Sorular eșit puanldır

Üniversite
1

Soru:
Sorular eșit puanldır. Süre 75 dakikadır.
6 sorudan sadece 5 soru yapılacaktır.
SORULAR
S.I. Gauss kanununu kullanarak yalıtulmsş bir nokta yúkün kendisinden r kadar uzaklhkta bir noktada
oluşturdugu elektrik alaninı bulunuz ve Coulomb yasasının bu sonuçtan çikanlabileceğini gösteriniz?

Soru Fotoğrafı:
!Soru Görseli [Link Silindi]

2

Gauss Kanununu Kullanarak İzole Bir Nokta Yükünün Elektrik Alanını Bulma ve Coulomb Yasasının Çıkarımı

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Gauss Kanunu:

    \oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}

    Burada Q_{\text{enc}} kapalı yüzeyin içinde kalan toplam yük, \varepsilon_0 boşluğun elektriksel geçirgenliğidir.

  • Coulomb Yasası:

    \vec{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{r^2} \hat{r}

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Problem Tanımı ve Simetri
Yalıtılmış bir nokta yük Q etrafında, yükten r uzaklıkta elektrik alan E bulunacak. Yük küresel simetri gösterdiğinden, elektrik alan yönü ve büyüklüğü her noktada simetriktir ve sadece radyal yöndedir.

Adım 2 — Gauss Yüzeyinin Seçilmesi
Gauss yüzeyi olarak yükü çevreleyen yarıçapı r olan hayali küre seçilir. Bu küre yüzeyinde elektrik alan büyüklüğü sabittir ve vektör daima yüzeye diktir.

Adım 3 — Gauss Kanununun Uygulanması
Gauss yüzeyindeki elektrik akısı aşağıdaki gibidir:

\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = E \oint dA = E \cdot 4\pi r^2

Burada \oint dA = 4\pi r^2 kürenin yüzey alanıdır.

Gauss kanununa göre:

E \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q}{\varepsilon_0}

Adım 4 — Elektrik Alanın İfadesi
Yukarıdaki denklemi E için çözelim:

E = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r^2}

Elektrik alan vektör olarak:

\vec{E} = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r^2} \hat{r}

Adım 5 — Coulomb Yasasının Gösterimi
Coulomb yasası, iki nokta yük arasındaki elektriksel kuvveti verir:

\vec{F} = k \frac{Q_1 Q_2}{r^2} \hat{r}

Burada k = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} sabitidir.

Elektrik alan, E = \frac{F}{q} olarak yük başına düşen kuvvet olduğundan,

\vec{E} = k \frac{Q}{r^2} \hat{r}

şeklindedir ki bu Gauss kanunundan çıkarılan ifadenin aynısıdır. Böylece Gauss kanunundan Coulomb yasasının formu yazılmış olur.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP:
Yalıtılmış nokta yükün r uzaklığında oluşturduğu elektrik alan

\vec{E} = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r^2} \hat{r}

olarak bulunur ve bu sonuç Coulomb yasasının elektrik alan formunu doğrular.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:

3

Gauss kanununu kullanarak yalıtılmış bir nokta yükün kendisinden r kadar uzaklıkta bir noktada oluşturduğu elektrik alanını bulunuz ve Coulomb yasasının bu sonuçtan çıkarılabileceğini gösteriniz?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

Gauss yasası:

\oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\mathrm{enc}}}{\varepsilon_{0}}

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Simgi ve simetri belirleme
Bir nokta yük için alanın yönü radyal ve aynı uzaklıktaki her noktada eşittir. Bu yüzden küresel bir Gauss yüzeyi (yarıçap = r) seçilir.

Adım 2 — Gauss yasasını uygulama ve akıyı hesaplama

Gauss yasası kurulumu:

\oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{q}{\varepsilon_{0}}

Alanın küresel yüzeyde sabit ve radyal olması nedeniyle integrand sabittir:

\oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(r)\oint_{S}dA
=E(r)\cdot 4\pi r^{2}

Gauss yasası ile eşitleme:

E(r)\cdot 4\pi r^{2}=\frac{q}{\varepsilon_{0}}

E(r) için çözüm:

E(r)=\frac{q}{\varepsilon_{0}}\cdot\frac{1}{4\pi r^{2}}
E(r)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}

Yön bilgisi eklenince vektörel ifade:

\mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}\hat{\mathbf{r}}

Adım 3 — Coulomb yasasının türetilmesi

Bir noktaya yerleştirilmiş ikinci yük q_{1} üzerine ilk yük q_{2}'nin uyguladığı kuvvet:

Başlangıç:

\mathbf{F}=q_{1}\mathbf{E}_{2}

Alan ifadesini yerine koyma:

\mathbf{F}=q_{1}\cdot\frac{q_{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}\hat{\mathbf{r}}

Sonuç:

\mathbf{F}=\frac{q_{1}q_{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}\hat{\mathbf{r}}

Bu ifadenin skaler büyüklüğü Coulomb yasısındaki büyüklükle aynıdır; yön \hat{\mathbf{r}} iki yük arasındaki doğrultudur (aynı işaretlerde itme, zıt işaretlerde çekme).

:white_check_mark: CEVAP:

\boxed{\displaystyle \mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}\hat{\mathbf{r}}}

Coulomb yasası olarak kuvvet:

\boxed{\displaystyle \mathbf{F}=\frac{q_{1}q_{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}\hat{\mathbf{r}}}

TEMEL KAVRAMLAR:

1. Gauss yasası

  • Tanım: Kapalı bir yüzeyden geçen elektrik akısının, o yüzeyin içine sıkışmış net yük ile orantılı olduğunu belirtir.
  • Bu problemde: Küresel simetri sayesinde yüzey integrali basitçe E\cdot 4\pi r^{2} olur.

2. Simetri (kübik/küresel simetri)

  • Tanım: Yük dağılımının simetrisi alanın yön ve büyüklüğünü belirler.
  • Bu problemde: Nokta yük küresel simetri sağlar; alan yalnızca radyal ve uzaklığa bağlıdır.

3. Coulomb yasası

  • Tanım: İki nokta yük arasındaki elektrostatik kuvvetin büyüklüğü \propto 1/r^{2} ile azalır.
  • Bu problemde: Gauss yasasından elde edilen E ifadesi Coulomb kuvvetini direkt verir.

SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Yüzey alanını yanlış almak

  • Yanlış: Küre alanını 2\pi r^{2} veya başka değer almak.
  • Doğru: Kürenin alanı 4\pi r^{2}.
  • Neden yanlış: Akı hesabı doğrudan alan ile çarpılır; yanlış alan yanlış E sonucu verir.
  • Düzeltme: Küre alanı formülünü doğrula: A=4\pi r^{2}.

:cross_mark: Yön bilgisini unutmak veya ters koymak

  • Yanlış: \hat{\mathbf{r}} işaretini atlamak veya yanlış yön kullanmak.
  • Doğru: Pozitif yük için alan dışa, negatif yük için içe doğrudur; kuvvet için bir yükün işareti yönde değişiklik yapar.
  • Neden yanlış: Skaler büyüklük doğru olsa bile yön hatalı fiziksel sonucu bozar.
  • Düzeltme: Her zaman \hat{\mathbf{r}} tanımını (hangi noktadan hangi noktaya yönlendirdiğiniz) açıkça belirt.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?