Sorunuz: Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? Cevap: E şıkkı.
Açıklama (her şıkkı kısa kontrol edelim):
-
A) \sin^2 40^\circ = 1 - \cos^2 40^\circ doğru, çünkü temel özdeşlik \sin^2 x + \cos^2 x = 1.
-
B) \tan 40^\circ = \cot 50^\circ doğru; çünkü \cot \theta = \tan(90^\circ - \theta) ve \tan(90^\circ - 50^\circ)=\tan 40^\circ.
-
C) \cot 70^\circ = \dfrac{1}{\tan 70^\circ} doğru; tan ve cot tersidir (tan ≠ 0 olduğu durumlarda).
-
D) \sin^2 10^\circ + \cos^2 10^\circ = 1 doğru, yine aynı temel özdeşlikten.
-
E) \sec 20^\circ = \dfrac{1}{\sin 20^\circ} yanlış. Doğru tanım \sec x = \dfrac{1}{\cos x} olduğundan doğru ifade \sec 20^\circ = \dfrac{1}{\cos 20^\circ} olmalıdır.
Özet: Yanlış olan şık E’dir. @delta_kaya
Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
Table of Contents
1. Soru Özeti
Aşağıdaki trigonometrik eşitliklerden hangisinin yanlış olduğu sorulmaktadır:
A) \sin^2 40^\circ = 1 - \cos^2 40^\circ
B) \tan 40^\circ = \cot 50^\circ
C) \cot 70^\circ = \dfrac{1}{\tan 70^\circ}
D) \sin^2 10^\circ + \cos^2 10^\circ = 1
E) \sec 20^\circ = \dfrac{1}{\sin 20^\circ}
2. Temel Trigonometrik Kimlikler
Trigonometri dersinin en temel kavramları ve kimlikleri şunlardır:
-
Pisagor Kimliği
\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 -
Tanjant ve Kotanjant
\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}
\cot\theta = \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta} = \dfrac{1}{\tan\theta} -
Komplementer Açı İlişkisi
\tan\theta = \cot(90^\circ - \theta)
\sin\theta = \cos(90^\circ - \theta)
\sec\theta = \dfrac{1}{\cos\theta},\quad \csc\theta = \dfrac{1}{\sin\theta}
Bu kimlikler, şıklardaki ifadeleri adım adım doğrulamak için kullanılacaktır.
3. Şıkların İncelenmesi
Her bir seçeneği temel kimliklere dayanarak tek tek inceleyelim:
-
A) \sin^2 40^\circ = 1 - \cos^2 40^\circ
Pisagor kimliğinden doğrudan gelir.
\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta. Dolayısıyla A şıkkı doğru. -
B) \tan 40^\circ = \cot 50^\circ
Komplementer açı ilişkisine göre
\cot(50^\circ) = \tan(90^\circ - 50^\circ) = \tan 40^\circ.
B şıkkı doğru. -
C) \cot 70^\circ = \dfrac{1}{\tan 70^\circ}
Tan – cot tanımı gereği
\cot\theta = \dfrac{1}{\tan\theta}.
Dolayısıyla C şıkkı doğru. -
D) \sin^2 10^\circ + \cos^2 10^\circ = 1
Yine Pisagor kimliğinin özel hali, her açı için geçerli.
D şıkkı doğru. -
E) \sec 20^\circ = \dfrac{1}{\sin 20^\circ}
Sekant fonksiyonu
\sec\theta = \dfrac{1}{\cos\theta} olmalıdır.
Verilen ifade
\dfrac{1}{\sin 20^\circ} ise kosekant (cosecant) tanımıdır.
E şıkkı yanlış.
4. Doğruluk Analizi
Yukarıdaki incelemeyi bir arada görmek için tabloyu kullanalım:
| Şık | İfade | Kimlik / Açıklama | Doğru–Yanlış |
|---|---|---|---|
| A | \sin^2 40^\circ = 1 - \cos^2 40^\circ | Pisagor kimliği: \sin^2\theta + \cos^2\theta =1 | Doğru |
| B | \tan 40^\circ = \cot 50^\circ | \cot(50^\circ)=\tan(90^\circ-50^\circ)=\tan40^\circ | Doğru |
| C | \cot 70^\circ = \dfrac{1}{\tan 70^\circ} | Tan – cot tanımı: \cot\theta = 1/\tan\theta | Doğru |
| D | \sin^2 10^\circ + \cos^2 10^\circ = 1 | Pisagor kimliği | Doğru |
| E | \sec 20^\circ = \dfrac{1}{\sin 20^\circ} | Yanlış tanım: Aslında \sec\theta =1/\cos\theta, verilen \dfrac{1}{\sin\theta}=\csc\theta | Yanlış |
5. Sonuç ve Yanıt
Yapılan adım adım inceleme sonucu yanlış olan ifade E şıkkıdır. Bunun temel nedeni:
- \mathbf{sec\,\theta = \dfrac{1}{\cos\theta}} iken şıkta \dfrac{1}{\sin\theta} verilmiştir.
Dolayısıyla doğru cevap:
E şıkkı yanlıştır.
6. Özet Tablosu
| Seçenek | İfade | Geçerlilik |
|---|---|---|
| A | \sin^2 40^\circ = 1 - \cos^2 40^\circ | Doğru |
| B | \tan 40^\circ = \cot 50^\circ | Doğru |
| C | \cot 70^\circ = 1 / \tan 70^\circ | Doğru |
| D | \sin^2 10^\circ + \cos^2 10^\circ = 1 | Doğru |
| E | \sec 20^\circ = 1 / \sin 20^\circ | Yanlış |
Cevap: E şıkkı yanlıştır.
@delta_kaya