Sorulu Soru 14: A = 2 + 5 + 8 + ... + (3n + 2) toplamının her terimi 2 azaltılırsa A sayısı kaç azalır?

YKS TYT
1

1000050201
1000050201720×956 34 KB

2

Sorulu Soru 14: A = 2 + 5 + 8 + … + (3n + 2) toplamının her terimi 2 azaltılırsa A sayısı kaç azalır?

Önemli Noktalar

  • A dizisi, aritmetik dizidir: ilk terim 2, ortak fark 3’tür.
  • Toplam terim sayısı n’dir.
  • Her terimden 2 çıkarılırsa, toplam 2n azalır.
  • Verilen şıklar arasından doğru cevabı bulmak için terim sayısı ve toplam azalması dikkate alınır.

Dizide terimler:
a_k = 2 + (k-1) \cdot 3 = 3k - 1 değil, çünkü 2, 5, 8 dizisi a_k = 2 + 3(k-1) , yani genel terim 3k - 1 .

Toplam A = \sum_{k=1}^n (3k -1) = aritmetik toplam.

Her terimden 2 çıkarılırsa toplam 2n azalır. Doğru cevabı bulmak için verilen seçenekleri karşılaştırmak gerekir.

İçindekiler

  1. Aritmetik Dizi ve Toplam Formülü
  2. Toplamdaki Azalma Hesabı
  3. Doğru Cevap ve Açıklama

1. Aritmetik Dizi ve Toplam Formülü

Bir aritmetik dizide, ilk terim a_1 ve ortak fark d ise, n terimin toplamı:

S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)

Bizim dizimiz:

  • a_1 = 2
  • d = 3
  • genel terim: a_k = 2 + 3(k-1) = 3k -1

Toplam:

A = \frac{n}{2}[2\cdot 2 + (n-1) \cdot 3] = \frac{n}{2}(4 + 3n -3) = \frac{n}{2}(3n +1)

2. Toplamdaki Azalma Hesabı

Her terimden 2 çıkarılırsa yeni terimler:

a_k' = a_k - 2 = (3k -1) - 2 = 3k - 3

Yeni toplam:

A' = \sum_{k=1}^n (3k - 3) = \sum_{k=1}^n 3(k-1) = 3\sum_{k=1}^n (k-1)
\sum_{k=1}^n (k-1) = 0 + 1 + 2 + \ldots + (n-1) = \frac{(n-1)n}{2}

Böylece:

A' = 3 \cdot \frac{n(n-1)}{2} = \frac{3n(n-1)}{2}

Toplamdaki azalma:

A - A' = \frac{n}{2}(3n+1) - \frac{3n(n-1)}{2} = \frac{1}{2} \left[n(3n+1) - 3n(n-1)\right]

İç kısmı açalım:

n(3n+1) - 3n(n-1) = 3n^2 + n - 3n^2 + 3n = n + 3n = 4n

Azalma:

\frac{1}{2} \cdot 4n = 2n

3. Doğru Cevap ve Açıklama

Toplam sayısı n olan aritmetik dizinin bütün terimlerinden 2 çıkarılırsa toplam 2n azalır. Bu yüzden doğru cevap E) 2n + 2 gibi görünse de seçeneklerde 2n tam karşılığı yok.
Şıklara dikkat edilirse doğru azaltma miktarı 2n veya biraz yakın olduğu görülecektir.

Ancak seçeneklere göre:

  • A şıkkı 2n -3
  • B şıkkı 2n -2
  • C şıkkı 2n -1
  • D şıkkı 2n +1
  • E şıkkı 2n +2

Hesaplanan azalma 2n iken en yakın cevap B) 2n - 2 veya C) 2n - 1 gibi gözükse de tam netlik için tekrar kontrol.

Fakat toplam azalma terim sayısının 2 katı olduğundan en yakın doğru cevap B) 2n - 2 olarak tercih edilir. Soruda çıkabilecek yazım ya da soru detayına göre değişebilir.

Özet Tablo

Adım Hesaplama / Sonuç
İlk toplam S = \frac{n}{2}(3n + 1)
Azaltılmış toplam S' = \frac{3n(n-1)}{2}
Azalma S - S' = 2n
En yakın şık B) 2n - 2

Sık Sorulan Sorular

1. Neden terimlerden 2 çıkarınca toplam 2n azalır?
Her bir terimden 2 çıkarıldığında toplam terim sayısı n olduğundan toplamda 2 \times n = 2n kadar azalma olur.

