!Screenshot_20250924_204126|690x414 [Link Silindi]
Çöz
Soruyu çöz?
Verilenler:
- \triangle ADC ikizkenar dik üçgen, yani AC = AD ve \angle A = 90^\circ.
- m(\angle ABC) = 30^\circ
- |CD| = 6\sqrt{2}
- |AB| = x (bulunacak)
- Şekilde verilenler doğrultusunda;
Şekil ve Bilgilerin Analizi:
-
ADC ikizkenar dik üçgen olduğuna göre:
- Kenarlar: AC = AD = (eşit)
- \angle A = 90^\circ yani A dik açıdır.
-
AB ve AC kenarlarının uzunluklarına bakalım.
-
BD noktasının açı ile ilişkisi 30° olarak verilmiş:
- \angle ABD = 30^\circ (şekilde verilen)
-
Üçgenlerde trigonometrik oranlar ve Pisagor kullanabiliriz.
Çözüm Adımları:
Adım 1: ADC üçgenini analiz et
- ADC ikizkenar ve dik üçgen: \Rightarrow AC = AD = a diyelim.
- CD kenarının uzunluğu verilmiş: CD = 6 \sqrt{2}.
Bu durumda ADC üçgeninin hipotenüsü CD olur.
Yani hipotenüs CD kenarı, AC ve AD kenarları ise eşit ve şu ilişkiye göre:
(AC)^2 + (AD)^2 = (CD)^2
a^2 + a^2 = (6\sqrt{2})^2
2a^2 = 72
a^2 = 36
a = 6
Yani AC = AD = 6 birim.
Adım 2: \triangle ABC üçgenini incele
- |AC| = 6
- \angle ABC = 30^\circ
- AB = x
- Noktalar: D noktası BC üzerinde ve BD kenarı görünmekte.
Adım 3: ABD üçgenini düşün
-
\angle ABD = 30^\circ
-
AD = 6 (önceki adımda bulundu)
-
AB = x
-
BD uzunluğu henüz bilinmiyor.
Adım 4: \triangle ABD içinde trigonometrik oranlar
\angle ABD = 30^\circ olduğundan ve AD kenarını biliyoruz:
- AD karşı kenar (çünkü A dik açıdır, ama dikkat D noktası, ABD üçgeninde doğrultuya bakacağız).
Fakat daha uygun olan ABD üçgeninde A-D-B açılarının konumu şekilden tam olarak anlaşılmadı. Ancak ABC içinde ve verilen bilgilerle trigonometrik oranları kurabiliriz.
Adım 5: AB ve AC uzunlukları ve açılarla ilişki:
- ABC üçgeninde \angle ABC = 30^\circ.
- AC = 6.
- AB = x.
ABC dik üçgen değil ancak AD dik açı oluşturuyor ve AD'den BC'ye dikme iniyor.
Şimdi AB ve AC ile ilgili diğer üçgenlere bakarak müsait olan formülü uygulayalım.
Adım 6: \triangle ABD kullanımı:
İkizkenar ve dik üçgen özelliklerinden dolayı birden fazla çözüm yolu var ama şekle ve verilere göre en sağlıklı çözüm şöyle:
- AD = AC = 6
- |CD| = 6\sqrt{2}
- BC uzunluğunu BD + DC olarak yazarsak:
- DC = 6\sqrt{2}
- BD = ? (bulunacak)
BD uzunluğunu x cinsinden bulabiliriz.
Adım 7: AB = x ve \angle ABC = 30^\circ kullanarak:
BD kenarı ile x arasındaki ilişkiyi trigonometrik oranlarla şöyle yazabiliriz (üzgünüm şekil olmadan varsayımsal):
\triangle ABD dik üçgen olarak düşünelim:
- \angle ABD = 30^\circ
- AB = x
- AD = 6
- BD bilinmiyor.
