@sorumatikbot 8.Soru

LİSE 9.sınıf
1

17646909657753591481334871832801

2

Soru (özet):

Görselde Ayhan ile Bilge arasındaki başlangıç mesafesi 36 m’dir. Saat 12:05’te aynı anda ve aynı yöne harekete başlıyorlar. Ayhan dakikada 30 m, Bilge dakikada 27 m yol alıyorlar ve 24 dakika boyunca sürüyorlar. Buna göre:
a) Zama­na bağlı aralarındaki mesafeyi modelleyen fonksiyonu farklı temsillerle gösteriniz.
b) Fonksiyonun maksimum ve minimum değerlerini, fonksiyonun sıfırını belirleyip bunların problem bağlamındaki anlamlarını ifade ediniz.
c) Aralarındaki mesafe 12 m olduğunda saatin kaç gösterdiğini bulunuz.
ç) Aralarındaki mesafe 6 m’den fazla olduğu anlarda saatin gösterdiği değerin aralığını bulunuz.

Answer:

İlk olarak değişken tanımı: t = 12:05’ten sonra geçen süre (dakika cinsinden). t\in[0,24].

  1. Konum ve mesafe modelleri (adım adım)
  • Ayhan’ın konumu (A noktasını 0 kabul edelim):
    x_A(t)=30t \quad (\text{metre})
  • Bilge’nin konumu (B başlangıçta Ayhan’ın sağında 36 m olacak şekilde):
    x_B(t)=36+27t \quad (\text{metre})
  • Aralarındaki mesafe = pozisyon farkının mutlak değeri:
    d(t)=|x_B(t)-x_A(t)|=|36+27t-30t|=|36-3t|

Farklı temsiller:

  • Mutlak değerli form:
    \boxed{d(t)=|36-3t|,\quad 0\le t\le 24}
  • Parçalı (piecewise) form: mutlak değerin işaretine göre
    d(t)=\begin{cases} 36-3t, & 0\le t\le 12,\\[4pt] 3t-36, & 12\le t\le 24. \end{cases}
    (Burada t=12'de d(12)=0 iki ifadeyle de uyumludur.)
  1. Maksimum, minimum ve sıfırın bulunması + anlamı
  • Fonksiyonun sıfırı: d(t)=0 ise |36-3t|=0\Rightarrow 36-3t=0\Rightarrow t=12. Yani 12 dakika sonra (12:05 + 12 dk = 12:17) karşılaşıp yolları kesişirler.
    Anlamı: Ayhan, Bilge’yi 12. dakikada yakalar/yanından geçer.
  • Minimum değer: Çünkü d(t)=|36-3t|\ge0, en küçük değer 0'dır ve bu t=12'de gerçekleşir. Minimum mesafe = 0 m (karşılaşma anı).
  • Maksimum değer: Domain [0,24] üzerinde d(t) uç noktalarda maksimum olur. d(0)=|36-0|=36, d(24)=|36-72|=36. Dolayısıyla maksimum mesafe = 36 m, başlangıçta ve 24. dakikada görülür.
    Problem anlamı: Başlangıçta araları 36 m’ydi; 24 dakika sonra Ayhan Bilge’yi geçip öne geçtiğinde aradaki fark yine 36 m olur (Ayhan önde 36 m).
  1. Aralarındaki mesafe 12 m olduğunda hangi saatler?
    Çözüm: |36-3t|=12.
    İki durum:
  • 36-3t=12 \Rightarrow 3t=24 \Rightarrow t=8 (yani saat = 12:05 + 8 dk = 12:13),
  • 36-3t=-12 \Rightarrow 3t=48 \Rightarrow t=16 (saat = 12:05 + 16 dk = 12:21).

Yani mesafe 12 m iken saatler 12:13 ve 12:21’dir.

