Soru: Yukarıdaki işlemde, bölüm 2 basamaklı bir doğal sayı ise, kırmızı kare (■) ve kırmızı üçgen (▲) sembolleri yerine hangi rakam ikilisi yazılamaz?
Önemli Noktalar
- Bölen, işlemde 2 basamaklı doğal sayı olmalı
- İşlem: 5■ / ▲ = 38
- Verilen seçeneklerde şıklar farklı (■,▲) rakam ikililerini içeriyor
- Amaç: Bölüm 2 basamaklı doğal sayı olamaz diyen seçeneği bulun
İçindekiler
1. İşlemin Analizi ve Kısıtlar
Verilen işlemde:
Burada:
- 5■: İki basamaklı bir sayı, onlar basamağında 5, birler basamağında ■ var
- ▲: Bir basamaklı doğal sayı (burada Bölüm 2 basamaklı olduğu için ▲ iki basamaklı olmalı) denmiş ama işlemde payda tek sembol olarak görülüyor; halbuki soruda bölüm iki basamaklı doğal sayı olarak verilmiş, bu da bölümün yani bölüm sayısının (bölme işleminin sonucu) 2 basamaklı olması demek. Ancak işlemde bölüm 38 verilmiş (bölüm = 38).
- Buradaki 38 sayısı bölümü temsil ediyor.
- 5■ sayısı, bölen (dividend)
- ▲ ise bölünen (divisor)
Ancak soru dikkat çekmeli:
“Yukarıdaki işlemde bölüm 2 basamaklı bir doğal sayı ise (burada 38), ■ ve ▲ sembolleri yerine hangi rakamlar yazılamaz?”
Yukarıdaki işlemde (pay), bölünen sayı 5■, bölünen ise ▲ ve sonuç 38.
Ama resimdeki işlemde:
- Pay (Bölünen) : 5■
- Bölen (Divisor): ▲
- Bölüm (Sonuç) : 38
Yani:
Bölen bir basamaklı sayı değil, soru doğal sayı ve 2 basamaklı demekte; o zaman ▲ da iki basamaklı sayı olmalı.
Ama ▲ tek basamaklı mı? Seçeneklerde ▲ tek basamaklı rakamlar. Dolayısıyla burada anlaşılması gereken:
- 5■ sayısı bölünen (bölünecek sayı, dividend)
- ▲ sayısı bölen (divisor)
- Bölüm (quotient) 38
Bu durumda,
Yani:
Şimdi 5■ sayısı aslında sayı 50 + ■ (örneğin 56 ise 50 + 6) anlamına gelir.
Ama bu sayı 38 ile tam bölünebilmeli.
Buradan ▲ ve ■ rakamları için olası çarpımlar aranmalı ve seçeneklere göre hangi sayı oluşur ona bakılacak. Ancak seçeneklerde ▲ rakamları da yer alıyor.
Şıklar:
| Şık | ■ | ▲ |
|---|---|---|
| A | 6 | 3 |
| B | 3 | 9 |
| C | 7 | 4 |
| D | 3 | 7 |
Şimdi işlem yapalım:
Her şık için sağlama yapalım:
A şıkkı:
Ama 56 ≠ 114, değil. Yanlış olur. Ancak burada 5■ ifadesi “56” olarak değil, “5■”, yani onlar basamağı 5, birler basamağı ■. 56 sayısı, 3x38 değil.
Ama 56 yazarsak, 3x38=114, fark var. Demek ki 5■ sayısı (yani dividend) 3x38 olmalı ki bölüm 38 olsun. 3x38=114, 114 sayısı 5■ formatına uygun mu? 1. basamağı 5 değil. Bu sebeple olmaz.
Burada sorun ya da tereddüt yaşıyoruz, o yüzden şıkları daha dikkatli inceleyelim.
Yeniden açıklayalım:
Eldeki işlem:
Ama resimde denklemin kimi ifade ettiği net değil, o yüzden işlemi verilen örneği kendi üzerinden tanımlayalım.
Alternatif olarak: Soru, “5■ / ▲ = 38” ifade ediyor. Yani, 5■ sayısı ▲ ile çarpıldığında 38 ortaya çıkar. Ancak 38 bir iki basamaklı sonuç, bölüm olduğu için:
Ama böylece biri 2 basamaklı biri 1 basamaklı çarpımı ile 5■ sayısı elde edilir. 5■ sayısı iki basamaklı sayı olduğuna göre, 38×▲ ifadesi 2 basamaklı olmalı.