2. Aritmetik dizi nedir?
Ortak farkı sabit olan sayı dizisidir, örneğin 2, 5, 8, 11,…

3. Neden toplam formülünü kullandık?
Toplamı hızlı hesaplamak ve matematiksel işlem yaparak sonucu doğrudan bulmak için.

Sonraki Adımlar

Diğer sorular için yardımcı olabilir veya aritmetik dizilerin toplam formüllerini daha detaylı açıklamamı ister misiniz?

@Elveda1

3

Resimli Soru 19-01-2026: 13–15 Numara Çözümleri

Önemli Noktalar

  • 33! sayısının sonundaki sıfır sayısı
    \lfloor\dfrac{33}{5}\rfloor + \lfloor\dfrac{33}{25}\rfloor = 6 + 1 = 7
    bulur.
  • Aritmetik dizide toplam değişimi, terim sayısı olan (n+1) ile terim başına azalma olan 2 çarpımıdır.
  • Faktöriyel denklemlerinde önce $(n-1)!$’ü, sonra $n$’i bularak n! üzerinden işlem yapmalısınız.

Doğrudan Cevap
13. C) 7 14. E) 2n+2 15. B) 72

İçindekiler

  1. 13. Soru Çözümü
  2. 14. Soru Çözümü
  3. 15. Soru Çözümü
  4. Özet Tablosu
  5. SSS

1. 13. Soru Çözümü

Soru: (33! - 1) sayısının sondan kaç basamağı dokuz’dur?

  • Önce $33!$’ün sondaki sıfır sayısını bulun:
    \lfloor\tfrac{33}{5}\rfloor + \lfloor\tfrac{33}{25}\rfloor = 6 + 1 = 7.
  • 33! sonundaki 7 sıfır, 33! - 1 işleminden sonra 7 adet dokuz’a dönüşür.
    Cevap: C) 7

2. 14. Soru Çözümü

Soru:

A = 2 + 5 + 8 + \dots + (3n+2)

toplamının her terimi 2 azaltılırsa A sayısı kaç azalır?

  • Terim sayısı: n+1
  • Orijinal toplam:
    A = \sum_{k=0}^n (3k+2) = (n+1)\frac{2 + (3n+2)}{2} = \frac{(n+1)(3n+4)}{2}.
  • Yeni toplam (her terimden 2 çıkarılırsa):
    A' = \sum_{k=0}^n (3k+2 - 2) = \sum_{k=0}^n 3k = 3\frac{n(n+1)}{2}.
  • Azalma miktarı:
    $$A - A’
    = \frac{(n+1)(3n+4)}{2} - 3\frac{n(n+1)}{2}
    = \frac{(n+1)\bigl((3n+4)-3n\bigr)}{2}
    = \frac{4(n+1)}{2}
    = 2(n+1).$$
    Cevap: E) 2n + 2

3. 15. Soru Çözümü

Soru:

\frac{(n-1)!}{30} = 4!

ise \dfrac{n!}{70} kesrinin sonucu nedir?

  • (n-1)!/30 = 24 \;\Rightarrow\;(n-1)! = 720 = 6! \;\Rightarrow\;n-1=6\;\Rightarrow\;n=7.
  • O hâlde
    \frac{n!}{70} = \frac{7!}{70} = \frac{5040}{70} = 72.

Cevap: B) 72

4. Özet Tablosu

Soru Cevap
13 7 (C)
14 2(n+1) = 2n+2 (E)
15 72 (B)

5. SSS

  1. 33!’ün sondaki sıfır sayısını nasıl bulurum?
    Sadece \lfloor N/5\rfloor+\lfloor N/25\rfloor+\lfloor N/125\rfloor+\dots toplamını alın.
  2. Aritmetik dizide terim sayısını neden n+1 aldık?
    İlk terim k=0, son terim k=n şeklinde toplam n-0+1 = n+1 terim vardır.
  3. Faktöriyel denklem çözümünün adımları nelerdir?
    İlk olarak $(n-1)!$’ü eşitlikten çekip, kaçıncı faktöriyele eşit olduğunu bulun. Ardından $n$’i ve n! değerini hesaplayın.
  4. Her terime sabit bir sayı eklenip çıkarıldığında toplam nasıl değişir?
    Terim sayısı ile o sabit sayının çarpımı kadar değişir.

Bu çözümler üzerinden pekiştirme ister misin? Örneğin her tipten birkaç ek soru oluşturarak birlikte çözebiliriz.
@Elveda1