Sorunun çözümü bak

YKS TYT
1

IMG_20250517_180657
IMG_20250517_180657720×960 36.5 KB

2

Sorunun çözümü detaylı açıklama:

Sorunun Görünümü ve Anlayış

Verilen soruda 19. ve 20. sorular yer almakta. Çözümler adım adım açıklanacaktır.

19. Soru: ABC - BAC sayılarının 36 ile tam bölünebilmesi için A - B farkı en az kaç olmalıdır?

Çözüm:

  1. Sayılar ABC ve BAC şeklinde üç basamaklıdır. Sayıların açılımı şu şekilde olacaktır:

    • ABC = 100A + 10B + C
    • BAC = 100B + 10A + C

  2. ABC - BAC hesaplanıyor:

    (100A + 10B + C) - (100B + 10A + C) = 90A - 90B

    Bu durumda:

    ABC - BAC = 90(A - B)

  3. ABC - BAC'nin 36 ile tam bölünebilmesi için, 90(A - B) değerinin 36 ile bölünebilir olması gerekir.

  4. 90 / 36 = 5/2. Bu durumda kalan olmaması için, (A - B)'nin 2 olması gerekir.

Sonuç:

Doğru seçenek: C) 2

20. Soru: a2b3 ve a5b1 dört basamaklı doğal sayılar, a2b3 sayısının 13 ile bölümünden kalan 6 olduğuna göre, a5b1 sayısının 13 ile bölümünden kalan kaçtır?

Çözüm:

  1. a2b3 sayısının açılımı:

    a2b3 = 1000a + 200 + 10b + 3

  2. a5b1 sayısının açılımı:

    a5b1 = 1000a + 500 + 10b + 1

  3. a2b3’ün 13 ile bölümünden kalan 6 olduğuna göre, şunu yaparız:

    a2b3 \mod 13 \equiv 6

  4. a5b1’in mod 13 ile olan durumunu çözmek gerekiyor. Farkı 500 - 200 ve 1 - 3 üzerinden analiz edelim:

    • 500 - 200 = 300.
    • 1 - 3 = -2. Bu değerde:
      300 \mod 13 = 1
      ve -2 \mod 13 = 11.

  5. Toplamda, a5b1 modunu şöyle buluruz:

    (6 + 1 + 11) \mod 13 = 7

Sonuç:

Doğru seçenek: C) 7

Özet Tablosu:

Soru No Çözüm Açıklaması Doğru Cevap
19 90(A-B)'nin 36 ile bölünebilmesinden en küçük fark 2 olmalı. C) 2
20 Mod işlemleriyle a5b1’in kalan değeri hesaplandı 7 oldu. C) 7

Eğer çözümle ilgili başka sorunuz varsa, yardımcı olmaktan mutluluk duyarım! :raising_hands: @sibelokay

3

a2b3 ve a5b1 şeklinde iki dört basamaklı sayı olsun. Verilen bilgiye göre:

• a2b3 sayısının 13 ile bölümünden kalan 6’dır.
• a ve b birer rakamdır (a≠0, b∈{0,…,9}, a∈{1,…,9}).

Aşağıdaki çözümü izleyerek, a5b1 sayısının 13 ile bölümünden kalan değeri bulabiliriz.

Table of Contents

  1. a2b3 Sayısının 13 ile Bölüm Koşulu
  2. Mod 13’de Hesaplamalar
  3. a + 3b ≡ 2 (mod 13) Elde Edilmesi
  4. a5b1 Sayısının 13 ile Kalanının Bulunması
  5. Özet Tablo
  6. Sonuç

1. a2b3 Sayısının 13 ile Bölüm Koşulu

a2b3 sayısının 13 ile bölümünden kalan 6 olması, matematiksel olarak:

a2b3 ≡ 6 (mod 13)

anlamına gelir. Burada a2b3, ondalık düzende “1000a + 200 + 10b + 3” şeklinde yazılır:

1000a + 200 + 10b + 3 ≡ 6 (mod 13)

2. Mod 13’de Hesaplamalar

• 1000 ≡ 12 (mod 13) ⇒ 1000a ≡ 12a (mod 13)
• 200 ≡ 5 (mod 13)
• 10 ≡ 10 (mod 13) ⇒ 10b ≡ 10b (mod 13), ileride 10 ≡ -3 (mod 13) olarak da kullanabiliriz.
• 3 ≡ 3 (mod 13)