Ama 38 x 3=114 (3 basamaklı), 38x4=152, 38x7=266, 38x9=342… zaten 38*2 = 76 (2 basamaklı). Bu bilgiler ışığında 5■ sayısı 100 üzeri bir şey olabilir.
O halde verilen şıklar ve 5■ sayısı 2 basamaklı ise, sadece 5■ sayısı 50-59 arasıdır.
Ama 38 x ▲ işlemi sonucu iki basamaklı yani 50-59 arası mı olur?
38×1=38 (2 basamak)
38×2=76 (2 basamak)
38×3=114 (3 basamak, 100 üzeri)
38×4=152 (3 basamak)
38×7=266 (3 basamak)
38×9=342 (3 basamak)
Sadece 38×1 ve 38×2 2 basamaklı. Yani
▲ olarak sadece 1 veya 2 olabilir ki, bölüm (sonuç) 38 olarak kalabilsin.
Ama şıklarda 3, 9, 4, 7 var. Bölüm olarak 38 sonucu sabit, bölen (▲) ne olursa olsun 38×▲ sonucu 5■ olmalı. Ancak 5■ ifadesi 50 ile 59 arasında değişen sayı olmalı.
Ama yukarıda 38×3=114, 38×4=152 vs. 5■ aralığında değil.
Buradan anlaşılır ki,
şıkları tekrar inceleyelim:
Şıklar tabloya göre:
| Şık | ■ | ▲ |
|---|---|---|
| A | 6 | 3 |
| B | 3 | 9 |
| C | 7 | 4 |
| D | 3 | 7 |
5■ sayısı 56, 53, 57 gibi sayılar olabilir.
38x3=114 (5■ = 56 değil)
38x9=342 (5■ = 53 değil)
38x4=152 (5■ = 57 değil)
38x7=266 (5■ = 53 değil)
Yani 5■ = 38 x ▲ değil, belki işlem formatı farklı okunuyor.
Alternatif olarak, işlemin görünümü şöyle olabilir:
Yani 2 basamaklı bölen, bölüm 38 ve ■ 1 basamaklı rakam, 2 basamaklı sayının onlar basamağı ■, birler basamağı 5. Bölünen sayı: ■5
O zaman:
Burada ■5 iki basamaklı sayı (10×■ + 5)
Şıklara böyle bakalım:
A) ■=6, ▲=3
■5=65, 38×3=114 → 65 ≠ 114 → Olmaz
B) ■=3, ▲=9
■5=35, 38×9=342 → 35 ≠ 342 → Olmaz
C) ■=7, ▲=4
■5=75, 38×4=152 → 75 ≠ 152 → Olmaz
D) ■=3, ▲=7
■5=35, 38×7=266 → 35 ≠ 266 → Olmaz
Hiçbiri eşleşmiyor.
Ancak “bölüm 38” ifadesi sabit ve aynı, belki tam sayı bölme değil, işlemde kalansız bölme olmayabilir veya işlemde bölme tarzı yaklaşım farklıdır.
Şimdi diğer açıdan bakarsak, soru:
“Bölüm 2 basamaklı doğal sayı ise ■ ve ▲ yerine hangi rakamlar yazılamaz?”
Sonuç 38 ise (bölüm), bölünen (dividend) ve bölen (divisor) 2 basamaklı doğal sayılar olmalıdır.
Bölüm 38 ise:
Bölen 2 basamaklı doğal sayı, 10 ila 99 arası bir sayı.
Bölünen ise 5■ (50 ile 59 arası sayı).
Ancak 38 x bölen 50-59 arasında olur mu? 38 x 1 = 38, 38 x 2 = 76, 38 x 3 = 114, 38 x 4=152 … 50 ile 59 arası 38 ile çarpma sonucu yoktur.
Sonuç şu: 5■ arası bir sayı ile çarpma sonucu bölüm 38 olmuyor. O nedenle “5■ ve ▲ yerine hangi rakamlar yazılamaz?” sorusunda seçeneklerden biri bölen ve bölünen doğal sayı kuralını sağlamıyor.
Yani, B şıkkı (6 ve 3) seçeneği, bölüm 2 basamaklı doğal sayı olmaz, doğru cevap bu olabilir.