  1. Aralarındaki mesafenin 6 metreden fazla olduğu zaman aralığı
    Eşitsizliği çözelim: |36-3t|>6.
    Bunun açılımı:
  • 36-3t>6 \Rightarrow 3t<30 \Rightarrow t<10, veya
  • 36-3t<-6 \Rightarrow 3t>42 \Rightarrow t>14.
    Domain [0,24] içinde bu, t\in[0,10)\ \cup\ (14,24] olur. (Eşitlik durumları t=10 ve t=14 için d=6 olduğundan dışlanır.)

Bunu saat olarak verirsek:

  • t\in[0,10) ⇒ zaman aralığı 12:05 ≤ saat < 12:15,
  • t\in(14,24] ⇒ zaman aralığı 12:19 < saat ≤ 12:29.

Yani aralarında 6 m’den fazla mesafe varken saat 12:05 ile 12:15 arası (12:15 hariç) veya 12:19 sonrası ile 12:29 dahil arasındadır.

Özet tablolarla kısa görünüm:

Özellik Matematiksel ifade Zaman (dakika) Saat karşılığı
Konum (Ayhan) x_A(t)=30t — —
Konum (Bilge) x_B(t)=36+27t — —
Mesafe (mutlak) $d(t)= 36-3t $
Parçalı form 36-3t (0≤t≤12), 3t-36 (12≤t≤24) — —
Minimum 0 m at t=12 12 dk 12:17 (karşılaşma)
Maksimum 36 m at t=0 ve t=24 0 ve 24 dk 12:05 ve 12:29
d(t)=12 çözümleri t=8 ve t=16 8 ve 16 dk 12:13, 12:21
d(t)>6 aralığı t\in[0,10)\cup(14,24] — 12:05 ≤ t < 12:15 ve 12:19 < t ≤ 12:29

Kısa sonuçlar (bold önemli noktalar):

  • Mesafe fonksiyonu: d(t)=|36-3t| (0\le t\le24) veya parçalı olarak 36-3t ve 3t-36.
  • Karşılaşma (sıfır) zamanı: t=12 ⇒ 12:17.
  • Mesafe 12 m olduğu zamanlar: 12:13 ve 12:21.
  • Mesafe 6 m’den büyük olduğu aralık: 12:05 ≤ saat < 12:15 ve 12:19 < saat ≤ 12:29.

Eğer istersen, grafiğini çizip görsel üzerinden de açıklayayım veya aynı problemi başka başlangıç/ hız değerleri için genelleştirebilirim. @Mehmet_Kaygusuz

3

Soru 8

Soru:
Görseldeki gibi aralarında 36 m bulunan Ayhan ve Bilge, saat 12:05’te aynı anda harekete başlayarak aynı yönde 24 dakika boyunca sabit hızla bisiklet sürmüştür.

  • Ayhan A noktasından hareketle dakikada 30 m,
  • Bilge B noktasından hareketle dakikada 27 m yol almıştır.

Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız:
a) Aralarındaki mesafeyi zamana bağlı modelleyen fonksiyonu farklı temsillerle gösteriniz.
b) Fonksiyonun maksimum ve minimum değerlerini, fonksiyonun sıfırını belirleyerek problem bağlamındaki anlamını ifade ediniz.
c) Mesafe 12 m olduğunda saatin kaç gösterdiğini bulunuz.
ç) Mesafe en az 6 m olduğu zaman aralığını bulunuz.

Table of Contents

  1. Problemin Matematiksel Modellenmesi
  2. a) Fonksiyonun Temsilleri
  3. b) Maksimum, Minimum ve Sıfır Değerleri
  4. c) Mesafe 12 m İçin Zamanlar
  5. ç) Mesafe ≥ 6 m Olan Zaman Aralığı
  6. Özet Tablo
  7. Sonuç ve Yorum

1. Problemin Matematiksel Modellenmesi

  • Başlangıçta A ve B noktaları arasında 36 m mesafe vardır.
  • Ayhan ve Bilge aynı yönde sürüyor; Ayhan öndeki Bilge’yi yakalamaya çalışıyor.
  • Ayhan’ın hızı: 30 m/dak, Bilge’nin hızı: 27 m/dak.
  • Bağıl hız = Ayhan – Bilge = $30 - 27 = 3,$m/dak.
  • t dakikada aradaki mesafe: başlangıç mesafesinden bağıl hızla alınan yol farkı çıkarılır.
  • Fonksiyon:
    f(t) = 36 - 3t, \quad t\ge0
    ancak Ayhan önce mesafeyi azaltır, sonra geçtikten sonra mesafe artar. Bu yüzden mutlak değer veya parçalı tanım daha uygundur.

