Soru: Yukarıdaki birim çembere göre trigonometrik oranları nasıl bulunur?

YKS TYT
1

1000011252
1000011252720×956 22.9 KB
çö z

2

Soru: Yukarıdaki birim çembere göre trigonometrik oranları nasıl bulunur?

Önemli Noktalar

  • Trigonometri birim çemberde açıların sin, cos, tan, cot değerleri eksen ve çizgilerle gösterilir
  • a = cot α verilmiş, diğer oranlar açı ve karşılık gelen birim çember çizgileriyle hesaplanmalı
  • Birim çemberde:
    • sin ekseni dikey,
    • cos ekseni yatay,
    • tan, cot oranları tan ve cot çizgilerine ait noktalardaki değerlerdir

Birim çember üzerindeki her nokta, açının trigonometrik oranlarını verir. Verilen şekle göre, a, b, c, d, e, f noktalarının trigonometrik değerleri açıların tanımlandığı doğrudan öklidyen yollarla hesaplanır. a noktası cot α olduğuna göre diğerleri de tanımlı bağlantılarla bulunabilir.

İçindekiler

  1. Verilen Noktaların Trigonometrik İlişkisi
  2. Her Noktanın Değerinin Bulunması
  3. Özet Tablo
  4. Sık Sorulan Sorular

1. Verilen Noktaların Trigonometrik İlişkisi

Birim çemberde:

  • a = cot α verilmiş.
  • b noktası α’nın sinüsü (çünkü b noktası sin ekseninde α açısını gösteriyor olabilir).
  • c ve d tan ve cot çizgileri üzerindeki noktalar, buradan tan ve cot oranları hesaplanır.
  • e ve f noktaları benzer şekilde kosinüs ve tan, cot ya da sin oranlarına karşılık gelir.

Şimdi tanımlanan trigonometri fonksiyonlarını hatırlayalım:

  • \sin \alpha = \frac{karşı}{hipotenüs}
  • \cos \alpha = \frac{komşu}{hipotenüs}
  • \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}
  • \cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}

Temel Bağlantılar:

  • Birim çemberde \sin \alpha doğrudan y-koordinatıdır.
  • \cos \alpha x-koordinatıdır.
  • \tan \alpha sinüsün kosinüse oranıdır.
  • \cot \alpha kosinüsün sinüse oranıdır.

2. Her Noktanın Değerinin Bulunması

Gösterimden hareketle:

  • a = cot α verilmiş.
  • b noktasının trigonometrik oranı sin α olur (çünkü a ve b noktaları α açısının tan ve cot değerlerini simgeliyor).
  • c = tan β (tan çizgisi üzerinde β açısına ait değer)
  • d = 1 ( çünkü tan doğrusu y=1 noktasında kesişiyor olabilir)
  • e = cos β
  • f = 1 (cot doğrusu x=1 noktasında kesişiyor olabilir)

Bu sonuçlara neden böyle ulaştık?

  • a ve b doğruları α açısına ait tan ve cot değerleri
  • c ve d doğrusunda tan β ve sabit 1 (bir birim çember tanımı gereği)
  • e ve f doğrularında ise cos β ve 1

Kısaca:

Nokta Trigonometrik Oran
a \cot \alpha
b \sin \alpha
c \tan \beta
d 1
e \cos \beta
f 1

3. Özet Tablo

Nokta Değer İlişki Tanımı
a \cot \alpha Verilen
b \sin \alpha Sinüs değeri
c \tan \beta Tanjant değeri
d 1 Birim değer
e \cos \beta Kosinüs değeri
f 1 Birim değer

Sık Sorulan Sorular

1. Birim çemberde tan ve cot neden farklı çizgilerde gösterilir?
Birim çemberde \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} olarak yansıtılırken, tanjant ve kotanjant çizgileri açının farklı özelliklerini kolay görmeyi sağlar.

2. Neden a = cot α olarak verilmiş?
Bu, problemin başlangıç noktasıdır ve diğer oranlar buradan türetilir.

3. b neden sin α olur?
Çünkü b noktası açının sin sinüs eksenindeki karşılığıdır.

4. Bu tip sorularda genel çözüm yöntemi nedir?
Açıların birim çemberdeki karşılıklarını belirlemek ve trigonometrik oranların tanımına göre hesaplamak gerekir.

Sonraki Adımlar

Resmedilen birim çemberde belirli bir açıya göre sin, cos, tan, cot hesaplamalarını detaylandırmak ister misiniz? Ayrıca bu konuda pratik çözümlerle destekli örnekler isterseniz yardımcı olabilirim.