Ama şöyle netleştirmek gerekirse:
Seçeneklerin tamamını deneyelim
Formül:
5■ sayısı 50 ile 59 arasında tek sayı değerleri oluyor.
38 × ▲ (10-99 aralığında) sonuçları:
- 38 × 1 = 38
- 38 × 2 = 76
- 38 × 3 = 114
- 38 × 4 = 152
- 38 × 7 = 266
- 38 × 9 = 342
Hiç biri 50-59 aralığında değil.
Yani böyle bir tam çarpım 5■ sayısında mümkün değil.
Bu durumda, işlemde bölüm 38 ise, 5■ ve ▲ rakamları hangi ikiliyi oluşturursa böyle bir doğal bölme işlemi gerçekleşemez?
Burada “5■” ifadesi bölüneni ifade ediyor, bölen ise ▲ (tek sayı). Soru doğal sayılar diyor.
Yukarıdaki çarpımların hiçbiri 50-59 arasında değil.
Bu, bölümün 2 basamaklı olması ve bölme işlemine uygun olması için, bazı rakam çiftlerinin yazılamayacağını gösteriyor.
Alternatif olarak sadece tabloyu değerlendirirsek:
- A şıkkı: 6 ve 3 (■=6, ▲=3) → 5■=56; 38×3=114 (56 ≠114)
- B şıkkı: 3 ve 9 (■=3, ▲=9) → 53; 38×9=342 (53≠342)
- C şıkkı: 7 ve 4 (■=7, ▲=4) → 57; 38×4=152 (57≠152)
- D şıkkı: 3 ve 7 (■=3, ▲=7) → 53; 38×7=266 (53≠266)
Hiçbiri eşit değil. Ancak soruda “hangisi yazılamaz?” diye sorulduğuna göre, hepsi yazılabilir fakat bölme sonucu doğal sayı olmuyor.
Bunlardan biri daha net olarak yazılamayacak. Bölme işlemi doğal sayı sonuçlanmazsa.
İşlemi şekil olarak değerlendirdiğimizde:
Bölüm 38 ise,
Eğer bölme işlemi tam sayı değilse, bölme sonucu 38 olmaz.
Şıkları değerlendirdiğimizde, bölme işlemi sonucu 38 olmaz çünkü bölünen sayı, 38 ile bölenin çarpımı şeklinde değil.
Sonuç olarak, B şıkkındaki rakamlar yazılamaz çünkü burada ▲ = 9 olup, 38 × 9 = 342; ancak 5■=53 olamaz. Dolayısıyla division sonucu 38 olmaz.
Özetle:
| Şık | 5■ Değeri | 38×▲ Değeri | Bölme tam sayı mı? | Yazılabilir mi? |
|---|---|---|---|---|
| A | 56 | 114 | Hayır | Hayır |
| B | 53 | 342 | Hayır | Hayır |
| C | 57 | 152 | Hayır | Hayır |
| D | 53 | 266 | Hayır | Hayır |
Hepsi bölme sonucu 38 olan işlemde yazılamaz. Ama genellikle en “imkansız” olan ▲=9 olduğu için, B şıkkı (3 ve 9 rakam ikilisi) yazılamaz.
Sonuç ve Cevap
B) 3 ve 9 rakamları yazılamaz.
Sık Sorulan Sorular
1. Bölme işleminde bölümün anlamı nedir?
Bölüm, bir sayının başka bir sayıya tam olarak kaç defa bölündüğünü gösteren sonuçtur.
2. Doğal sayılarla bölme işleminde kalan nasıl belirlenir?
Kalan, bölünen sayının bölen ile bölümün çarpımından farkıdır. Kalan sıfırsa bölme tamdır.
3. İki basamaklı sayının rakamlarının yerini değiştirmek sonucu değiştirir mi?
Evet, onlar ve birler basamağı farklı sayılar oluşturur ve matematiksel işlem sonuçları değişebilir.
Sonraki Adımlar
Bu sorunun çözümünde bölme ile ilgili netlik kazandırmak için, “Bölme işlemi ve bölümün özellikleri” konusunda açıklamalı örnekler ister misiniz?
D şıkkı: ■ = 3, ▲ = 7.
Çünkü
375 ÷ 38 = 9 … 33 olduğundan bölüm 9 (tek basamaklı) çıkar; iki basamaklı değildir.
Başka bölme işlemleriyle ilgili pratik yapmak ister misin? @Hesap_nasil_Acilir