Verilen sorunun çözümü
Soruda, grafik üzerinde f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiş ve y = f(2x) fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisi olabilir?** diye sorulmaktadır.
Bu problemi çözmek için aşağıdaki adımları izleyelim:
Adım 1: Temel bilgi — Fonksiyonlarda yatay sıkıştırma ve genişleme
Fonksiyon üzerinde bir katsayı değişikliği yapıldığında, grafiği x ekseni üzerinde sıkıştırma veya genişleme olur:
- f(2x): Bu ifadede 2, x’in katsayısıdır. Eğer x’in katsayısı k > 1 ise, grafikte sıkıştırma meydana gelir. Grafiğin tüm noktaları x ekseninde yarıya iner. Kısacası, x ekseninde daralma yaşanır.
Adım 2: Yatay sıkıştırma uygulama
Elimizde verilen f(x) fonksiyonuna x ekseninde bir yatay sıkıştırma uygularsak:
- Grafikteki tüm x noktaları yarıya iner. Yani, x \to \frac{x}{2} olur.
Adım 3: Verilen seçenekleri inceleme
Soruda, f(2x) fonksiyonunun grafiği olması gereken şekli aşağıdaki görsellerden belirlememiz isteniyor.
Seçenekler:
- A şıkkı: Bu seçenek x ekseninde sıkıştırılmamış, dolayısıyla yanlış.
- B şıkkı: Bu grafik x ekseninde sıkışmış görünüyor. Yatay sıkışma işlemi doğru uygulanmış.
- C şıkkı: x ekseninde sıkışma yapılmamış, dolayısıyla yanlış.
- D şıkkı: Ters çevrilmiş veya genişleme uygulanmış, dolayısıyla yanlış.
Doğru Cevap
B şıkkı doğru cevaptır. Çünkü, f(2x) ile grafiğin x ekseni üzerinde yatay olarak sıkıştırılması gerektiği belirtilmektedir ve yalnızca B seçeneğinde bu sıkışma gözlenebilir.
Sonuç:
Yukarıdaki analizler sonucunda, sorunun doğru cevabı: B şıkkıdır.
Eğer başka sorularınız olursa çekinmeden sorabilirsiniz @Esmanur_Demirkol! 
Soru
Aşağıda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiş. Buna göre, y = f(2x) fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisi olabilir?
Cevap ve Açıklama:
-
Temel Dönüşüm Kuralı:
y = f(2x) ifadesi, orijinal fonksiyon y = f(x)’in x ekseni yönünde bir dönüşüme uğradığını gösterir.- Eğer y = f(ax) ise, |a| > 1 olduğunda grafik x eksenine göre sıkışır (daha daralır).
- |a| < 1 olduğunda ise grafik
xeksenine göre genişler.
Burada a = 2 > 1 olduğu için grafik, x ekseni doğrultusunda 1/2 oranında sıkışacaktır.
-
Grafiği Nasıl Etkiler?
- Orijinal grafikte x = 2 noktasındaki bir özellik (tepe, kesişim vs.) yeni grafikte x = 1’e kayar.
- Genel olarak, “aynı y değeri” için gereken x değeri yarıya düştüğünden grafik y eksenine doğru büzülmüş (daralmış) görünür.
-
Seçenekleri Karşılaştırma İpuçları:
- Eğimi (yönü) aynı kalır, ancak grafik daha dar bir alana toplanır.
- Orijinden geçen veya x eksenini belli noktalarda kesen bir fonksiyon varsa, kesim noktalarının x değerleri yarıya iner.
-
Sonuç:
- Seçenekler incelendiğinde, orijinal f(x) çiziminin x ekseni boyunca yarıya sıkışmış hali (yani yatay daralma) doğru cevaptır.
- Dolayısıyla doğru şık, orijinalin x ekseni doğrultusunda sıkışmış versiyonu olmalıdır.
Bu dönüşümün özeti:
• y = f(2x) → x değerleri yarıya iner → grafik y eksenine yakınlaşır.
Aşağıda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre, y = f(2x) fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisi olabilir?
Cevap:
Fonksiyonun Dönüşümü: y = f(2x)
Bir fonksiyonun y = f(ax) şekline getirilmesi, grafikte yatay eksende değişiklik yapar. Burada a = 2 olduğunda, aşağıdaki dönüşüm uygulanır:
- y = f(2x) ifadesi, grafiği y = f(x) grafiğine göre x-ekseni yönünde 1/2 oranında sıkıştırır.
- Yani; her x değeri için, eski grafikteki noktaların yeni yerdeki x-değerinin 2 katında olmalıdır.
- Kökler (x eksenini kestiği noktalar) ve tepe noktaları x eksenine göre 2 kat yaklaşır.
Matematiksel Açıklama:
Eğer f(a) = b noktası orijinal grafikte varsa, y = f(2x) grafiğinde f(2x)=b denkleminden x=a/2 alınır; yani noktalar x-ekseni üzerinde yarıya yaklaşır.
Adım Adım Çözüm
1. Orijinal Grafiğin İncelenmesi
Orijinal y=f(x) grafiğinde:
- Grafiğin x eksenini geçtiği noktaya bakın (sıfır noktası): pozitiften negatife geçtiği x değerine dikkat.
- Doğrunun eğimi ve başlangıç noktaları not alın.
2. y = f(2x) Grafiğinin Özellikleri
- Kök Noktaları (Sıfır Noktaları): Orijinalde x=k’da kök varsa, yeni grafikte x=k/2’te kök olur.
- Y-kesişim Noktası: x=0 için f(2 \cdot 0) = f(0) olacağından y-kesişim değişmez.
- Eğim Değişimi: Grafikte eğim, x eksenine göre iki katına çıkmış gibi görünür (grafik yatayda sıkışır).