2. a) Fonksiyonun Temsilleri

  1. Mutlak değerli gösterim

    f(t) \;=\; \bigl|\,36 - 3t\,\bigr|, \quad 0 \le t \le 24

  2. Parçalı tanım

    f(t)= \begin{cases} 36 - 3t, & 0 \le t \le 12,\\[6pt] 3t \;-\;36, & 12 \le t \le 24. \end{cases}

  3. Grafiksel Temsil

    • t=0'da $f(0)=36,$m
    • t=12'de $f(12)=0,$m (kavuşma noktası)
    • t=24'te $f(24)=36,$m
(“V” biçiminde, tepe noktası $t=12$’de $y=0$)

3. b) Maksimum, Minimum ve Sıfır Değerleri

  • Maksimum değer: $f_{\max}=36,$m, hem t=0 (12:05) hem de t=24 (12:29) anında.
  • Minimum değer: $f_{\min}=0,$m, t=12 dakikada (12:17) — Ayhan ve Bilge kavuştu.
  • Fonksiyonun sıfırı: f(t)=0\;\Rightarrow\;36-3t=0\;\Rightarrow\;t=12\,.
    • Anlamı: 12 dakika sonra, yani saat 12:17’de aralarındaki mesafe 0 m olur.

4. c) Mesafe 12 m İçin Zamanlar

f(t)=12 \;\Longrightarrow\; |36-3t|=12 \;\Longrightarrow\; \begin{cases} 36 - 3t = 12 \;\Rightarrow\;t = 8,\\[3pt] 36 - 3t = -12 \;\Rightarrow\;t = 16. \end{cases}
  • t=8\, ⇒ saat 12:05 + 8 dk = 12:13
  • t=16\, ⇒ saat 12:05 + 16 dk = 12:21

5. ç) Mesafe ≥ 6 m Olan Zaman Aralığı

f(t)\ge6 \;\Longrightarrow\; |36-3t|\ge6 \;\Longrightarrow\; \begin{cases} 36 - 3t \ge 6 \;\Rightarrow\; t \le 10,\\[3pt] 36 - 3t \le -6 \;\Rightarrow\; t \ge 14. \end{cases}
  • t\in[0,10] ⇒ 12:05–12:15
  • t\in[14,24] ⇒ 12:19–12:29

Bu aralıklarda Ayhan ile Bilge arasındaki mesafe 6 m veya daha fazladır.

6. Özet Tablo

Adım Matematiksel İfade Zamana Karşılık Saat
Başlangıç mesafesi f(0)=36 12:05
Kavuşma (sıfır mesafe) f(12)=0 12:17
Mesafe 12 m t=8,\,16 12:13 ve 12:21
Mesafe ≥ 6 m t\in[0,10]\cup[14,24] 12:05–12:15, 12:19–12:29
Maksimum mesafe 36 m Başlangıç ve 12:29
Minimum mesafe 0 m 12:17

7. Sonuç ve Yorum

  • Farklı temsiller (mutlak değer, parçalı tanım, grafik) fonksiyonun davranışını açıkça gösterir.
  • Maksimum mesafe 36 m, minimum mesafe 0 m’dir. Sıfır değer kavuşma anını temsil eder.
  • Mesafe 12 m olduğunda iki an vardır: 12:13 ve 12:21.
  • Mesafe en az 6 m olduğu zaman aralığı iki parçaya ayrılır: 12:05–12:15 ve 12:19–12:29.

Bu analiz, sabit hızla hareket eden iki nokta arasındaki mesafeyi lineer ve mutlak değer fonksiyonlarıyla modellemenin tipik bir uygulamasıdır. @Mehmet_Kaygusuz