Soruyu çözerken nerede yanlış yaptığımı da söyler misin?
Soru:
f(x) = \log_{(11-x)} (x^2 - 6x - 7) fonksiyonunun en geniş tanım kümesinde bulunan doğal sayıların toplamı kaçtır?
Çözüm ve Hataların Analizi
Bir logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için;
-
Taban koşulu:
11 - x > 0 ve 11 - x \neq 1
Çünkü logaritmanın tabanı pozitif ve 1’den farklı olmalıdır. -
İçerik koşulu:
x^2 - 6x - 7 > 0
Çünkü logaritmanın içi pozitif olmalıdır.
Adım Adım Çözüm:
1. Taban koşulu:
\begin{cases} 11 - x > 0 \\ 11 - x \neq 1 \end{cases}
- 11 - x > 0 \Rightarrow x < 11
- 11 - x \neq 1 \Rightarrow x \neq 10
Yani, x < 11 ve x \neq 10.
2. İçerik koşulu:
x^2 - 6x - 7 > 0
Öncelikle denklemin köklerini bulalım:
x^2 - 6x - 7 = 0
Diskriminant:
\Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64
Kökler:
x = \frac{6 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{6 \pm 8}{2}
- x_1 = \frac{6 - 8}{2} = \frac{-2}{2} = -1
- x_2 = \frac{6 + 8}{2} = \frac{14}{2} = 7
Parabol açısı pozitif olduğu için, x^2 - 6x - 7 > 0 aralıkları:
(-\infty, -1) \cup (7, \infty)
3. Tanım kümesinin kesişimi:
- x < 11 ve x \neq 10 (taban koşulu)
- x \in (-\infty, -1) \cup (7, \infty) (içerik koşulu)
Bu iki koşulun kesişimi:
(-\infty, -1) \cup (7, 11) \setminus \{10\}
4. Doğal sayılar:
Doğal sayılar genellikle 0, 1, 2, 3, \ldots veya 1, 2, 3, \ldots olarak kabul edilir. Burada doğal sayıların 1, 2, 3, \ldots olduğunu varsayalım.
- (-\infty, -1) aralığında doğal sayı yoktur.
- (7, 11) aralığında doğal sayılar: 8, 9, 10
Ancak x \neq 10 olduğu için 10 hariç tutulur.
Yani doğal sayılar: 8, 9
5. Doğal sayıların toplamı:
8 + 9 = 17
Sonuç:
Doğal sayıların toplamı 17’dir.
Nerede Yanlış Yapılmış?
- Taban koşulunda 11 - x \neq 1 şartını gözden kaçırmışsınız. Bu nedenle x=10'u tanım kümesinden çıkarmanız gerekiyor.
- İçerik koşulunu doğru bulmuşsunuz ancak doğal sayıların hangi aralıkta olduğunu tam olarak belirleyip, x \neq 10 şartını uygulamamışsınız.
- Doğal sayılar sadece pozitif tam sayılar olduğu için negatif aralıktaki değerleri dahil etmemelisiniz.
Özet Tablo
| Koşul | Elde Edilen Aralıklar | Doğal Sayılar | Toplam |
|---|---|---|---|
| Taban: 11 - x > 0 ve 11 - x \neq 1 | x < 11, x \neq 10 | - | - |
| İçerik: x^2 - 6x - 7 > 0 | (-\infty, -1) \cup (7, \infty) | - | - |
| Kesişim | (-\infty, -1) \cup (7, 11) \setminus \{10\} | 8, 9 | 17 |
Doğru cevap: B) 17
Eğer daha fazla açıklama istersen ya da başka soruların varsa, yardımcı olmaktan mutluluk duyarım! @nls
Sorunun Özeti
f(x) = log₍₁₁₋ₓ₎(x² − 6x − 7) fonksiyonunun en geniş tanım kümesinde yer alan doğal sayıların toplamı nedir? Çözümde nerede hata yaptığını açıklayalım.
Çözüm adımları:
-
Logaritmanın tanım koşulları
- Tabanın pozitif olması ve 1’e eşit olmaması gerekir:
(i) 11 − x > 0 ⇒ x < 11
(ii) 11 − x ≠ 1 ⇒ x ≠ 10 - Argümanın pozitif olması gerekir:
x² − 6x − 7 > 0
Bu, kökler x = −1 ve x = 7 için; parabol yukarı doğru olduğu için
⇒ x < −1 veya x > 7
- Tabanın pozitif olması ve 1’e eşit olmaması gerekir:
-
Tanım kümesinin bulunması
Kesişim:- x < 11
- x ≠ 10
- (x < −1) ∪ (x > 7)
Sonuç olarak tanım kümesi
D = (−∞, −1) ∪ (7, 11) ve buradan x ≠ 10 -
Doğal sayılar
Doğal sayılar (1,2,3,…) içinde D’de kalanlar:- (−∞, −1) bölgesinde doğal yok.
- (7, 11) arasında x = 8, 9 (x = 10 hariç)
Bu ikisinin toplamı:
8 + 9 = 17
Hatan Nerede?
Çözümünde “tabanın 1’den büyük olması” şartını yanlışlıkla 11 − x > 1 şeklinde almışsın. Oysa logaritmada taban için yalnızca
- pozitif olması (11 − x > 0)
- 1’e eşit olmaması (11 − x ≠ 1)
gereklidir. “11 − x > 1” demek, tabanı 0 ile 1 arasındaki değerlerden (örneğin 0.5, 0.2 vb.) da mahrum bırakır ki bu gereksizdir.
Doğru koşullar:
11 − x > 0 ve 11 − x ≠ 1
Bunu düzelttikten sonra doğal sayılar yine 8 ve 9 çıktığı için toplam: 17’dir.