Buna göre filtreleme süreci sonunda sudaki zararlı molekül sayısının yaklaşık kaç adettir?
Table of Contents
1. Problem Tanımı
- Başlangıçta 1 L sudaki zararlı molekül sayısı:
$$9^{27} = (3^2)^{27} = 3^{54}.$$ - Filtreleme süreci: 15 aşama.
- Her aşamada kalan molekülün sabit bir yüzde oranı yok edilerek etkisiz hâle getiriliyor.
- Süreç sonunda örnekteki molekül sayısının yaklaşık 3^{24} olduğu bulunmuştur.
Soru: Filtreleme sonunda kaç adet molekül kalmıştır?
2. Matematiksel Model
Her aşamada moleküllerin bir kısmı yok ediliyor.
- Diyelim ki her aşamada p oranında (örn. % p\cdot100) molekül yok ediliyor, geriye (1-p) kısmı kalıyor.
- 15 aşama sonunda kalan molekül sayısı:N_{\text{son}} \;=\; N_0\,(1-p)^{15}Burada N_0 = 3^{54}, N_{\text{son}} = 3^{24}.
3. Adım Adım Çözüm
-
Denklem Kurulumu
3^{54}\,(1-p)^{15} \;=\; 3^{24} -
Üsleri Karşılaştırma
[
(1-p)^{15} ;=; 3^{24-54} ;=; 3^{-30}
] -
Oran Bulma
[
1-p ;=; \sqrt[15]{3^{-30}} ;=; 3^{-30/15} ;=; 3^{-2} ;=; \tfrac{1}{9}
]
Dolayısıyla
[
p ;=; 1 - \tfrac{1}{9} ;=; \tfrac{8}{9}\approx 88{,}9%
]
Her aşamada 88,9** oranında yok etme gerçekleşiyor ve geriye ** 11,1 kalıyor. -
Son Molekül Sayısı
Zaten soruya göre bu işleyiş sonunda kalan molekül sayısı:N_{\text{son}} \;=\; 3^{24}\;\approx\;2{,}82\times10^{11}
4. Sonuç ve Değerlendirme
- **Her aşamada 88,9’u** yok edilen moleküller, geriye 11,1 kalacak şekilde 15 kez filtrelendiğinde
başlangıçtaki 3^{54} molekül sayısı
$$3^{54}\times\bigl(\tfrac{1}{9}\bigr)^{15} = 3^{24}$$
sonucunu verir. - Sonuç olarak filtreleme süreci sonunda sudaki zararlı molekül sayısı 3^{24} adettir.
5. Özet Tablosu
| Aşama | Formül | Yaklaşık Değer |
|---|---|---|
| Başlangıç molekül sayısı | N_0 = 3^{54} | ~7{,}59\times10^{25} |
| Bir aşamada kalan oran | 1-p = \tfrac{1}{9} | % 11,1 |
| 15 aşamadan sonra kalan sayısı | N_{\text{son}} = 3^{54}\,(1-p)^{15} = 3^{24} | ~2{,}82\times10^{11} |