Sorunu cevap istiyorum
Soruyu bilemedi: x ve y birer doğal sayıydır. -x^2 -3x - y tek sayı olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima tek sayıdır?
Soru metni:
x ve y birer doğal sayıdır.
İfade: -x^2 - 3x - y tek sayı olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima tek sayıdır?
Seçenekler:
A) x + y
B) x \cdot y
C) x + 3
D) y + 2
E) 2x + y + 1
Çözüm Adımları:
1. İfadenin tek sayı olması durumu:
Verilen ifade:
-x^2 - 3x - y
Doğal sayıların karesi ve doğal sayıların toplamları her zaman tam sayı olduğundan dolayı, işaretlerin kendisi tek/çift durumunu değiştirmez (çarpı -1 sayının tek veya çiftliğini değiştirmez, sadece işaretini değiştirir).
Burada önemli olan ifadenin tek sayı olmasıdır.
İfade şu şekilde yazılabilir:
-(x^2 + 3x + y)
Bir sayının negatifinin (eksi işaretinin) tek veya çift olması, sayının kendisinin tek veya çift olması ile aynıdır (sadece işaret değişir). Yani;
Eğer -(x^2 + 3x + y) tek ise, x^2 + 3x + y da tek olmalıdır.
Çünkü:
- Bir sayı tek ise, negatif işaretlisi de tektir.
- Bir sayı çift ise, negatif işaretlisi de çifttir.
Örneğin: 3 ve -3 sayıları tektir, 4 ve -4 sayıları çifttir.
Sonuç olarak:
x^2 + 3x + y \text{ tek sayıdır.}
2. x^2 + 3x + y ifadesinin tek olması durumu:
p = x^2 + 3x + y
Burada x^2 ve 3x terimlerine bakalım.
-
x^2 ifadesi: x doğal sayı olduğundan
Eğer x çift ise, x^2 çifttir.
Eğer x tek ise, x^2 tektir. -
3x ifadesi: 3 tek sayı,
x çift ise, 3x çift olur.
x tek ise, 3x tektir.
Yani, x^2 ve 3x aynı paritenin (tek/çift) aynıdır.
Örneğin:
- x çift: x^2 çift, 3x çift
- x tek: x^2 tek, 3x tek
Şimdi x^2 + 3x toplamına bakalım:
| x parity | x^2 | 3x | x^2 + 3x parity | Yorum |
|---|---|---|---|---|
| Çift | Çift | Çift | Çift + Çift = Çift | Even |
| Tek | Tek | Tek | Tek + Tek = Çift | Odd + Odd = Even |
Önemli! İki tek sayının toplamı çifttir.
Demek ki x^2 + 3x her zaman çifttir, ister x tek ister çift olsun.
3. x^2 + 3x + y ifadesi tek ise:
x^2 + 3x + y = \text{tek}
Ama x^2 + 3x çifttir, o halde:
\text{Çift} + y = \text{Tek}
Burada ancak y tek sayı olursa toplam tek olur.
Yani:
y her zaman tek sayıdır.
4. Sorudaki seçeneklerde y'nin tek olması durumu ile hangi ifade daima tek olur?
| Seçenek | İfade | Yorum |
|---|---|---|
| A) | x + y | y tek ise, x tek veya çift olabilir. |
Tek + Tek = Çift, Çift + Tek = Tek → değişken. |
| B) | x \cdot y | y tek, x doğal. Tek * herhangi sayı: tek veya çift olabilir. Örneğin: 2*3=6 (çift). |
| C) | x + 3 | 3 tek, x doğal olarak tek veya çift
Tek + Tek = Çift, Çift + Tek= Tek → değişken. |
| D) | y + 2 | y tek + 2 (çift)
Tek + Çift = Tek → her zaman tek |
| E) | 2x + y + 1 | 2x çift, y tek, 1 tek
Çift + Tek + Tek = Çift → değişken. |
En kesin daima tek sayı olan ifade: D) y + 2
Özet ve tablo:
| Adım | Sonuç |
|---|---|
| x^2 + 3x toplamı | Her zaman çift |
| İfade tek ise y | Tek olmak zorunda |
| y + 2 ifadesi | Tek + Çift = Tek (her zaman tek sayı) |
| Diğer seçeneklerdeki parite | Değişken (tek veya çift olabilir) |
Sonuç:
Doğru cevap: D) y + 2
Ek bilgi:
- Negatif işaretler sayıların tek/çift olma durumunu değiştirmez.
- İki tek sayının toplamı çift olur.
- Tek + çift = tek olur.
Özet: Soru verilen ifade tek sayıysa, y mutlaka tek sayı olmak zorundadır. Buna göre, y + 2 ifadesi daima tek sayı olur.
Soru: x ve y birer doğal sayı olduğuna göre, (-x^2 - 3x - y) tek sayı ise daima tek sayı olan hangisidir?
A) (x + y)
B) (x \cdot y)
C) (x + 3)
D) (y + 2)
E) (2x + y + 1)
İçindekiler
1. Parite Kavramı
- Bir sayı tek ise mod 2’ye göre (1) kalanı,
- Bir sayı çift ise mod 2’ye göre (0) kalanı vardır.
- Toplama ve çarpma kuralları:
- Tek + Tek = Çift
- Çift + Çift = Çift
- Tek + Çift = Tek
- Tek × Herhangi = Herhangi
- Çift × Herhangi = Çift
2. Verilen İfadenin Analizi
Elimizde:
[
-,\bigl(x^2 + 3x + y\bigr)
]
Bu ifadenin tek olması için parantez içindeki kısmın da tek olması gerekir (eksi işareti paritenin değişmesini etkilemez).
- (x^2)
- (x) çift ise (x^2) çift, (x) tek ise (x^2) tek.
- (3x)
- (3) tek olduğundan (3x) terimi de (x) ile aynı paritededir.
Dolayısıyla (x^2 + 3x):
- (x) çift ⇒ çift + çift = çift
- (x) tek ⇒ tek + tek = çift
Sonuç: (x^2 + 3x) her zaman ÇİFT’tir.
Bu durumda
[
(x^2 + 3x) + y = \text{TEK}
\quad\Longrightarrow\quad
\underbrace{\text{ÇİFT}}_{x^2+3x} + y = \text{TEK}
]
olabilmesi için (y) mutlaka TEK olmalıdır.
3. y’nin Paritesi
- Elde edilen bilgi: (y) tek sayıdır.
4. Seçeneklerin İncelenmesi
| Seçenek | İfade | Parite Analizi | Daima Tek mi? |
|---|---|---|---|
| A) | (x + y) | (x) her iki parite, (y) tek → değişken | Hayır |
| B) | (x \cdot y) | (y) tek, (x) her iki parite → değişken | Hayır |
| C) | (x + 3) | (3) tek, (x) her iki parite → değişken | Hayır |
| D) | (y + 2) | tek + çift = tek | Evet |
| E) | (2x + y + 1) | (2x) çift, (y) tek, (1) tek → çift + tek + tek = çift | Hayır |
5. Özet Tablosu
| Adım | Sonuç |
|---|---|
| (x^2 + 3x) toplamı | Her zaman çift |
| ((x^2 + 3x) + y) tek ise | (y) tek olmalı |
| En garanti tek ifade | (y + 2) |
6. Sonuç
Doğru cevap: D) (y + 2)