K ve L Kaplarındaki Sıvı Miktarının En Küçük Ortak Katı
Öncelikle soruyu anlayalım. K ve L kaplarındaki sıvı miktarları (litre cinsinden) pozitif birer doğal sayıya eşittir. Bu kaplardaki sıvıların tamamı başlangıçta boş olan M kabına dökülmüştür. K ve L kaplarındaki sıvı miktarlarının (litre cinsinden) en küçük ortak katı 12’dir. Bu durumda M kabındaki sıvı miktarı son durumda litre cinsinden kaç farklı değer alabilir?
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
İki sayının en küçük ortak katı (EKOK), bu sayıların ortak katlarının en küçüğüdür. Eğer iki sayının EKOK’u biliniyorsa, bu sayıların kendileri EKOK’un çarpanları olmak zorundadır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — EKOK’u 12 Olan Sayı Çiftlerini Belirleme
K ve L kaplarındaki sıvı miktarları olan k ve l sayıları pozitif doğal sayılardır ve EKOK(k, l) = 12 olarak verilmiştir. Bu durumda k ve l, 12’nin çarpanları arasından seçilmelidir ve k ile l’nin katları 12’de birleşmelidir.
12’nin çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6, 12’dir.
EKOK’u 12 olan (k, l) sıralı ikililerini bulalım:
- (1, 12) ve (12, 1) \rightarrow EKOK(1, 12) = 12
- (2, 12) ve (12, 2) \rightarrow EKOK(2, 12) = 12
- (3, 4) ve (4, 3) \rightarrow EKOK(3, 4) = 12
- (3, 12) ve (12, 3) \rightarrow EKOK(3, 12) = 12
- (4, 6) ve (6, 4) \rightarrow EKOK(4, 6) = 12
- (4, 12) ve (12, 4) \rightarrow EKOK(4, 12) = 12
- (6, 12) ve (12, 6) \rightarrow EKOK(6, 12) = 12
- (12, 12) \rightarrow EKOK(12, 12) = 12
Adım 2 — M Kabındaki Toplam Sıvı Miktarını Hesaplama
M kabındaki toplam sıvı miktarı, K kabındaki sıvı miktarı (k) ile L kabındaki sıvı miktarının (l) toplamıdır, yani M = k + l. Yukarıda bulduğumuz her bir (k, l) çifti için k + l değerini hesaplayalım:
- k=1, l=12 \rightarrow M = 1 + 12 = 13
- k=2, l=12 \rightarrow M = 2 + 12 = 14
- k=3, l=4 \rightarrow M = 3 + 4 = 7
- k=3, l=12 \rightarrow M = 3 + 12 = 15
- k=4, l=3 \rightarrow M = 4 + 3 = 7 (Tekrar eden değer)
- k=4, l=6 \rightarrow M = 4 + 6 = 10
- k=4, l=12 \rightarrow M = 4 + 12 = 16
- k=6, l=4 \rightarrow M = 6 + 4 = 10 (Tekrar eden değer)
- k=6, l=12 \rightarrow M = 6 + 12 = 18
- k=12, l=1 \rightarrow M = 12 + 1 = 13 (Tekrar eden değer)
- k=12, l=2 \rightarrow M = 12 + 2 = 14 (Tekrar eden değer)
- k=12, l=3 \rightarrow M = 12 + 3 = 15 (Tekrar eden değer)
- k=12, l=4 \rightarrow M = 12 + 4 = 16 (Tekrar eden değer)
- k=12, l=6 \rightarrow M = 12 + 6 = 18 (Tekrar eden değer)
- k=12, l=12 \rightarrow M = 12 + 12 = 24
Adım 3 — Farklı M Değerlerini Belirleme
Hesapladığımız M değerlerini listeleyelim ve farklı olanları belirleyelim:
{13, 14, 7, 15, 10, 16, 18, 24}
Farklı değerler: 7, 10, 13, 14, 15, 16, 18, 24.
Toplamda 8 farklı değer vardır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: M kabındaki sıvı miktarı son durumda 8 farklı değer alabilir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. En Küçük Ortak Kat (EKOK)
- Tanım: İki veya daha fazla sayının ortak katları arasında en küçük olanıdır.
- Bu problemde: K ve L kaplarındaki sıvı miktarlarının EKOK’u 12 olarak verilmiştir. Bu, hem K hem de L’nin bu 12 sayısının birer çarpanı olabileceği anlamına gelir.
2. Doğal Sayılar
- Tanım: 0’dan başlayarak sonsuza kadar giden pozitif tam sayılardır (0, 1, 2, 3, ...). Problemde “pozitif doğal sayı” dendiği için 0 dahil değildir.
- Bu problemde: K ve L kaplarındaki sıvı miktarları 1’den büyük veya eşit tam sayılar olmak zorundadır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Sadece 12’nin çarpanlarını K ve L olarak düşünmek
- Yanlış: Sadece k ve l’nin 12’nin çarpanları olabileceği yanılgısı. Örneğin, EKOK(4,6)=12 olmasına rağmen, 4 ve 6 direkt olarak 12’nin asal çarpanları değildir. EKOK’u 12 olan tüm pozitif tam sayı çiftlerini göz önünde bulundurmak gerekir.
- Doğru: EKOK’u 12 olan tüm (k, l) ikililerini sistemli bir şekilde bulmak. Bu ikililerde k ve l mutlaka 12’nin çarpanları olmak zorunda değildir, ama en büyükleri 12 olabilir.
- Neden yanlış: Bu, bazı olası k ve l kombinasyonlarını gözden kaçırmanıza ve dolayısıyla M için bazı olası toplamları atlamanıza neden olabilir.
Bu konuyu pekiştirmek için benzer bir pratik problem çözmemi ister misin?