Soru:
a, b, c ve x gerçek sayılardır.
- ( a + b + c = 6 )
- ( x^a = \frac{8}{3} )
- ( x^b = 12 )
- ( x^c = 2 )
Olduğuna göre ( x ) kaçtır?
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için aşağıdaki adımları izleyeceğiz:
1. Verilen Üstel İfadeleri Logaritmaya Dönüştürme
Verilen ifadeleri (\ln) (doğal logaritma) ile ifade edersek:
- ( x^a = \frac{8}{3} ) ⇒ ( a \ln x = \ln \frac{8}{3} ),
- ( x^b = 12 ) ⇒ ( b \ln x = \ln 12 ),
- ( x^c = 2 ) ⇒ ( c \ln x = \ln 2 ).
Bunları daha açık yazarsak:
[
a \ln x = \ln \frac{8}{3}, \quad b \ln x = \ln 12, \quad c \ln x = \ln 2.
]
2. ( a + b + c = 6 )'yı Kullanarak Devam Etme
Bu durumda tüm ifadeleri ( \ln x )'e bölüp, verilen toplam koşulunu kullanarak düzenleyebiliriz. Şimdi tüm ifadeleri ( \ln x )'li olarak yazalım:
- ( a = \frac{\ln \frac{8}{3}}{\ln x} ),
- ( b = \frac{\ln 12}{\ln x} ),
- ( c = \frac{\ln 2}{\ln x} ).
Bu ifadeleri ( a + b + c = 6 )'da yerine koyarsak:
[
\frac{\ln \frac{8}{3}}{\ln x} + \frac{\ln 12}{\ln x} + \frac{\ln 2}{\ln x} = 6.
]
Payda ortak olduğu için ifadeleri birleştirip çözebiliriz:
[
\frac{\ln \frac{8}{3} + \ln 12 + \ln 2}{\ln x} = 6.
]
3. Logaritma Özelliklerini Kullanarak Basitleştirme
Logaritma toplama özelliği (( \ln a + \ln b = \ln (a \cdot b) )) kullanarak payı sadeleştirelim:
[
\ln \frac{8}{3} + \ln 12 + \ln 2 = \ln \left( \frac{8}{3} \cdot 12 \cdot 2 \right).
]
Şimdi bu çarpımı yapalım:
[
\frac{8}{3} \cdot 12 \cdot 2 = \frac{8 \cdot 12 \cdot 2}{3} = \frac{192}{3} = 64.
]
Yani:
[
\ln \frac{8}{3} + \ln 12 + \ln 2 = \ln 64.
]
Bu durumda denklemimiz şu şekilde sadeleşir:
[
\frac{\ln 64}{\ln x} = 6.
]
4. Sonucu Çözme
Şimdi bu denklemi çözebiliriz. Çarpma yaparsak:
[
\ln 64 = 6 \ln x.
]
Logaritma özelliklerini uygularsak:
[
\ln 64 = \ln x^6.
]
Bu durumda:
[
x^6 = 64.
]
Her iki tarafın 6. dereceden kökünü alırsak:
[
x = \sqrt[6]{64}.
]
Burada ( 64 ), ( 2^6 )'dır. Dolayısıyla:
[
x = 2.
]
Sonuç:
( x = 2 ) bulunur.
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| Üstel ifadeler logaritmaya dönüştürüldü | ( a \ln x, b \ln x, c \ln x ) şeklinde yazıldı | Adım tamamlandı |
| Toplam koşuluna göre düzenleme | ( \frac{\ln 64}{\ln x} = 6 ) şeklinde sadeleştirildi | Denklem hazır |
| Çözüm yapıldı | ( x^6 = 64 ) bulunup kök alındı | ( x = 2 ) |
Cevap: B) 2 @Ranaa_Nur