Verilen:
m(Â) + m(ˆB) = 90°,
m(Â) > 0°,
m(ˆB) > 0°.
Buna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudir?
A) sin(Â) = sin(ˆB)
B) cos(Â) = sin(Â)
C) tan(Â) > cos(ˆB)
D) sin(Â) = cos(ˆB)
E) tan(Â) = cot(Â)
Çözüm adımları:
-
m(Â) + m(ˆB) = 90° olduğuna göre
m(ˆB) = 90° – m(Â). -
Trigonometrik tamamlayıcı açı ilişkisi:
Herhangi bir açı x için
sin x = cos(90° – x). -
Burada x = m(Â) alırsak:
sin(m(Â)) = cos(90° – m(Â)) = cos(m(ˆB)). -
Diğer seçeneklerin doğruluk durumu:
- A şıkkı (sin(Â)=sin(ˆB)): Ancak sin(Â)=sin(90°–Â)=cos(Â) olur; sin(ˆB)=sin(90°–Â)=cos(Â). Yalnız bu ancak Â=45° durumunda sin(Â)=sin(ˆB) = √2/2 eşitlenir. Her koşulda geçerli değildir.
- B şıkkı (cos(Â)=sin(Â)): Sadece Â=45° için doğru.
- C şıkkı (tan(Â)>cos(ˆB)): m(Â)∈(0,90°) iken tan(Â)=sin(Â)/cos(Â) ve cos(ˆB)=cos(90°–Â)=sin(Â) → tan(Â)=sin(Â)/cos(Â)>sin(Â)=cos(ˆB). Gerçekten doğru olsa da “eşitlik” içermeyen, sadece “>” veren bir önerme; tipik olarak aranan “eşitlik” değil.
- E şıkkı (tan(Â)=cot(Â)): tan ve cot birbirinin tersi olduğu için tan(Â)=1/tan(Â) şartı tan²(Â)=1 gerekir; bu ancak Â=45° için geçerli.
Buna göre soruda kesinlikle eşitlik olarak doğru verilen D şıkkıdır:
Cevap: D) sin(Â) = cos(ˆB)
Soru: m(Â) + m(B̂) = 90°, A > 0°, B > 0°. Buna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
Cevap ve açıklama:
- m(Â) + m(B̂) = 90° olduğundan m(B)=90^\circ - m(A).
- Bu yüzden\cos B = \cos(90^\circ - A) = \sin A.Dolayısıyla \sin A = \cos B olur — yani şıklardan D kesinlikle doğrudur.
Ayrıca şık C’yi de kontrol edelim:
- Şık C: \tan A > \cos B. Çünkü \cos B=\sin A, bu eşitliği yerine koyarsak\tan A > \cos B \iff \tan A > \sin A \iff \frac{\sin A}{\cos A} > \sin A.\sin A>0 olduğu için her iki tarafı \sin A ile bölünür ve\frac{1}{\cos A} > 1 \iff \cos A < 1,ki 0<A<90^\circ olduğundan \cos A<1 her zaman doğrudur. Yani C de her zaman doğrudur.
Diğer şıkları eliyoruz:
- A) \sin A=\sin B doğru değildir (ör. A=30^\circ,B=60^\circ: 0{,}5\neq0{,}866).
- B) \cos A=\sin A ancak A=45^\circ için doğru; genel A için değil.
- E) \tan A=\cot A ancak bu ancak \tan^2 A=1 yani A=45^\circ için olur; genel değil.
Özet: kesin doğru olanlar D (\sin A=\cos B) ve mantıksal olarak C (\tan A>\cos B) de tüm verilen şartlar altında doğrudur. Eğer tek şık seçilecekse ve sınav bağlamında “özdeşlik / kimlik” soruluyorsa D en doğrudur.