\frac{3 - \frac{5}{2}}{2 + \frac{1}{3}} - 2 dot \frac{1}{3} =1
Rasyonel Sayılarda Dört İşlem Probleminin Çözümü
KULLANILAN FORMÜLLER VE KURALLAR:
- Kesirlerde Toplama ve Çıkarma: Paydalar eşitlenerek işlem yapılır: \frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d \pm c \cdot b}{b \cdot d}
- Kesirlerde Bölme: Birinci kesir aynen kalır, ikinci kesir ters çevrilip çarpılır: \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}
- Kesirlerde Çarpma: Paylar birbiriyle, paydalar birbiriyle çarpılır: a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Verilen işlem:
\frac{3 - \frac{5}{2}}{2 + \frac{1}{3}} - 2 \cdot \frac{1}{3}
Adım 1 — Ana Kesrin Pay Kısmını Hesaplama
Tam sayı ile kesir arasındaki çıkarma işleminde payda eşitlenir:
3 - \frac{5}{2} = \frac{6}{2} - \frac{5}{2} = \frac{1}{2}
Adım 2 — Ana Kesrin Payda Kısmını Hesaplama
Tam sayı ile kesir arasındaki toplama işleminde payda eşitlenir:
2 + \frac{1}{3} = \frac{6}{3} + \frac{1}{3} = \frac{7}{3}
Adım 3 — Ana Kesirdeki Bölme İşlemini Yapma
Paydaki \frac{1}{2} kesri aynen yazılır, paydadaki \frac{7}{3} kesri ters çevrilerek çarpılır:
\frac{\frac{1}{2}}{\frac{7}{3}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{7} = \frac{3}{14}
Adım 4 — Yan Taraftaki Çarpma İşlemini Yapma
2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}
Adım 5 — Bulunan Değerleri Çıkarma ve Sonuca Ulaşma
İşlemin son hali \frac{3}{14} - \frac{2}{3} şeklindedir. Paydalar 14 ve 3’ün en küçük ortak katı olan 42’de eşitlenir:
\frac{3}{14} \, (3 \text{ ile}) - \frac{2}{3} \, (14 \text{ ile}) = \frac{3 \cdot 3}{42} - \frac{2 \cdot 14}{42}
\frac{9}{42} - \frac{28}{42} = \frac{9 - 28}{42} = -\frac{19}{42}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: -\frac{19}{42}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Merdivenli Kesirlerde Bölme
- Tanım: Büyük kesir çizgisinin üstündeki ifade pay, altındaki ifade ise paydadır. Pay aynen yazılıp payda ters çevrilerek çarpma işlemine dönüştürülür.
- Bu problemde: Pay kısmı \frac{1}{2}, payda kısmı \frac{7}{3} bulunmuş ve \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{7} = \frac{3}{14} olarak hesaplanmıştır.
2. Kesirlerde Çıkarma (Ortak Payda)
- Tanım: Farklı paydalara sahip kesirlerin toplanabilmesi veya çıkarılabilmesi için paydalarının en küçük ortak katta eşitlenmesi gerekir.
- Bu problemde: 14 ve 3 sayılarının paydaları 42’de eşitlenerek işlem tamamlanmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
İşlem Sırasını ve Kesir Çizgisini Karıştırmak
- Yanlış: Ana kesir çizgisi yerine ara çizgileri bölme noktası kabul edip sırayı bozmak.
- Doğru: En uzun ana kesir çizgisinin üstünü tek bir parça, altını tek bir parça olarak ayrı ayrı çözüp en son bölme işlemini uygulamak.
- Neden yanlış: İşlem önceliği kurallarına uyulmadığında pay ve payda ters yerleşir ve yanlış sonuç elde edilir.
Rasyonel sayılarda işlem adımlarını pekiştirmek için benzer bir merdivenli kesir sorusu daha çözmemi ister misin?
Bana bu cevabı Özetle
Rasyonel Sayı İşleminin Özet Çözümü
KULLANILAN KURAL: Ana kesir çizgisinin üstü (pay) ve altı (payda) ayrı ayrı hesaplanır, pay aynen alınıp payda ters çevrilerek çarpılır. Ardından işlem önceliğine göre çarpma ve çıkarma işlemleri tamamlanır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Payı Bulma
3 - \frac{5}{2} = \frac{6 - 5}{2} = \frac{1}{2}
Adım 2 — Paydayı Bulma
2 + \frac{1}{3} = \frac{6 + 1}{3} = \frac{7}{3}
Adım 3 — Ana Kesri Bölme (Ters Çevirip Çarpma)
\frac{\frac{1}{2}}{\frac{7}{3}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{7} = \frac{3}{14}
Adım 4 — Yan Çarpmayı Yapma
2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}
Adım 5 — Son Çıkarma İşlemi (Payda Eşitleme: 42)
\frac{3}{14} - \frac{2}{3} = \frac{9}{42} - \frac{28}{42} = -\frac{19}{42}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: -\frac{19}{42}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Kesirlerde Bölme Kuralı
- Tanım: \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} kuralı uygulanır.
- Bu problemde: \frac{1}{2} kesri ile \frac{7}{3} kesri bölünürken \frac{7}{3} ters çevrilip \frac{3}{7} olarak çarpılmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Payda Eşitlemeden Çıkarma Yapmak
- Yanlış: \frac{3}{14} - \frac{2}{3} işleminde payları ve paydaları kendi arasında çıkarmak.