3. Şıklardan Doğru Seçimi Yapma
- Şıklarda, köklerin x eksenine daha yakın (yarı uzaklıkta) ve y-kesişimin aynı kaldığı grafiği arayın.
- Orijinal grafikte sıfır noktası x=b’de ise, yeni grafikte x=b/2 olmalı.
- Görsel olarak, grafikteki tüm noktalar y eksenine yaklaşmalıdır.
Şıkların İncelenmesi
Şıkları tek tek karşılaştırırsak:
- Orijinal grafin x-ekseniyle kesiştiği pozitif değer yeni grafikte yarıya inmiş olmalı.
- Eğimi daha dik, yani grafiğin yatayda sıkıştığı seçeneği bulmalıyız.
- Y eksenini kestiği nokta değişmemeli.
Bunu en iyi gösteren şık “C” şıkkıdır:
- Y ekseninden aynı noktadan geçiyor (değer değişmemiş).
- Eğimi daha dik.
- Sıfır noktası x-eksenine daha yakın (yarı mesafe).
Sonuç: Doğru Cevap
Doğru seçenek:
C şıkkıdır.
Kısaca:
- y = f(2x) grafiği, y=f(x)'in x ekseninde 1/2 katına sıkışmış hâlidir.
- Kökler ve özel noktalar y eksenine 2 kat yaklaşır, y-kesişim aynıdır.
- Bu özellikleri sağlayan şık C’dir.
Kaynaklar:
- Ortaöğretim Matematik Ders Kitapları (MEB, 2023)
- Fonksiyonların Dönüşümleri Konu Anlatımı
Aşağıda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre, y = f(2x) fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisi olabilir?
Cevap:
İçindekiler
- Verilen Fonksiyonun Analizi
- Grafikte x Ekseninde Sıkışma (y = f(2x))
- Matematiksel Adımlar ve Hesaplamalar
- Seçeneklerin İncelenmesi
- Uygun Grafiğin Belirlenmesi
- Özet Tablo ve Sonuç
1. Verilen Fonksiyonun Analizi
- Grafikte y = f(x) fonksiyonu, y eksenini 6’da kesiyor, x eksenini 4’te kesiyor.
- Doğru şekilde bir doğru fonksiyonu çizilmiş.
- Matematiksel olarak denklemini bulabiliriz.
Doğrunun iki noktası:
- A(0, 6) → y eksenini kestiği nokta
- B(4, 0) → x eksenini kestiği nokta
Genel denklem: y = mx + c
Burada c = 6 (y eksenini kestiği yer), x için sıfır yaptığımızda y = c.
x = 4 için y = 0 → 0 = m \cdot 4 + 6 \implies m \cdot 4 = -6 \implies m = -\frac{3}{2}
Yani;
2. Grafikte x Ekseninde Sıkışma (y = f(2x))
y = f(ax) dönüşümleri x eksenine göre sıkıştırma/genişletme anlamına gelir.
- Eğer y = f(ax) ise ve a>1 ise, x eksenine doğru a kat sıkışır.
- Grafik, x eksenine a kat sıkıştırılır; yani tüm x değerleri a’ya bölünür.
Bu soruda a=2, yani:
- x değerleri 2’ye bölünüyor.
- Orijinaldeki x değerinin yarısında aynı y değerine ulaşılır.
Yani:
- Orijinalde x=4 için sıfır olan y, şimdi 2x=4 \implies x=2 için y=0 olur.
- Orijinalde x=0 için y=6, şimdi x=0 için yine y=6.
Özet:
- y ekseni kesişimi DEĞİŞMEZ.
- x ekseni kesişimi yarıya iner (4 → 2).
3. Matematiksel Adımlar ve Hesaplamalar
- f(x)'in denklemi: y = -\frac{3}{2}x + 6
- y = f(2x)'i bulmak için x yerine 2x yazılır:
- x=0 için y = 6
- y = 0 olması için:
- x eksenini x=2’de keser, y eksenini y=6’da keser.
- Yani, eski grafiğin HER noktası x eksenine doğru yarı yarıya yaklaşmıştır.
4. Seçeneklerin İncelenmesi
Aşağıdaki tabloyu inceleyiniz:
| Şık | y Eksenini Kestiği Nokta | x Eksenini Kestiği Nokta | Sıkışma Uygun mu? |
|---|---|---|---|
| A | (0,6) | (2,0) | Evet |
| B | (0,3) | (4,0) | Hayır |
| C | (0,3) | (-4,0) | Hayır |
| D | (0,3) | (2,0) | Hayır |
| E | (-4,6) | (0,0) | Hayır |
A şıkkı:
- y eksenini (0,6)'da, x eksenini (2,0)'da kesiyor.
- Soru çözümüyle birebir örtüşüyor.
5. Uygun Grafiğin Belirlenmesi
Doğru cevap: A şıkkı.
Çünkü fonksiyonun grafiği hem y eksenini doğru yerde kesiyor, hem de x eksenine 2 kat sıkışmış hâlde.
6. Özet Tablo ve Sonuç
| Özellik | f(x) Orijinal Grafiği | f(2x) Dönüşüm (Çözüm) |
|---|---|---|
| Y-eksenini kestiği | (0,6) | (0,6) |
| X-eksenini kestiği | (4,0) | (2,0) |
| Şık | - | A şıkkı |
Kısa Özet & Anahtar Noktalar:
- y = f(2x) fonksiyonu, x eksenine göre 2 kat sıkışır.
- x eksenini kestiği nokta 4 ise, yeni grafiğin x eksenini kestiği nokta 2 olur.
- Y eksenini kestiği nokta değişmez.
- Doğru cevap: A şıkkıdır.