Bu eşitliği mod 13’te sadeleştirelim:

1000a + 200 + 10b + 3 ≡ 12a + 5 + 10b + 3 ≡ (12a + 10b + 8) ≡ 6 (mod 13)

Her iki tarafı 6’dan çıkardığımızda:

12a + 10b + 8 − 6 ≡ 0 (mod 13)
12a + 10b + 2 ≡ 0 (mod 13)

3. a + 3b ≡ 2 (mod 13) Elde Edilmesi

12 ≡ −1 (mod 13)
10 ≡ −3 (mod 13)

Dolayısıyla:

12a + 10b + 2 ≡ (−1)a + (−3)b + 2 ≡ 0 (mod 13)
−a − 3b + 2 ≡ 0 (mod 13)
−(a + 3b) ≡ −2 (mod 13) ⟹ a + 3b ≡ 2 (mod 13)

Yani a ve b öyle seçilmelidir ki yukarıdaki koşul sağlansın.

4. a5b1 Sayısının 13 ile Kalanının Bulunması

Şimdi a5b1 sayısını ondalık düzende yazalım:

a5b1 = 1000a + 500 + 10b + 1

Bunu mod 13’te inceleyelim:

• 1000a ≡ 12a (mod 13)
• 500 ≡ 6 (mod 13) (çünkü 13×38 = 494, 500 − 494 = 6)
• 10b ≡ 10b (mod 13) ⇒ 10 ≡ −3 (mod 13) ⇒ 10b ≡ −3b
• 1 ≡ 1 (mod 13)

Böylece:

a5b1 ≡ 12a + 6 + 10b + 1 = 12a + 10b + 7 (mod 13)

12 ≡ −1, 10 ≡ −3 ⇒ 12a + 10b ≡ (−1)a + (−3)b = −(a + 3b)

Dolayısıyla:

12a + 10b + 7 ≡ −(a + 3b) + 7

Daha önce bulduğumuz a + 3b ≡ 2 (mod 13) eşitliğinden yararlanırız:

−(a + 3b) ≡ −2 ≡ 11 (mod 13),
dolayısıyla −(a + 3b) + 7 ≡ 11 + 7 = 18 ≡ 5 (mod 13).

Sonuç olarak:

a5b1 ≡ 5 (mod 13)

Demek ki a5b1 sayısının 13 ile bölümünden kalan değer 5’tir.

5. Özet Tablo

Adım İşlem Açıklama
1. a2b3 ≡ 6 (mod 13) 1000a + 200 + 10b + 3 ≡ 6 (mod 13) Problem verisi
2. Mod 13 Sadeleştirmeler 1000 ≡ 12, 200 ≡ 5, 10 ≡ −3 a2b3 → 12a + 5 + 10b + 3
3. Basitleştirip Eşitliği Kurma 12a + 10b + 8 ≡ 6 ⇒ 12a + 10b + 2 ≡ 0 (mod 13) 12 ≡ −1, 10 ≡ −3
4. a + 3b ≡ 2 (mod 13) −a − 3b + 2 ≡ 0 ⇒ a + 3b ≡ 2 (mod 13) a ve b bu koşulu sağlayacak
5. a5b1 İçin Mod 13 Hesaplaması a5b1 = 1000a + 500 + 10b + 1 ⇒ 12a + 6 + 10b + 1 = 12a + 10b + 7 (mod 13) 12 ≡ −1, 10 ≡ −3
6. Son Tümdengelim 12a + 10b + 7 ≡ −(a + 3b) + 7 a + 3b ≡ 2 ⇒ −(a + 3b) ≡ −2 ⇒ 11 (mod 13), ekleyince 18 ≡ 5 (mod 13)
Sonuç a5b1 ≡ 5 (mod 13) Kalan = 5

6. Sonuç

Verilen koşullarla a2b3 sayısının 13 ile bölümünden kalan 6 ise, a5b1 sayısının 13 ile bölümünden kalan 5 olmaktadır.

Doğru cevap: 5

@Sibelokay

4

I’ve tried working out a response for you several times, but ultimately failed. Please contact the admin if this persists, thank you!