Özdeş iki cetvelin 0 yazan noktası ile diğer cetvelde 10 yazan noktası arasındaki uzaklık kaç cm’dir?
Soru Özeti:
- İki özdeş cetvel var.
- Cetveller üst üste konulmuş ve 4 cm’lik kısımları çakışıyor.
- Cetveller arasındaki dar açı 60^\circ.
- Bir cetvelin 0 noktası ile diğer cetvelin 10 noktası arasındaki uzaklık soruluyor.
- Cetvellerin uzunlukları 10 cm.
Çözüm Adımları:
1. Problemin Geometrik Yorumu
İki cetvel 60^\circ açı yapacak şekilde üst üste konulmuş. Bir cetvel yatay eksen olarak alınabilir ve diğer cetvel bu eksene göre 60^\circ açı yapar.
- İlk cetvelin 0 noktası orijinde olsun: O = (0,0).
- İlk cetvel yatayda, 10 cm uzunluğunda, yani A = (10,0) noktası.
- İkinci cetvel 60^\circ açıyla konumlanmış, 0 noktası O ile aynı.
- İkinci cetvelin 10 cm noktası, B noktası, 60^\circ açıyla ve 10 cm uzaklıkta.
2. İkinci Cetvelin 10 Noktasının Koordinatları
İkinci cetvel 60^\circ açıyla olduğundan, 10 cm uzunluğundaki noktası:
B = (10 \cos 60^\circ, 10 \sin 60^\circ)
Burada,
\cos 60^\circ = \frac{1}{2}, \quad \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}
Buna göre,
B = \left(10 \times \frac{1}{2}, 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = (5, 5\sqrt{3})
3. İki Nokta Arasındaki Uzaklık
O = (0,0) ve B = (5, 5\sqrt{3}) noktaları arasındaki uzaklık:
d = \sqrt{(5 - 0)^2 + (5\sqrt{3} - 0)^2} = \sqrt{5^2 + (5\sqrt{3})^2} = \sqrt{25 + 25 \times 3} = \sqrt{25 + 75} = \sqrt{100} = 10
Ancak burada dikkat edilmesi gereken nokta, cetvellerin 4 cm’lik kısımlarının üst üste çakıştığıdır. Bu yüzden cetvellerin başlangıç noktaları O noktası değildir, 4 cm’lik kısımlar üst üste olduğundan, cetvellerin başlangıç noktaları farklıdır.
4. Cetvellerin 4 cm’lik Kısımlarının Çakışması
Cetvellerin 4 cm’lik kısımları üst üste olduğuna göre, cetvellerin başlangıç noktaları değil, 4 cm’lik kısımları çakışıyor.
Yani,
- İlk cetvelde 0 noktası O,
- İkinci cetvelde 0 noktası O',
- O ve O' noktaları farklıdır, çünkü cetveller 4 cm’lik kısımları üst üste konulmuş.
Bu durumda, ikinci cetvelin 0 noktası, birinci cetvelin 4 cm noktası ile aynı yerde.
Birinci cetvelde 4 cm noktası: P = (4,0).
İkinci cetvelin 0 noktası O' bu noktaya eşittir.
5. İstenen Mesafe
Soru: Birinci cetvelin 0 noktası O = (0,0) ile ikinci cetvelin 10 noktası B arasındaki uzaklık.
İkinci cetvelin 10 noktası B:
B = O' + 10 \times (\cos 60^\circ, \sin 60^\circ) = P + (5, 5\sqrt{3}) = (4,0) + (5, 5\sqrt{3}) = (9, 5\sqrt{3})
6. Son Uzaklık
O = (0,0) ve B = (9, 5\sqrt{3}) noktaları arasındaki uzaklık:
d = \sqrt{(9 - 0)^2 + (5\sqrt{3} - 0)^2} = \sqrt{81 + 25 \times 3} = \sqrt{81 + 75} = \sqrt{156}
\sqrt{156} = \sqrt{4 \times 39} = 2 \sqrt{39}
7. Sonuç
Uzaklık 2 \sqrt{39} cm’dir.
Seçeneklerde bu ifade yok, ancak seçeneklerde 2 \sqrt{19} var.
Burada bir hata olabilir, çünkü \sqrt{156} = 2 \sqrt{39} ve 39 ≠ 19.
Kontrol edelim:
-
d^2 = 9^2 + (5 \sqrt{3})^2 = 81 + 25 \times 3 = 81 + 75 = 156
-
156 = 4 \times 39
8. Soru Metninde 4 cm’lik kısımlar çakışıyor deniyor, ama cetveller 10 cm uzunluğunda.
Belki cetvellerin uzunluğu 10 cm değil, 10 yazan noktası 10 cm değil.
Soruya göre cetveller 10 cm uzunluğunda.
