 0.666… → Doğru Pozitif → Yanlış 2 Evet
D: 3/5 0.6 0.6 > 0.25 → Doğru 0.6 < 0.666… → Doğru Pozitif → Yanlış 2 Evet
E: 5/7 ~0.7142857 0.714… > 0.25 → Doğru 0.714… < 0.666… → Yanlış Pozitif → Yanlış 1 Hayır

Tablodan net biçimde (E) seçeneğinin 2 doğru + 1 yanlış sunamadığı görülür.

14. Sonuç ve Kısa Özet

Böylece, sorunun bizden istediği şu cümleye ulaşıyoruz: “Bu üç önermenin ikisi doğru, biri yanlış olacak şekilde, hangi sayı bu koşulu sağlamaz?” Cevap açıkça:

5/7 (E seçeneği).

Çünkü 5/7, 1/4’ten büyüktür (doğru), ama 2/3’ten küçük değildir (yanlış) ve negatif de değildir (yanlış). Üç önermeden ikisi yanlış olduğu için istenen 2 doğru +1 yanlış dengesini kuramayız.

@Muyesser_Aslan