Resimdeki 1., 2., 3. ve 4. sorulardan hangisinin çözümünü görmek istersiniz?
Sorunuzdaki Matematik Problemleri ve Çözüm Yöntemleri
Önemli Noktalar
- Üç basamaklı doğal sayılar arasındaki büyüklük ilişkileri cebirsel olarak yorumlanabilir.
- Tam sayı eşitsizlikleri ve çözüm aralığı analizleri temel matematik bilgisi gerektirir.
- Üsler ve çarpanların eşitliğinden bilinmeyenlerin çarpımı bulunabilir.
- Basit cebirsel denklemlerle günlük sıcaklık problemleri çözülebilir.
Resimdeki dört soru matematik TYT seviyesinde temel cebir, eşitsizlik ve üstel fonksiyon konularını içermektedir. Her birinde verilen bilgileri kullanarak bilinmeyenlere ulaşmamız isteniyor.
İçindekiler
- Birinci Soru: Üç Basamaklı Sayılar ve Eşitsizlikler
- İkinci Soru: Eşitsizliği Sağlayan Tam Sayılar
- Üçüncü Soru: Üsler ve Çarpımla İlgili Denklem
- Dördüncü Soru: Hava Sıcaklığı Problemi
Birinci Soru: Üç Basamaklı Sayılar ve Eşitsizlikler
Soru:
Üç basamaklı ABB, CBA ve CDA doğal sayılarının aşağıdaki eşitsizlikleri sağladığı belirtiliyor:
CDA < ABB < CBA
A·D = 35 olduğuna göre A + B + C + D toplamı kaçtır?
Çözüm Yaklaşımı:
- Üç basamaklı ABB sayısı: “A B B” yani A yüzler, B onlar ve birler basamaklarıdır. Sayısal ifade: 100A + 10B + B = 100A + 11B
- Ayrıca C D A için: 100C + 10D + A
- C B A için: 100C + 10B + A
- Verilen eşitsizliklere göre sayılar dizisi: CDA < ABB < CBA
- A·D=35 olduğuna göre olası çarpanlar (A,D) çiftleri (5,7) veya (7,5) olabilir çünkü 35’in asal çarpanları 5 ve 7. A ve D doğal basamak sayıları olduğundan 1-9 arasında olmalıdır.
- Bu değerler eşitsizliklerde yerine konup diğer bilinmeyenler çözülebilir.
Örnek çözüm:
A=5, D=7 için
CDA = 100C + 10·7 + 5 = 100C + 75
ABB = 500 + 11B
CBA = 100C + 10B + 5
Eşitsizliklere göre:
100C + 75 < 500 + 11B < 100C + 10B + 5
Bu aralığı sağlayan C ve B değerleri deneme yoluyla bulunabilir.
Sonrasında tüm harflerin toplamı A+B+C+D hesaplanır.
Pro Tip: Sayı değeri ifadeleri yazarken basamak değerlerini açarak hesaplama yapmak işleri kolaylaştırır.
İkinci Soru: Eşitsizliği Sağlayan Tam Sayılar
Soru:
A bir tam sayı ve x tam sayıları için şu eşitsizlik sağlanıyor:
[
\frac{x-5}{3} < x - 1 < A
]
Eşitsizliği sağlayan 6 tane x tam sayısı vardır. Buna göre A kaçtır?
Çözüm Yaklaşımı:
-
Önce eşitsizlikleri ayrıntılı yazalım:
[
\frac{x-5}{3} < x-1 \quad \text{ve} \quad x -1 < A
] -
İlk eşitsizliği çözelim:
[
\frac{x-5}{3} < x-1 \implies x-5 < 3x -3 \implies -5 +3 < 3x - x \implies -2 < 2x \implies -1 < x
] -
İkinci eşitsizlik: ( x - 1 < A \implies x < A + 1 )
-
Bu durumda x tam sayıları için aralık:
[
-1 < x < A + 1
] -
x tam sayıları bu aralıktadır ve bu tam sayıların sayısı 6’dır.
-
Aralık uzunluğu 6 tam sayı içeriyorsa:
[
A + 1 - (-1) > 6 \implies A + 2 > 6 \implies A > 4
] -
A tam sayı olduğu için ( A = 5 ) olabilir.
Uyarı: Aralıkta tam sayıların sayısı tartışılırken sınırlar açık veya kapalı olduğu iyi anlaşılmalıdır.
Üçüncü Soru: Üsler ve Çarpımla İlgili Denklem
Soru:
x ve y birer tam sayı olmak üzere
[
6 \cdot 2^{x} - 5 \cdot 3^{y} \cdot 1^{2} = 2^{2} \cdot 12^{3y}
]
olduğuna göre x·y çarpımı kaçtır?
Çözüm Yaklaşımı:
-
1^2 = 1 olduğu için denklemi sadeleştirelim:
[
6 \cdot 2^{x} - 5 \cdot 3^{y} = 2^{2} \cdot (12)^{3y}
] -
( 12^{3y} = (2^{2} \cdot 3)^{3y} = 2^{6y} \cdot 3^{3y} )
-
Sağ taraf: ( 2^{2} \cdot 2^{6y} \cdot 3^{3y} = 2^{2+6y} \cdot 3^{3y} )
-
Bu durumda denklem:
[
6 \cdot 2^{x} - 5 \cdot 3^{y} = 2^{2 + 6y} \cdot 3^{3y}
] -
Burada ( x, y ) için uygun tam sayılar aranır.
-
Belirtilen üslerde tutarlı olması için eşitlikte üslerin karşılaştırılması gerekir.
Dördüncü Soru: Hava Sıcaklığı Problemi
Soru:
Bir ilde bir gün içinde ölçülen en düşük sıcaklık a °C, en yüksek sıcaklık b °C’dir. a ve b sayıları için
[
|12 - a| = 2 - a \cdot b \quad \text{ve} \quad \left|\frac{a}{b}\right| = \frac{9}{8}
]
eşitlikleri sağlanmaktadır. Buna göre bu günün herhangi bir anında ölçülen hava sıcaklığının °C türünden değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir?
Çözüm Yaklaşımı:
-
İlk eşitliği inceleyelim:
[
|12 - a| = 2 - a\cdot b
] -
İkinci eşitlik:
[
\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{9}{8} \implies \text{b = ±} \frac{8}{9} a
] -
Bu ilişkiye göre ( a,b ) değerleri bulunur ve ardından sıcaklık aralığında alınabilecek bir değer belirlenir.
Sonraki Adımlar
Bu sorulardan istediğiniz bir veya birkaçının detaylı çözümünü adım adım ister misiniz? Ayrıca farklı soru tipleri veya sınav stratejileri hakkında yardımcı olabilir miyim?