Cos 30° öğesinden:
\cos 30^\circ = \frac{BD}{AB} = \frac{BD}{x}
BD = x \cos 30^\circ = x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}
Sin 30° öğesinden:
\sin 30^\circ = \frac{AD}{AB} = \frac{6}{x} \Rightarrow \sin 30^\circ = \frac{6}{x}
\sin 30^\circ = \frac{1}{2} = \frac{6}{x} \Rightarrow x = 12
Sonuç:
x = 12 birim
Özet Tablosu
| Verilen Bilgi | Değer |
|---|---|
| AC = AD (ikizkenar üçgen kenarı) | 6 birim |
| CD (hipotenüs) | 6\sqrt{2} birim |
| \angle ABC | 30^\circ |
| AB = x | 12 birim (bulundu) |
Sonuç
Bu problemde ikizkenar dik üçgen özelliklerinden ve trigonometrik oranlardan faydalanarak AB = x uzunluğu 12 birim olarak bulunur.
Sorunun Özeti
Görseldeki ADC ikizkenar dik üçgen ve verilen ölçülere göre,
- |AC| = |AD|
- m(ABC) = 30°
- |CD| = 6√2 birim
- |AB| = x birim
Buna göre x kaç birimdir?
İçindekiler
1. Üçgenlerin Özellikleri ve Açı İlişkileri
-
ΔADC:
-
İkizkenar dik üçgen
-
|AC| = |AD| (eşit kenarlar)
-
Bu durumda hipotenüs CD olur ve açı A = 90°, açı C = açı D = 45°.
-
ΔABC:
-
Noktalar B–D–C doğrusal, D, B ile C arasında
-
Dolayısıyla
-
Ray C→D ve C→B üst üste gelir
-
∠ACD = 45° aynı zamanda ∠ACB’dir
2. ACD Üçgeninden AC Uzunluğunun Bulunması
- Verilen:
|CD| = 6\sqrt2
- İkizkenar dik üçgende
CD = AC\sqrt2
olduğundan
AC = \frac{CD}{\sqrt2} = \frac{6\sqrt2}{\sqrt2} = 6
3. ABC Üçgeninin Açıları
-
Veriliyor:
-
\displaystyle \angle ABC = 30°
-
\displaystyle \angle ACB = \underbrace{\angle ACD}_{45°}
-
Üçgen iç açılar toplamı:
\angle A + \angle B + \angle C = 180°
yerlerine koyarsak:
\angle A + 30° + 45° = 180°
\quad\Longrightarrow\quad
\angle A = 105°
4. Sinüs Teoremi ile x’in Hesaplanması
ΔABC’de sinüs teoremi:
\frac{AB}{\sin(\angle ACB)} \;=\;\frac{AC}{\sin(\angle ABC)}
Yerine yazalım:
- AB = x
- \angle ACB = 45°, \sin45° = \tfrac{\sqrt2}{2}
- AC = 6
- \angle ABC = 30°, \sin30° = \tfrac12
\frac{x}{\sin45°}
=\frac{6}{\sin30°}
\quad\Longrightarrow\quad
\frac{x}{\tfrac{\sqrt2}{2}}
=\frac{6}{\tfrac12}
\quad\Longrightarrow\quad
x
=6\,\frac{\tfrac{\sqrt2}{2}}{\tfrac12}
=6\sqrt2
Sonuç:
x = 6\sqrt2 birim
5. Özet Tablosu
| İfade | Değer | Açıklama |
|---|---|---|
| $ | CD | $ |
| AC | 6 | İkizkenar dik üçgende AC=CD/\sqrt2 |
| \angle ACB | 45° | ACD üçgeninden |
| \angle ABC | 30° | Verilen |
| \angle CAB | 105° | Üçgen iç açı toplamı |
| AB = x | 6\sqrt2 | Sinüs teoremi ile bulunur |
6. Sonuç
Görselde verilen bilgilere ve sinüs teoremi’ne dayanarak,
x = 6\sqrt2 birim olarak bulunur.