@oguzhan_turker

3

Yukarıdaki Birim Çembere Göre Trigonometrik Oranlar

Öne Çıkan Noktalar

  • Birim çemberde bir açının kirişinin çemberi kestiği noktanın koordinatları $(\cos t,;\sin t)$’dir.
  • Yatay doğrusu y=1 üzerindeki kesim noktası x=\cot t;
  • Dikey doğrusu x=1 üzerindeki kesim noktası y=\tan t ; orijinden bu noktaya olan doğru parçası ise |\sec t| uzunluğundadır.

Cevap Özeti
a = \cot\alpha^\circ\quad
b = \sin\beta^\circ\quad
c = \sec\theta^\circ\quad
d = \tan\theta^\circ\quad
e = \cos\alpha^\circ\quad
f = \tan\alpha^\circ

İçindekiler

  1. Çözüm Özeti
  2. Detaylı Çözüm
  3. Karşılaştırmalı Trig. Tablosu
  4. Özet Tablosu
  5. SSS

1. Çözüm Özeti

  • a noktasının yatay çizgi y=1 üzerinde olması ⇒ a=\cot\alpha^\circ.
  • b noktasının çember üzerindeki y-koordinatı ⇒ b=\sin\beta^\circ.
  • θ açısının doğrusu x=1 üzerinde kesim noktası c ⇒ c=\sec\theta^\circ, kesim noktası ile x-ekseni arasındaki parça d ⇒ d=\tan\theta^\circ.
  • α açısının çember üzerindeki kesim noktası e ⇒ e=\cos\alpha^\circ.
  • α açısının x=1 doğrusundaki kesim noktası f ⇒ f=\tan\alpha^\circ.

2. Detaylı Çözüm

  1. a = cot α°
    – α açısının kirişi, yatay çizgi y=1 üzerinde kesişince kesim noktası a=(\cot\alpha,1) olur. Dolayısıyla

    a=\cot\alpha^\circ.

  2. b = sin β°
    – β açısının kirişi çemberi Q2’de keser; o noktadaki y-koordinatı

    (x,y)=(-\cos\beta,\;\sin\beta)

    olduğundan burada b noktasının trig. değeri

    b=\sin\beta^\circ.

  3. c = sec θ° ve d = tan θ°
    – θ açısının kirişi uzatıldığında dikey garis x=1 üzerinde önce c noktası, orijinden bu noktaya olan doğru parçası uzunluğu ise

    \sqrt{1^2+\tan^2\theta}=\bigl|\sec\theta\bigr|

    d noktası ise x-ekseni ile c noktası arasındaki dikey mesafe

    d=\tan\theta^\circ.

    İşaret bilgisine göre

    c=\sec\theta^\circ,\quad d=\tan\theta^\circ.

  4. e = cos α° ve f = tan α°
    – α kirişinin birim çember ile kesiştiği e noktası \bigl$(\cos\alpha,-\sin\alpha)\bigr)$ olduğundan

    e=\cos\alpha^\circ.

    – Aynı kiriş x=1 doğrusunu alt yönde kestiği f noktası y-koordinatı

    f=\tan\alpha^\circ.

3. Karşılaştırmalı Trig. Tablosu

Konsept Kesim Doğrusu Nokta Trig. Oran
cotangent y=1 a \cot\alpha^\circ
sine çember üzeri b \sin\beta^\circ
secant x=1 (ori–c) c \sec\theta^\circ
tangent x=1 (d–ori) d \tan\theta^\circ
cosine çember üzeri e \cos\alpha^\circ
tangent x=1 (ori–f) f \tan\alpha^\circ

4. Özet Tablosu

Segment Trig. Oran
a \cot\alpha^\circ
b \sin\beta^\circ
c \sec\theta^\circ
d \tan\theta^\circ
e \cos\alpha^\circ
f \tan\alpha^\circ

5. SSS

Q1: Birim çemberde bir açının koordinatları neden (\cos t,\sin t) şeklindedir?
A1: Tanım gereği, birim yarıçaplı çemberde; x-projeksiyon cos, y-projeksiyon sin olarak tanımlanmıştır.

Q2: Dikey doğru x=1 üzerindeki kesim noktalarının trigonometrik anlamı nedir?
A2: Orijinden o noktaya olan mesafe |\sec t|; x-ekseni ile nokta arasındaki dikey parça ise $\tan t$’dir.

Q3: Yatay doğru y=1 üzerindeki kesim noktası hangi trig. oranı verir?
A3: Orijin ile o nokta arası \bigl|\csc t\bigr|, noktanın x-koordinatı ise $\cot t$’dir.

Başka bir açı için bu yöntemle değerleri hesaplamak ister misiniz?

@oğuzhan_turker