Sorularn asağidaki bilgitere göre cevaplayınz

YKS TYT
1

TYTTEM
39 ve 40. sorularn asağidaki bilgitere göre cevaplayınz.
Sekil 1’de belediyenn yapacağı dik icgon bicimin
ucgeni bicimindoki bu pakn DEC eon
planlanmaktade [AB) (AC| ve (DEJ BC] dir
Belediyede muhendis olarak çalisan Merve Hanm
2 kal buyuterek Sekil 2’deki gorunúmi elrta teyaa okii Tde çzmiş olduğu proje gorseliri orariti bir tarnte
n
Bu durumda Sekit 1’dek (AB) kenarnn zunlugu ile Sekil 2 deki (DEJ kenarinin uzunluğu et olrruştur
Sekil 1
A) 840
A) 18000
poj voriigir Dogrusal Caddelernn arasricu baan Ae a
roki kisri çocuk oyun atar, gen kaları ksns ise yost adar clats
B) 900
Sokil 2
Sekil 1’de |AD| = 9 birim ve |EC|12 birin, Sekil 2’de ise |BE 36 birim vonliyor
(Yukarndakı Sekil 2’de 1 birim olan uzuntuk değerleri gercekte 10 metroye denk geirnektedir1
39. Sekil 2’de yeşil alan olarak ayrılan bolgenin çevresi gercekte kaç metredir?
Yeşıl alarn
C) 960
C 20800
40. Sekil 2’de çocuk oyun alani olarak ayrılan bolgenin alani gerçekte kaç metrekaredir?
B) 19600
Oyun alany
D) 1000
D) 21600
E) 1080
E) 22400o

TYTTEM 39 ve 40.
TYTTEM 39 ve 40.803×800 52.7 KB

2

TYT Geometri: Park Projesi Benzerlik ve Alan Problemi Çözümü

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜLLER VE KURALLAR:

  • Açı-Açı Benzerlik Teoremi: \triangle DEC \sim \triangle ABC
  • Benzerlik Oranı (k): k = \frac{|DE|}{|AB|} = \frac{|EC|}{|AC|} = \frac{|DC|}{|BC|}
  • Pisagor Teoremi: a^2 + b^2 = c^2
  • Dik Üçgenin Alanı: \text{Alan} = \frac{\text{Dik Kenar}_1 \times \text{Dik Kenar}_2}{2}
  • Ölçek Dönüşümü: 1\text{ birim} = 10\text{ metre} \implies 1\text{ birim}^2 = 100\text{ m}^2

:brain: ORTAK GEOMETRİK ANALİZ VE UZUNLUKLARIN BULUNMASI:

Adım 1 — Şekiller Arasındaki Büyütme Oranını Belirleme
Şekil 2, Şekil 1’in 2 kat büyütülmüş halidir. Dolayısıyla Şekil 2’deki tüm kenar uzunlukları, Şekil 1’deki karşılıklarının 2 katıdır:

  • |BE|_2 = 36\text{ birim} \implies |BE|_1 = \frac{36}{2} = 18\text{ birim}
  • |AD|_1 = 9\text{ birim} \implies |AD|_2 = 9 \times 2 = 18\text{ birim}
  • |EC|_1 = 12\text{ birim} \implies |EC|_2 = 12 \times 2 = 24\text{ birim}

Adım 2 — Üçgenlerin Benzerliğini ve Kenar Bağıntılarını Kurma
\triangle ABC ve \triangle DEC üçgenlerinde:

  • m(\widehat{A}) = m(\widehat{DEC}) = 90^\circ
  • \widehat{C} açısı her iki üçgende de ortaktır.

Bu durumda m(\widehat{B}) = m(\widehat{EDC}) olur ve \triangle DEC \sim \triangle ABC benzerliği elde edilir.

Soruda verilen |AB|_1 = |DE|_2 eşitliğinde, |DE|_2 = 2 \cdot |DE|_1 olduğundan:

|AB|_1 = 2 \cdot |DE|_1 \implies \frac{|DE|_1}{|AB|_1} = \frac{1}{2}

Buradan Şekil 1’deki \triangle DEC ile \triangle ABC arasındaki benzerlik oranı k = \frac{1}{2} bulunur.

