Soru:
x
-y= 12
Vx-vy = 2 olduğuna göre.,
X. y çarpimı kaçtır?
A) 32 B) 36
C) 42
D) 48
E) 64
Soru Fotoğrafı:
Sorunun Çözümü: \( x - y = 12 \) ve \(\sqrt{x} - \sqrt{y} = 2\) olduğuna göre, \(x \cdot y\) kaçtır?
Sorunun Çözümü: x - y = 12 ve \sqrt{x} - \sqrt{y} = 2 olduğuna göre, x \cdot y kaçtır?
Kullanılan Formül:
(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 = x - 2\sqrt{xy} + y
Çözüm Adımları:
Adım 1 — Verilenleri yazalım:
x - y = 12
\sqrt{x} - \sqrt{y} = 2
Adım 2 — İkinci denklemden yararlanarak kare alalım:
(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 = 2^2
x - 2\sqrt{xy} + y = 4
Adım 3 — İlk denklemi kullanarak x + y’yi bulalım:
x - y = 12 ancak direkt x + y yok. Buradan şu sonucu yazalım:
x + y = ?
Bu yüzden x + y’ye ulaşmak için ifadeyi düzenleyelim.
Adım 4 — Kare açılımından elde ettiğimiz ifade:
x + y - 2\sqrt{xy} = 4
x + y = 4 + 2\sqrt{xy} olur.
Adım 5 — İki denklemi toplayalım ve çözümleyelim:
İlk denklem:
x - y = 12
İkinci denklemden:
x + y = 4 + 2\sqrt{xy}
Bu iki denklemi toplayalım:
(x - y) + (x + y) = 12 + 4 + 2\sqrt{xy}
2x = 16 + 2\sqrt{xy}
x = 8 + \sqrt{xy}
Benzer şekilde çıkaralım:
(x + y) - (x - y) = (4 + 2\sqrt{xy}) - 12
2y = 4 + 2\sqrt{xy} - 12 = -8 + 2\sqrt{xy}
y = -4 + \sqrt{xy}
Adım 6 — x - y = 12 denklemini doğrulayalım:
x - y = (8 + \sqrt{xy}) - (-4 + \sqrt{xy}) = 8 + \sqrt{xy} + 4 - \sqrt{xy} = 12
Doğru.
Adım 7 — \sqrt{xy} ifadesine t diyelim:
t = \sqrt{xy}
Adım 8 — x ve y’yi t cinsinden yazalım:
x = 8 + t,\quad y = -4 + t
Adım 9 — x \cdot y ifadesini açalım:
x \cdot y = (8 + t)(-4 + t) = 8 \cdot (-4) + 8t - 4t + t^2 = -32 + 4t + t^2
Adım 10 — Ayrıca t^2 = xy olduğundan:
xy = -32 + 4t + t^2
t^2 = -32 + 4t + t^2
Adım 11 — Her iki tarafta t^2 var, sadeleştirelim:
0 = -32 + 4t
4t = 32
t = 8
Adım 12 — t = \sqrt{xy} = 8 olduğuna göre:
xy = t^2 = 8^2 = 64
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Cevap: 64 (E şıkkı)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Temel Kavramlar:
- Kare kök ifadelerinin kare alınması
- Denklem sistemleri çözümü
- x, y değerlerinin karekökleri üzerinden işlem yapılması
Dikkat Edilmesi Gerekenler:
- Kare alma işleminde sağlanması gereken koşullara dikkat edilmelidir (negatif sayılar için karekök tanımlı değil).
- x,y pozitif olmalıdır, çünkü karekökleri alınmış.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konu ile ilgili başka bir örnek ister misin?
x - y = 12 ve \sqrt{x} - \sqrt{y} = 2 olduğuna göre, x \cdot y çarpımı kaçtır?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Farkın karesi (farkların çarpımı): a^2-b^2=(a-b)(a+b)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Kökleri değişken olarak tanımla
Kökleri yeni değişkenlerle göster:
a=\sqrt{x}
b=\sqrt{y}
Adım 2 — Verilenleri değişkenlerle yaz
Verilen ifadeleri yaz:
a-b=2
a^2-b^2=12
Adım 3 — Farkların çarpımı kuralını uygula
Farkların karesi kuralını kullan:
a^2-b^2=(a-b)(a+b)
Adım 4 — Değerleri yerine koy ve topla
(a-b)=2 olduğu için:
2\,(a+b)=12
a+b=\dfrac{12}{2}
a+b=6
Adım 5 — a ve b’yi çöz
Toplama ve çıkarma denklemlerini kullan:
a-b=2
a+b=6
Bu iki denklemi topla:
2a=8
a=4
Şimdi b’yi bul:
a-b=2
4-b=2
b=2
Adım 6 — x ve y’yi bul ve çarpımı hesapla
x ve y’yi köklerin kareleri olarak al:
x=a^2
x=4^2
x=16
y=b^2
y=2^2
y=4
x ile y’nin çarpımı:
x\cdot y=16\cdot 4
x\cdot y=64
CEVAP: 64
TEMEL KAVRAMLAR:
- Farkın karesi
- Tanım: a^2-b^2=(a-b)(a+b)
- Bu problemde: \sqrt{x}^2-\sqrt{y}^2=(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y}) kullanılınca kolayca çözülür.
- Değişken dönüşümü
- Tanım: Kök içindeki ifadeleri yeni değişkenlerle göstermek çözümü sadeleştirir.
- Bu problemde: a=\sqrt{x},\, b=\sqrt{y} alındı.
SIK YAPILAN HATALAR:
Kökleri doğrudan karelemek
- Yanlış: \sqrt{x}-\sqrt{y}=2 denklemini doğrudan karesini alıp yanlış işlem yapmak.
- Doğru: Önce a=\sqrt{x}, b=\sqrt{y} alıp fark ve toplamı kullanmak daha güvenlidir.
- Neden yanlış: Doğrudan kare alırken çapraz terim -2\sqrt{xy} çıkar ve karışıklığa yol açar.
- Düzeltme: Farkın çarpımı kuralını kullan veya sistem kurup çöz.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?