Cins Sorusu Çözümü
Önemli Noktalar
- Verilen denklem: x^2 + 7x - 4 = 0
- Denklemin bir kökü a olarak verilmiş
- Amaç: a(a+7) + 10 ifadesinin değerini bulmak
Verilen ikinci dereceden denklemin köklerinden biri a ise, a denklemi sağlar:
Buradan ifade şu şekilde düzenlenebilir:
Yani, ifade değeri 14’tür.
Cevap: D) 14
İçindekiler
Denklem ve Kök İlişkisi
Bir ikinci dereceden denklem ax^2 + bx + c=0 için kökler x_1 ve x_2 şu özelliklere sahiptir:
- Toplamları: x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}
- Çarpımları: x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}
Verilen denklemde a=1, b=7, c=-4 olduğu için:
- Köklerin toplamı: -7
- Köklerin çarpımı: -4
Bu bilgi köklerle ilgili çeşitli ifadeleri çözmekte kullanılır. Ancak burada, doğrudan kökün denklemi sağladığı ilişkiden yola çıkmak daha pratik.
Pro Tip: Denklemde kök olarak verilen a, denklemi sağladığı için kökü sağlayan tüm eşitlikleri kullanabilirsiniz.
İfadenin Hesaplanması
İstenen ifade:
Denklimden:
Bunu ifadeye yerleştirince:
Sonuç direkt olarak 14 bulunur.
Örneklerle Pekiştirme
Örnek 1:
Denklem: x^2 - 5x + 6 = 0 ve köklerden biri b.
İfade: b(b - 5) + 3 = ?
Çözüm: Denklemden b^2 -5b + 6=0 \Rightarrow b^2 -5b = -6
İfade: b^2 -5b + 3 = -6 + 3 = -3
Örnek 2:
Denklem: x^2 + 4x + 3 = 0 ve köklerden biri c.
İfade: c(c+4) - 1 = ?
Denklemden: c^2 + 4c = -3
İfade: -3 - 1 = -4
Anahtar Nokta: Kökün sağladığı denklemi kullanarak bilinmeyen ifadeler hızlıca hesaplanabilir.
Özet Tablo
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| Denklemin verilmesi | x^2 + 7x -4 = 0 | - |
| Kök a için denklemin sağlanması | a^2 + 7a = 4 | 4 |
| İstenilen ifade | a(a+7) + 10 = a^2 + 7a + 10 | 4 + 10 = 14 |
| Sonuç | \boxed{14} | Cevap D şıkkı |
Sık Sorulan Sorular
1. Köklerin toplama ve çarpım formüllerini mutlaka kullanmalı mıyım?
Hayır, bazen kökün denklemi sağlamasından doğrudan faydalanmak daha hızlıdır.
2. Eğer soru farklı bir işlem isteseydi ne yapardım?
Kökleri a ve diğer kök b olarak alıp toplam ve çarpım formülleriyle denklemleri kurabilirsiniz.
3. Bu yöntemi başka hangi durumlarda kullanabilirim?
Köklerin bilinmediği ama köklerle ilgili ifadelerin hesaplandığı her tür soruda.
Sonraki Adımlar
Dilerseniz köklerle ilgili daha karmaşık ifadeleri nasıl çözeceğinizi anlatan yeni örnek sorular hazırlayabilirim. İsterseniz, kökler ve katsayılar arasındaki ilişkilerin daha derin matematiğini inceleyebiliriz.
Soru: x² + 7x − 4 = 0 denkleminin bir kökü a ise, a(a + 7) + 10 ifadesinin değeri kaçtır?
Anahtar Noktalar
- Denklemin katsayıları: a=1,\ b=7,\ c=-4.
- Vieta’ya göre kökler toplamı x_1+x_2=-\tfrac{b}{a}=-7, çarpımı x_1x_2=\tfrac{c}{a}=-4.
- Kök a için a^2+7a=4 eşitliği geçerlidir.
Cevap
14. Çünkü kökler için
olduğundan
İçindekiler
Derinlemesine Açıklama
Denklem x^2+7x-4=0 için kök a olduğunda Vieta formüllerinden:
Bu sonucu doğrudan ifade içindeki a(a+7) yerine koyup +10 eklemek, problemi hızlıca çözmeyi sağlar.
Yöntem Karşılaştırması
| Yöntem | Tanım | Avantaj | Dezavantaj |
|---|---|---|---|
| Kök Formülü | x = \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} | Her denkleme doğrudan uygulanır | Hesaplaması uzun olabilir |
| Vieta Özdeşlikleri | x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}, x_1x_2=\dfrac{c}{a} | Katsayılarla hızlı çıkarım | Karmaşık ifadelerde sınırlı |
Özet Tablosu
| Denklemin Katsayıları | Kökler Toplamı | Kökler Çarpımı | İstenilen İfade |
|---|---|---|---|
| a=1,\ b=7,\ c=-4 | −7 | −4 | 14 |
SSS
Soru 1: Vieta formülleri neden işe yarar?
Cevap: Kökler toplamı ve çarpımı doğrudan katsayılardan bulunarak ekstra çözüm adımını ortadan kaldırır.
Soru 2: Neden a^2+7a = 4 dedik?
Cevap: Kök a yerine denklemde x^2+7x-4=0 yazıldığında x^2+7x=4 elde edilir.
Soru 3: Farklı bir ifade hesaplamak istersem ne yapmalıyım?
Cevap: İlgili ifadedeki terimleri denklemden elde edilen eşitlikle değiştirerek benzer adımları izleyebilirsiniz.
Bu yöntemi kullanarak başka bir denklemin köküyle ilgili ifade hesaplamak ister misiniz?
@Tugce_Soylu