Sorular esit puanlıdır

Üniversite
1

Soru:
Sorular esit puanlıdır. Süre 75 dakikadır.
6 sorudan sadece 5 soru yaplacaktır.
SORULAR
SI. Gauss kanununu kullanarak yalitilmış bir nokta yükün kendisinden r kadar uzaklikta bir noktada
oluşturduğu clcktrik alanını bulunuz ve Coulomb yasasınn bu sonuçtan çikarilabilecegini gösteriniz?

Soru Fotoğrafı:
!Soru Görseli [Link Silindi]

2

Gauss kanununu kullanarak yalıtılmış bir nokta yükün kendisinden r kadar uzaklıkta oluşturduğu elektrik alanını bulunuz ve Coulomb yasasının bu sonuçtan çıkarılabileceğini gösteriniz

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Gauss Yasası:

    \oint \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}

    Burada, Q_{\text{enc}} kapalı yüzey tarafından kuşatılan yük, \varepsilon_0 ise boşluğun elektriksel geçirgenliğidir.

  • Elektrik Alan:
    Elektrik alan, yükten bir yüzey alanı boyunca geçen akı bölü o alan ile bulunur.

  • Coulomb Yasası:
    İki nokta yük arasındaki elektrostatik kuvvet,

    F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}

    ile verilir. Burada k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Gauss yüzeyini seçme
Yalıtılmış nokta yükün etrafında küresel simetri vardır. Bu nedenle, Gauss yüzeyi olarak merkezinde yük bulunan yarıçapı r olan bir küre seçilir.

Adım 2 — Gauss yasasının uygulanması
Elektrik alanın büyüklüğü kürenin her noktasında aynı ve yüzeye diktir. Bu yüzden,

\oint \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = E \oint dA = E \cdot 4 \pi r^2

Adım 3 — Kapsanan yük miktarı
Gauss yüzeyinin içinde sadece nokta yük Q vardır, yani:

Q_{\text{enc}} = Q

Adım 4 — Gauss yasasından elektrik alanı bulma

E \cdot 4 \pi r^2 = \frac{Q}{\varepsilon_0} \implies E = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}

Elektrik alanın yönü, pozitif yük için dışa doğrudur.

Adım 5 — Coulomb yasasının türetilmesi
Coulomb yasasında iki nokta yük arasındaki kuvvet:

F = q E = q \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}

Burada q ikinci yük olup, birinci yükün elektrik alanıyla etkileşir. Bu da Coulomb yasasının klasik biçimini verir.

:white_check_mark: CEVAP:
Yalıtılmış nokta yük Q’nun kendisinden r uzaklıktaki elektrik alanı

E = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}

olarak bulunur. Bu Gauss yasasından elde edilen sonuç, Coulomb yasasının elektrik alanı temelinde doğrudan çıkarılmasını sağlar.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:

3

Gauss kanununu kullanarak yalıtılmış bir nokta yükün kendisinden r kadar uzaklıkta bir noktada oluşturduğu elektrik alanını bulunuz ve Coulomb yasasının bu sonuçtan çıkarılabileceğini gösteriniz?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

Gauss kanunu: $$\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}$$

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Simetri ve Gauss yüzeyinin seçimi

Bir nokta yük için alanın küresel simetriye sahip olduğunu kabul ederiz; bu yüzden merkezinde yük olan yarıçapı r olan bir Gauss küresi seçilir.

Adım 2 — Gauss integrali kurulumu

Gauss kanunu kurulumu:

\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{q}{\varepsilon_0}

Alanın yönü ve büyüklüğü küre yüzeyinde sabit olduğu için integrali açalım:

\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(r)\oint dA

Küre yüzey alanı:

\oint dA=4\pi r^2

Bunları yerine koyarsak:

E(r)\,4\pi r^2=\frac{q}{\varepsilon_0}

E(r) için çözüm:

E(r)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}

Vektörel ifade (r doğrultusunda dışarı doğru):

\mathbf{E}(r)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\,\hat{\mathbf{r}}

Adım 3 — Coulomb yasasının çıkarımı

İkinci bir nokta yükü q' düşünüldüğünde üzerine etkiyen kuvvet:

\mathbf{F}=q'\mathbf{E}(r)

Bunu yerine koyarsak:

\mathbf{F}=q'\,\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\,\hat{\mathbf{r}}

Dolayısıyla iki nokta yük arasındaki büyüklük olarak kuvvet:

F=\frac{q\,q'}{4\pi\varepsilon_0 r^2}

ve yönleri yüklerin işaretine bağlı olarak çekici ya da itici olacaktır. Bu sonuç Coulomb yasısının klasik ifadesidir.

:white_check_mark: CEVAP: Elektrik alanı

\mathbf{E}(r)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\,\hat{\mathbf{r}}

ve Coulomb kuvveti

\mathbf{F}=\frac{q\,q'}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\,\hat{\mathbf{r}}

olarak bulunur.

TEMEL KAVRAMLAR:

  1. Gauss kanunu
  • Tanım: Kapalı bir yüzeyden geçen elektrik akısının, yüzeyin içerdiği net yük ile orantılı olduğunu belirtir.
  • Bu problemde: Nokta yük için simetriden faydalanılarak yüzey integrali kolayca hesaplandı.
  1. Küresel simetri
  • Tanım: Fiziksel büyüklüğün sadece yarıçapa bağlı olduğu durum.
  • Bu problemde: Elektrik alanın yalnızca r’ye bağlı ve küre yüzeyinde sabit olduğu varsayımı entegrali basitleştirir.

SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Yüzey seçimi hatası

  • Yanlış: Silindirik veya başka bir yüzey seçip alandaki açısal bağımlılığı ihmal etmek.
  • Doğru: Nokta yük için merkezde alınan küresel Gauss yüzeyi kullanılmalı.
  • Neden yanlış: Uygun yüzey seçilmezse E sabit varsayımı geçerli olmaz.
  • Düzeltme: Simetriye uygun kapalı yüzey seç.

:cross_mark: Alan hesabında faktör atlama

  • Yanlış: Küre alanını 4\pi r veya başka yanlış bir ifadeyle almak.
  • Doğru: Küre alanı 4\pi r^2 olmalıdır.
  • Neden yanlış: Alanın yanlış alınması E değerini hatalı yapar.
  • Düzeltme: Kürenin yüzey alanını doğru kullan.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?