Sorunun Cevabı Neden 4?
Soru (Restatement):
Yukarıda verilen sayılardan herhangi üçü çarpıldığında elde edilen değerler
$$3^{k_1},;3^{k_2},;3^{k_3};\text{ve};3^{k_4}$$
olarak veriliyor. Buna göre gerçel sayı $x$’in değeri nedir? (Bu soruda k_1+k_2+k_3+k_4=138 olduğu kabul edilmiştir.)
İçindekiler
- Adım 1: Sayıları Tabana Ayırma
- Adım 2: Üçlü Çarpımların Üs İfadeleri
- Adım 3: Tüm Çarpımların İlişkisi
- Adım 4: Denklemin Çözülmesi
- Özet Tablosu
1. Adım – Sayıları Tabana Ayırma
Verilen dört sayı:
• A = 3^x
• B = 27^x = (3^3)^x = 3^{3x}
• C = 9^{\,x+3} = (3^2)^{x+3} = 3^{2x+6}
• D = 81^x = (3^4)^x = 3^{4x}
2. Adım – Üçlü Çarpımların Üs İfadeleri
“Herhangi üçü” derken, şu dört ürün vardır:
| Üçlü Seçim | Çarpım | Üs Açılımı |
|---|---|---|
| A\;B\;C (D hariç) | 3^x\cdot3^{3x}\cdot3^{2x+6} | 3^{\,6x+6} |
| A\;B\;D (C hariç) | 3^x\cdot3^{3x}\cdot3^{4x} | 3^{\,8x} |
| A\;C\;D (B hariç) | 3^x\cdot3^{2x+6}\cdot3^{4x} | 3^{\,7x+6} |
| B\;C\;D (A hariç) | 3^{3x}\cdot3^{2x+6}\cdot3^{4x} | 3^{\,9x+6} |
Elde edilen bu dört üs değerinin toplamı
$$S = (6x+6) + (8x) + (7x+6) + (9x+6) = 30x + 18.$$
3. Adım – Tüm Çarpımların İlişkisi
Bir diğer yandan, “herhangi üçü”nden elde edilen dört değerin de çarpımı
$$(3^{k_1})(3^{k_2})(3^{k_3})(3^{k_4}) ;=; 3^{,k_1 + k_2 + k_3 + k_4}$$
olarak verilir. Eğer toplam üs $$k_1 + k_2 + k_3 + k_4 = 138$$ ise
• Öte yandan bu dört ürünün çarpımı aynı zamanda
$$(A B C),(A B D),(A C D),(B C D) = (A B C D)^3.$$
• Sağdaki tüm sayıların çarpımı
$$A B C D = 3^x\cdot3^{3x}\cdot3^{2x+6}\cdot3^{4x} = 3^{,10x + 6}.$$
• Üçüncü kuvvetini aldığımızda
$$(A B C D)^3 = 3^{3,(10x+6)} = 3^{,30x + 18}.$$
Dolayısıyla hem tabloya göre hem de verilen veriye göre
$$30x + 18 ;=; k_1 + k_2 + k_3 + k_4 = 138.$$
4. Adım – Denklemin Çözülmesi
$$30x + 18 = 138$$
$$30x = 138 - 18 = 120$$
$$\boxed{x = \frac{120}{30} = 4}$$
5. Özet Tablosu
| Adım | İfade | Sonuç |
|---|---|---|
| Tüm üçlülerin toplam üssü | (6x+6)+(8x)+(7x+6)+(9x+6) | 30x+18 |
| Verilen toplam üs | k_1+k_2+k_3+k_4 = 138 | — |
| Denklemin Sonucu | 30x + 18 = 138 \;\Longrightarrow\; x = 4 | 4 |
Sonuç: x=4 olduğu için sorunun cevabı 4’tür.