Sorunun mantığını anlayamadım

DGS
1

Şimdi şöyle burada X’in çift olduğunu buldum fakat daha sonra ben nasıl yapacağımı bilemedim yani sayıları tek tek yazıyor olmak çok uzun sürer mantığını oturtman benim için çok önemli mantığını oturttacağım şekilde anlatırsan çok mutlu olurum

Soru Görseli
Soru Görseli389×1024 97.3 KB

2

3x + 4y = 314 Denklemini Sağlayan Doğal Sayı İkililerinin Sayısı

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / MANTIK: Bu tür Diofant denklemlerinde (ax + by = c), ilk tam sayı çözümünü bulduktan sonra diğer çözümler katsayılar kadar artar veya azalır. Terim sayısını bulmak için ise Son Terim Formülü kullanılır:

\text{Terim Sayısı} = \frac{\text{Son Terim} - \text{İlk Terim}}{\text{Artış Miktarı}} + 1

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — İlk Çözümü Bulma
Denklemi inceleyelim: 3x + 4y = 314. x ve y birer doğal sayı (0, 1, 2, \dots) olmalıdır. Senin de fark ettiğin gibi 4y ve 314 çift sayılardır, bu durumda 3x de çift olmalı, yani x çift bir sayı olmalıdır.

  • x = 2 için: 3(2) + 4y = 314 \Rightarrow 6 + 4y = 314 \Rightarrow 4y = 308 \Rightarrow y = 77.
    İlk ikilimiz: (2, 77).

Adım 2 — Değişim Mantığını Kavrama
Genel kural şudur: x değeri, $y$’nin katsayısı olan 4 kadar artarken; y değeri, $x$’in katsayısı olan 3 kadar azalır.

    1. Çözüm: (2, 77)
    1. Çözüm: (2+4, 77-3) = (6, 74)
    1. Çözüm: (6+4, 74-3) = (10, 71)
      Bu şekilde devam eder.

Adım 3 — Sınır Değerini (Son Terimi) Belirleme
y doğal sayı olduğu için en az 0 olabilir. y değerinin en küçük değerini bulalım:
3x + 4y = 314 denkleminde y = 2 verirsek (çünkü 314 - 4(2) = 306 ve 306, $3$’e tam bölünür):
3x + 4(2) = 314 \Rightarrow 3x = 306 \Rightarrow x = 102.
Son ikilimiz: (102, 2).
(Not: y=1 veya y=0 için x tam sayı çıkmaz.)

Adım 4 — Terim Sayısını Hesaplama
Elimizdeki x değerleri: 2, 6, 10, \dots, 102 şeklinde 4’er 4’er artan bir dizidir.

\text{Terim Sayısı} = \frac{102 - 2}{4} + 1
\text{Terim Sayısı} = \frac{100}{4} + 1 = 25 + 1 = 26

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: 26 farklı (x, y) sıralı ikilisi vardır. (Cevap E seçeneğidir.)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Katsayı İlişkisi

  • Tanım: Bir değişkendeki artış, diğerinin katsayısına eşittir.
  • Bu problemde: x değerlerini tek tek denemek yerine, y’nin önündeki 4 sayısını artış miktarı olarak kullandık.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Doğal Sayı Sıfırı Unutmak

  • Yanlış: x ve y değerlerini sadece 1’den başlatmak.
  • Doğru: Doğal sayılar kümesi 0’ı da kapsar. Bu soruda y=0 için x tam sayı çıkmasa da, başka sorularda 0 değerini mutlaka kontrol etmelisin.

:cross_mark: Artış Miktarını Karıştırmak

  • Yanlış: x değerlerini 3’er 3’er artırmak.
  • Doğru: x her zaman yanındaki değil, karşıdaki değişkenin (y) katsayısı kadar değişir.

Bu çözüm mantığıyla ilgili kafana takılan veya benzer bir örnek üzerinden tekrar bakmak istediğin bir yer var mı?