Adım 3 — Şekil 1’deki Tüm Kenar Uzunluklarını Hesaplama

  • Benzerlik oranından: \frac{|EC|_1}{|AC|_1} = \frac{1}{2} \implies |AC|_1 = 2 \times 12 = 24\text{ birim}
  • |AC|_1 = |AD|_1 + |DC|_1 \implies 24 = 9 + |DC|_1 \implies |DC|_1 = 15\text{ birim}
  • \triangle DEC dik üçgeninde (9-12-15\text{ özel üçgeni}) Pisagor bağıntısı uygulandığında:
|DE|_1^2 + 12^2 = 15^2 \implies |DE|_1 = 9\text{ birim}
  • Benzerlik oranından: |AB|_1 = 2 \times |DE|_1 = 2 \times 9 = 18\text{ birim}
  • Hipotenüs: |BC|_1 = 2 \times |DC|_1 = 2 \times 15 = 30\text{ birim}

Adım 4 — Şekil 2’deki Değerleri Bulma
Şekil 1’deki uzunluklar 2 ile çarpılarak Şekil 2 elde edilir:

  • |AB|_2 = 18 \times 2 = 36\text{ birim}
  • |AD|_2 = 9 \times 2 = 18\text{ birim}
  • |DE|_2 = 9 \times 2 = 18\text{ birim}
  • |BE|_2 = 36\text{ birim}
  • |EC|_2 = 12 \times 2 = 24\text{ birim}

39. Sorunun Çözümü

Şekil 2’deki Yeşil Alanın Çevresi:
Yeşil alan ABED dörtgenidir. Bu dörtgenin çevresi dört kenarının toplamıdır:

\text{Çevre} = |AB|_2 + |BE|_2 + |ED|_2 + |DA|_2
\text{Çevre} = 36 + 36 + 18 + 18 = 108\text{ birim}

Gerçek uzunluk (1\text{ birim} = 10\text{ metre}):

\text{Gerçek Çevre} = 108 \times 10\text{ m} = 1080\text{ metre}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: 39. CEVAP: E) 1080
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

40. Sorunun Çözümü

Şekil 2’deki Oyun Alanının Gerçek Alanı:
Oyun alanı \triangle DEC dik üçgenidir.

  • Dik kenar |DE|_2 = 18\text{ birim} = 18 \times 10 = 180\text{ metre}
  • Dik kenar |EC|_2 = 24\text{ birim} = 24 \times 10 = 240\text{ metre}

Dik üçgenin alan formülünden:

\text{Alan} = \frac{180\text{ m} \times 240\text{ m}}{2} = 180 \times 120 = 21600\text{ m}^2

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: 40. CEVAP: D) 21600
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Açı-Açı Benzerliği

  • Tanım: İki üçgenin karşılıklı ikişer açısı eşit ise bu üçgenler benzerdir.
  • Bu problemde: Ortak C açısı ve 90^\circ’lik dik açılar sayesinde \triangle DEC \sim \triangle ABC bağıntısı kurulmuştur.

2. Alan ve Uzunluk Ölçek Katsayıları

  • Tanım: Doğrusal uzunluklar ölçek katsayısı (k) ile çarpılırken, alanlar katsayının karesi (k^2) ile çarpılır.
  • Bu problemde: 1\text{ birim} = 10\text{ m} olduğundan alan hesaplanırken 1\text{ birim}^2 = 100\text{ m}^2 dönüşümü yapılmıştır.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Alan Dönüşümünde 10 ile Çarpmak

  • Yanlış: Birimkare cinsinden bulunan alanı sadece 10 ile çarparak 216 \times 10 = 2160 bulmak.
  • Doğru: Uzunluk 10 katına çıkarken alan 10^2 = 100 katına çıkar (216 \times 100 = 21600).
  • Neden yanlış: Alan iki boyutlu bir büyüklüktür, kenar katsayısının karesi alınmalıdır.

Benzerlik oranlarının alan ve çevreye etkisini pekiştirmek için benzer bir ÖSYM tarzı geometri sorusu çözmemi ister misin?