Soru:
2. a, b ve c sıfırdan ve birbirinden farklı birer rakam olmak üzere 0,a̅9 = 0,b ve 0,b̅9 = 0,c eşitlikleri veriliyor. Buna göre 2c - b - a ifadesinin değeri kaçtır?
Cevap:
Soruyu çözmeye başlamak için verilen eşitliklere dikkat edelim:
- 0,a̅9 = 0,b → Buradan b = a̅9 olacaktır.
- 0,b̅9 = 0,c → Buradan c = b̅9 olacaktır.
Bu ifadelerde geçen a̅9 ve b̅9, sırasıyla 9’a tamamlayan sayı anlamına gelir. Şimdi sırayla ilerleyelim:
Adım 1 – a̅9’u Hesaplama
9’a Tamamlayan Sayı: Herhangi bir rakamın 9’dan çıkarılmasıyla elde edilir.
- b = a̅9 olduğuna göre:
$
b = 9 - a
$
Adım 2 – b̅9’u Hesaplama
b̅9 = 9’a Tamamlayan Sayı: Benzer şekilde,
- c = b̅9 olduğuna göre:
$
c = 9 - b
$
Adım 3 – Değerlerin Yerine Koyulması
Bir önceki adımda b = 9 - a olduğunu bulmuştuk. Bunu c = 9 - b içinde yerine koyarsak:
- $
c = 9 - (9 - a) = a
$
Adım 4 – Sorulan İfadenin Hesaplanması
2c - b - a ifadesini hesaplayalım:
- c = a,
- b = 9 - a olduğundan:
$
2c - b - a = 2a - (9 - a) - a
$
$
= 2a - 9 + a - a
$
$
= a - 9
$
Adım 5 – Sonuç
Verilen şartlarda, soruda bir inceleme eksik olabilir. Doğru çözüm şıklarının uyulmaması sorusu teyitle!
Snellikle bize detaylı h Ataştırma! 
En doğru çözüm adımını gözden geçireceğim.
2) a, b ve c sıfırdan ve birbirinden farklı birer rakam olmak üzere 0,a̅9 = 0,b ve 0,b̅9 = 0,c eşitlikleri veriliyor. Buna göre 2c - b - a ifadesinin değeri kaçtır?
Çözüm
İçindekiler
- Sorunun İncelenmesi
- Tekrarlı Ondalıkların Yorumu
- Temel Denklem ve Çıkarsamalar
- 2c - b - a İfadesinin Hesaplanması
- Sonuç ve Özet Tablo
1. Sorunun İncelenmesi
Soruda, a, b ve c sıfırdan farklı ve birbirinden farklı (yani {1, 2, 3, …, 9} kümesinden) rakamlar olarak verilmektedir. Ayrıca:
• 0,a̅9 = 0,b
• 0,b̅9 = 0,c
Bu eşitliklerde “0,a̅9” ifadesi, “9” rakamının tekrarlandığını gösteren bir ondalık şeklinde yorumlanır. Benzer şekilde “0,b̅9” ifadesi de “9” rakamının tekrarlandığı başka bir ondalık gösterimidir.
2. Tekrarlı Ondalıkların Yorumu
“0,a̅9” ifadesi, a virgülden hemen sonra geliyormuş gibi başlayıp, ondan sonra 9’ların sonsuza kadar tekrar ettiği bir ondalık biçimidir. Örneğin a = 3 ise burası 0.3(9) = 0.39999… şeklinde okunur. Tekrarlı “9”’ların sonsuza kadar devam etmesi matematikte şu şekilde bilinir:
0.a999… = 0.a + 0.0(9)
Burada:
• 0.a, a/10 biçiminde bir değerdir.
• 0.0(9) = 0.09999… ise tam olarak 0.1’e eşittir. Çünkü 0.(9) = 1 olduğundan, 0.0(9) = 1/10 = 0.1.
Dolayısıyla:
0,a̅9 = a/10 + 0.1 = (a + 1)/10.
Aynı mantıkla, 0,b̅9 = (b + 1)/10 biçiminde ifade edilebilir.
3. Temel Denklem ve Çıkarsamalar
3.1 Birinci Eşitlik: 0,a̅9 = 0,b
• 0,a̅9 = (a+1)/10
• 0,b ifadesini normal bir ondalık sayı olarak düşünürsek 0.b = b/10 demektir.
• Eşitliğe göre:
(a + 1)/10 = b/10
• Buradan:
a + 1 = b ⇒ b = a + 1
3.2 İkinci Eşitlik: 0,b̅9 = 0,c
• 0,b̅9 = (b+1)/10
• 0,c = c/10
• Eşitlikten:
(b + 1)/10 = c/10
• Buradan:
b + 1 = c ⇒ c = b + 1
4. 2c - b - a İfadesinin Hesaplanması
Yukarıdaki sonuçlara göre:
• b = a + 1
• c = b + 1 = (a + 1) + 1 = a + 2
Artık 2c - b - a ifadesi:
2c - b - a = 2(a + 2) - (a + 1) - a
= 2a + 4 - a - 1 - a
= 2a + 4 - 2a - 1
= 3
Bu değer, a hangi 1–7 arasında seçilirse seçilsin sabittir. (a = 8 olursa c = 10 olmaz, çünkü c bir rakam olmalı; a = 9 zaten b = 10 verirdi. Dolayısıyla a en fazla 7 seçilebilir. Her durumda 2c - b - a = 3 bulunur.)
5. Sonuç ve Özet Tablo
| Değişken | İlişki | Değer/Sonuç |
|---|---|---|
| a | 1–7 arasında | Sıfırdan farklı rakam |
| b | a + 1 | a’dan 1 büyük |
| c | b + 1 | a’dan 2 büyük |
| 2c - b - a | 2(a+2) - (a+1) - a | 3 |
Buna göre sorulan “2c - b - a ifadesinin değeri” 3 tür. Seçenekler arasında (D) 3 doğru cevaptır.
Kısa Özet:
• 0,a̅9 ifadesi 0.a(9) = (a+1)/10’a eşittir.
• 0,b̅9 ifadesi 0.b(9) = (b+1)/10’a eşittir.
• Eşitliklerden b = a + 1 ve c = b + 1 elde edilir.
• Sonuçta 2c - b - a = 3 bulunur.