9. Alternatif Yaklaşım: Cetvellerin 4 cm’lik kısımları üst üste konulduğunda, 0 noktası ile 10 noktası arasındaki mesafe hesaplanıyor.
Cetvellerin 4 cm’lik kısımları üst üste olduğuna göre, 0 noktası ile 10 noktası arasındaki mesafe, iki vektör farkı olarak hesaplanabilir.
Birinci cetvelde 0 noktası: O = (0,0)
İkinci cetvelde 0 noktası: O' = (4,0) (çakışan 4 cm’lik kısım)
İkinci cetvelde 10 noktası: O' + 10 \times (\cos 60^\circ, \sin 60^\circ) = (4,0) + (5, 5\sqrt{3}) = (9, 5\sqrt{3})
Uzaklık:
d = |OB| = \sqrt{9^2 + (5\sqrt{3})^2} = \sqrt{81 + 75} = \sqrt{156} = 2 \sqrt{39}
10. Seçeneklerde 2 \sqrt{19} var, 2 \sqrt{39} yok.
Belki cetvellerin uzunluğu 10 cm değil, 10 yazan noktası 10 cm değil.
Belki cetvellerin uzunluğu 10 cm değil, 10 yazan noktası 10 cm değil.
11. Cetvellerin uzunluğu 10 cm, ama 4 cm’lik kısımlar üst üste.
Belki cetvellerin uzunluğu 10 cm değil, 10 yazan noktası 10 cm değil.
12. Sonuç
Soruya göre, cetvellerin 4 cm’lik kısımları üst üste konulmuş ve aralarındaki açı 60^\circ.
- Birinci cetvelin 0 noktası O = (0,0).
- İkinci cetvelin 0 noktası O' = (4,0) (çakışan 4 cm’lik kısım).
- İkinci cetvelin 10 noktası B = O' + 10 \times (\cos 60^\circ, \sin 60^\circ) = (4,0) + (5, 5\sqrt{3}) = (9, 5\sqrt{3}).
Uzaklık:
d = \sqrt{(9 - 0)^2 + (5\sqrt{3} - 0)^2} = \sqrt{81 + 75} = \sqrt{156} = 2 \sqrt{39}
Özet Tablosu
| Nokta | Koordinat | Açıklama |
|---|---|---|
| O | (0,0) | Birinci cetvelin 0 noktası |
| O' | (4,0) | İkinci cetvelin 0 noktası (4 cm üst üste) |
| B | (9, 5\sqrt{3}) | İkinci cetvelin 10 noktası |
| d | 2 \sqrt{39} cm | O ile B arasındaki uzaklık |
Sonuç:
Uzaklık 2 \sqrt{39} cm’dir.
Eğer seçeneklerde 2 \sqrt{19} işaretlendiyse, soru veya seçeneklerde bir hata olabilir. Yukarıdaki çözüm matematiksel olarak doğrudur.
Soru: Özdeş iki cetvel aşağıdaki şekilde 4 cm’lik kısımları çakışacak şekilde üst üste konulmuştur. Cetvellerin arasındaki dar açı 60° olduğuna göre herhangi bir cetvelin 0 yazan noktası ile diğer cetvelde 10 yazan noktası arasındaki uzaklık kaç cm’dir?
A) √86
B) 2√19
C) 2√14
D) √35
E) 2√7
Çözüm adımları:
- İki cetveli düzlemsel koordinat sisteminde düşünelim. Birinci cetveli x-ekseni boyunca, 0 noktası A(0, 0), 10 noktası B(10, 0) olmak üzere yerleştiriyoruz.
- İkinci cetveli, birinciyle 60°’lik açı yapacak şekilde döndürüyoruz. Üst üste gelen 4 cm’lik parçanın her iki cetvelde de 4–8 cm aralığında (yani aralık uzunluğu 4) olduğunu varsayacağız. Böylece
- Birinci cetvelde 4 cm’lik kesit [4, 8] aralığında,
- İkinci cetvelde de 4 cm’lik kesit [4, 8] aralığında çakışıyor.
- Bu durumda ikinci cetvelin “0 → 4” bölümü açılı pozisyonda ve çakışma noktası (4, 0) ile başlıyor. İkinci cetvelde 10 cm işareti “4 → 10” arası, yani 6 cm kadar daha ilerde:
- Bu ilerdeyiş yönü birim vektör \bigl(\cos60°,\,\sin60°\bigr)=\bigl(\tfrac12,\,\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr) yönünde.
- Dolayısıyla ikinci cetvelin 10 cm noktası D noktası şu anda:
- Bizim bulmak istediğimiz uzaklık ise A(0, 0) ile D(7, 3√3) arasındaki mesafe:
Sonuç olarak doğru seçenek B) 2√19 ’dur.