- Doğru: Paydaları 42’de eşitleyerek \frac{9 - 28}{42} şeklinde işlem yapmak.
- Neden yanlış: Paydaları eşit olmayan kesirler doğrudan toplanamaz veya çıkarılamaz.
Bu çözüm yöntemini pekiştirmek için benzer bir rasyonel sayı sorusu çözmemi ister misin?
Bana rasyonel sayilar kurallarini anlatır misin
Rasyonel Sayılar ve Temel İşlem Kuralları
Rasyonel sayılar, a ve b birer tam sayı ve b \neq 0 olmak üzere \frac{a}{b} biçiminde ifade edilebilen sayılar kümesidir (\mathbb{Q} sembolü ile gösterilir). Rasyonel sayılarda dört işlem; paydaların eşitliği, sadeleştirme-genişletme ve işlem önceliği kuralları çerçevesinde yürütülür.
Temel İşlem Kuralları Özeti:
- Toplama ve Çıkarma: Yalnızca paydalar eşitken paylar arasında işlem yapılır: \frac{a}{k} \pm \frac{b}{k} = \frac{a \pm b}{k}.
- Çarpma: Paylar birbiriyle, paydalar birbiriyle doğrudan çarpılır: \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}.
- Bölme: Birinci kesir aynen kalır, ikinci kesir ters çevrilerek çarpılır: \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}.
- Genişletme ve Sadeleştirme: Kesrin değeri değişmeden pay ve payda aynı sıfırdan farklı sayı ile çarpılır veya bölünür.
İçindekiler
- Genişletme ve Sadeleştirme Kuralları
- Toplama ve Çıkarma İşlemleri
- Çarpma ve Bölme İşlemleri
- Merdivenli Kesirler ve İşlem Önceliği
- Özet Tablosu
Genişletme ve Sadeleştirme Kuralları
Rasyonel sayılarda işlem yapmayı kolaylaştırmak ve en yalın sonuca ulaşmak için kesirler genişletilir veya sadeleştirilir. Bu işlemler kesrin sayısal değerini değiştirmez.
- Genişletme: Bir kesrin pay ve paydasını k \neq 0 tam sayısı ile çarpmaktır:\frac{a}{b} = \frac{a \cdot k}{b \cdot k}
- Sadeleştirme: Bir kesrin pay ve paydasını ortak bölenleri olan k \neq 0 tam sayısına bölmektir:\frac{a}{b} = \frac{a \div k}{b \div k}
Toplama ve Çıkarma İşlemleri
Kesirlerde toplama veya çıkarma yapabilmek için paydaların kesinlikle eşit olması gerekir.
- Paydalar eşit değilse, paydaların en küçük ortak katı (EKOK) belirlenir.
- Kesirler uygun sayılarla genişletilerek ortak paydaya getirilir.
- Paylar toplanır veya çıkarılır, ortak payda aynen yazılır:\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d + b \cdot c}{b \cdot d}
Tam sayılı bir ifade ile kesir toplanırken pratik yöntem uygulanabilir:
a + \frac{b}{c} = \frac{a \cdot c + b}{c}
Çarpma ve Bölme İşlemleri
Çarpma ve bölme işlemlerinde payda eşitleme şartı yoktur.
-
Çarpma Kuralı:
\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}Bir tam sayı ile kesir çarpılırken tam sayı doğrudan pay ile çarpılır: k \cdot \frac{a}{b} = \frac{k \cdot a}{b}.
-
Bölme Kuralı:
Bölme işlemi ters çevirip çarpma mantığıyla yürütülür. Bölünen (ilk kesir) aynen yazılır, bölen (ikinci kesir) takla attırılır (çarpmaya göre tersi alınır) ve çarpılır:\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}
Merdivenli Kesirler ve İşlem Önceliği
Birden fazla işlemin bir arada bulunduğu rasyonel sayı problemlerinde standart işlem önceliği sırası takip edilir:
- Parantez içi işlemler ve üslü ifadeler
- Çarpma ve bölme işlemleri (aynı öncelikte soldan sağa)
- Toplama ve çıkarma işlemleri (aynı öncelikte soldan sağa)
Merdivenli (Katlı) Kesirlerde: En uzun yatay çizgi ana kesir çizgisidir. Ana kesir çizgisinin üst kısmı bütünüyle pay, alt kısmı ise bütünüyle paydadır. Pay ve payda kendi içinde en küçük basamaktan başlanarak çözülür, en son ana bölme işlemi tamamlanır.
Özet Tablosu
| İşlem Türü | Genel Kural Formülü | Payda Eşitleme Gerekir mi? | Dikkat Edilecek Nokta |
|---|---|---|---|
| Toplama / Çıkarma | \frac{a}{k} \pm \frac{b}{k} = \frac{a \pm b}{k} | Evet (Zorunlu) | Paydalar toplanmaz, ortak yazılır. |
| Çarpma | \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} | Hayır | İşlem öncesi sadeleştirme yapılabilir. |
| Bölme | \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} | Hayır | İkinci kesir ters çevrilir. |
| Genişletme | \frac{a \cdot k}{b \cdot k} (k \neq 0) | — | Kesrin sayısal değeri değişmez. |
Bu kurallardan birini (örneğin merdivenli kesirler veya işaret kuralları) adım adım örnek sorular üzerinden detaylandırmamı ister misin?