Soruyu çözermisinnm

YKS TYT
1

1793814694486221922143521456753
1793814694486221922143521456753720×960 31.8 KB

2

Dörtgende Komşu Açıortaylar Arasındaki Açı Bağıntısı

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir dörtgende ardışık (komşu) iki iç açının açıortayları arasında kalan açının ölçüsü, diğer iki iç açının ölçüleri toplamının yarısına eşittir:

m(\widehat{AED}) = \frac{m(\widehat{ABC}) + m(\widehat{BCD})}{2}

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI

Adım 1 — Verilen Değerleri Formülde Yerine Yazma
Şekilde ABCD bir dörtgen, [AE] ve [DE] sırasıyla \widehat{A} ve \widehat{D} açılarının iç açıortaylarıdır. Verilen m(\widehat{AED}) = 47^\circ ve m(\widehat{ABC}) = 52^\circ değerlerini kuralda yerine yazalım:

47^\circ = \frac{52^\circ + x}{2}

Adım 2 — Denklemi Çözerek x Açısını Bulma
İçler dışlar çarpımı yaparak x değerini yalnız bırakalım:

52^\circ + x = 47^\circ \cdot 2
52^\circ + x = 94^\circ
x = 94^\circ - 52^\circ = 42^\circ

(Alternatif olarak; AED üçgeninin iç açıları toplamından a + d = 180^\circ - 47^\circ = 133^\circ bulunur. Dörtgenin iç açıları toplamı 2a + 2d + 52^\circ + x = 360^\circ olup, 2(133^\circ) + 52^\circ + x = 360^\circ \implies 318^\circ + x = 360^\circ \implies x = 42^\circ elde edilir.)

:white_check_mark: CEVAP: D) 42 (m(\widehat{BCD}) = 42^\circ)

:warning: SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Açıortaylar komşu iki açıdan çizildiğinde diğer iki açının toplamının yarısı (\frac{B+C}{2}), karşıt iki açıdan çizildiğinde ise diğer iki açının farkının mutlak değerinin yarısı (\frac{|B-D|}{2}) kullanılır. Bu iki kuralı birbirine karıştırmamak hız kazandırır.

3

17938147860905985859651772105034
17938147860905985859651772105034720×960 27.4 KB

4

Paralelkenarda Açıortay ve Dörtgen İç Açıları Analizi

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  1. Paralelkenarda Karşı Durumlu Açılar: Komşu iki iç açının ölçüleri toplamı 180^\circ’dir:
    m(\widehat{ADC}) + m(\widehat{DCB}) = 180^\circ \quad \text{ve} \quad m(\widehat{DAB}) = m(\widehat{DCB})
  2. Dörtgenin İç Açıları Toplamı: Bir dörtgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 360^\circ’dir.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI

Adım 1 — Paralelkenarın Açılarını ve [DE] Açıortayını Belirleme
ABCD paralelkenarında m(\widehat{DCB}) = 72^\circ olarak verilmiştir.

  • AD \parallel BC olduğundan, m(\widehat{ADC}) = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ olur.
  • [DE] açıortay olduğundan:
    m(\widehat{ADE}) = m(\widehat{CDE}) = \frac{108^\circ}{2} = 54^\circ
  • Paralelkenarın karşılıklı açıları eşit olduğundan m(\widehat{DAB}) = 72^\circ’dir.

Adım 2 — E Noktasındaki Açıları ve [EF] Açıortayını Bulma
E noktası [BC] kenarı üzerindedir. AD \parallel BC olduğundan iç ters (Z kuralı) açılardan:

m(\widehat{DEC}) = m(\widehat{ADE}) = 54^\circ

[BC] doğrusu üzerindeki doğru açıdan \widehat{DEB} açısını bulalım:

m(\widehat{DEB}) = 180^\circ - m(\widehat{DEC}) = 180^\circ - 54^\circ = 126^\circ

[EF] ışını \widehat{DEB} açısının açıortayı olduğuna göre:

m(\widehat{DEF}) = m(\widehat{FEB}) = \frac{126^\circ}{2} = 63^\circ

Adım 3 — AFED Dörtgeninde x Açısını Hesaplama
AFED dörtgeninin iç açıları toplamı 360^\circ’dir:

m(\widehat{DAB}) + m(\widehat{ADE}) + m(\widehat{DEF}) + m(\widehat{AFE}) = 360^\circ
72^\circ + 54^\circ + 63^\circ + x = 360^\circ
189^\circ + x = 360^\circ
x = 360^\circ - 189^\circ = 171^\circ

(Alternatif Yol: \triangle BEF’de m(\widehat{B}) = 108^\circ ve m(\widehat{FEB}) = 63^\circ’dir. Üçgende iki iç açının toplamı kendilerine komşu olmayan bir dış açıya eşit olduğundan, x = m(\widehat{AFE}) = 108^\circ + 63^\circ = 171^\circ bulunur.)

:white_check_mark: CEVAP: E) 171 (m(\widehat{AFE}) = 171^\circ)

:warning: SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Paralelkenarda kenarlar arasındaki paralellikten dolayı açıortay çizildiğinde daima bir ikizkenar üçgen oluşur (CD = CE ve m(\widehat{CDE}) = m(\widehat{DEC}) = 54^\circ). Bu iç ters açı (Z kuralı) ilişkisini görmek soru çözümünü oldukça kısaltır.