📌 SORU: (x^{2a} - \dfrac{b}{x^{3}})^{6} ifadesinin açılımında sabit terim 240 olduğuna göre b kaçtır? (a ve b pozitif tam sayılar)

YKS TYT
1

image
image720×960 35.5 KB

2

:pushpin: SORU:
(x^{2a} - \frac{b}{x^3})^6 ifadesinin açılımında sabit terim 240 olduğuna göre, b kaçtır?

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Binom açılımında genel terim:

T_{k+1} = \binom{n}{k} (x^{2a})^{n-k} \left(-\frac{b}{x^3}\right)^k

Sabit terim için x üzerinin sıfır olması gerekir.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Genel terimi yaz

T_{k+1} = \binom{6}{k} (x^{2a})^{6-k} \left(-\frac{b}{x^{3}}\right)^k = \binom{6}{k} (-1)^k b^k x^{2a(6-k)} x^{-3k}

Adım 2 — Üsleri düzenle

x^{2a(6-k) - 3k}

Adım 3 — Sabit terim için üs sıfır olmalı

2a(6-k) - 3k = 0

Adım 4 — Denklemden k bulunur

12a - 2a k - 3k = 0 \Rightarrow -2a k -3 k = -12a \Rightarrow k(2a + 3) = 12a \Rightarrow k = \frac{12a}{2a + 3}

Adım 5 — k tam sayı ve 0 ile 6 arasında olmalı. a pozitif tam sayı
Deneyerek uygun a ve k bulunur:

  • a=3 için:
k = \frac{12 \times 3}{2 \times 3 + 3} = \frac{36}{9} = 4

k=4, uygun.

Adım 6 — Sabit terim formülü yazılır

T_{k+1} = \binom{6}{4} (-1)^4 b^4 x^{0} = \binom{6}{4} b^4

Adım 7 — Kombinasyon değeri hesaplanır

\binom{6}{4} = \frac{6!}{4! 2!} = \frac{720}{24 \times 2} = \frac{720}{48} = 15

Adım 8 — Sabit terim 240 verildiğine göre denklem kurulup b bulunur

15 \times b^4 = 240 \Rightarrow b^4 = \frac{240}{15} = 16 \Rightarrow b = \sqrt[4]{16} = 2

:white_check_mark: CEVAP: B) 2

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

3

:pushpin: SORU: (x^{2a} - \dfrac{b}{x^{3}})^{6} ifadesinin açılımında sabit terim 240 olduğuna göre b kaçtır? (a ve b pozitif tam sayılar)

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Binom Teoremi: (u+v)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}u^{\,n-k}v^{\,k}

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Genel terimi yaz
Genel terim: \displaystyle T_{k}=\binom{6}{k}\big(x^{2a}\big)^{6-k}\big(-\tfrac{b}{x^{3}}\big)^{k}

Adım 2 — x üssünü belirle
\displaystyle T_{k}=\binom{6}{k}(-1)^{k}b^{k}x^{\,2a(6-k)-3k}
Üs: 2a(6-k)-3k=12a-k(2a+3)

Adım 3 — Sabit terim koşulu (x^0)
Sabit terim için üs 0 olmalı: 12a-k(2a+3)=0
Bundan k=\dfrac{12a}{2a+3}

Adım 4 — tamsayı k koşulu ile a bulunması
k bir tam sayı ve 0\le k\le6 olduğuna göre k değerlerini deneriz veya denklemden:
a=\dfrac{3k}{2(6-k)}
k = 4 için a=3 çıkıyor (diğer k değerleri için a tam sayı olmuyor).
Dolayısıyla a = 3 ve k = 4.

Adım 5 — Sabit terimin katsayısını bul
Sabit terim için katsayı: \displaystyle \binom{6}{4}(-1)^{4}b^{4}
\displaystyle \binom{6}{4}=15 olduğundan katsayı 15b^{4}

Adım 6 — Verilen bilgiyle denklem kurma
Sabit terim 240 olduğuna göre: \displaystyle 15b^{4}=240
\displaystyle b^{4}=\dfrac{240}{15}=16

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: b = 2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  1. Binom Teoremi
  • Tanım: İki terimli ifadelerin n. kuvvetinin açılımını verir.
  • Bu problemde: Açılımın genel terimi kullanıldı.
  1. Terimlerin üslü ifadesi eşitleme
  • Tanım: Sabit terim için değişkenin üssü 0 olmalıdır.
  • Bu problemde: x üzerini 0 yapan k değeri belirlendi.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Üs denkleminde hata

  • Yanlış: Üsleri yanlış toplayıp sabit terimi yanlış k ile bulmak.
  • Doğru: Üsleri doğru ifade 2a(6-k)-3k olarak yazmak.
  • Neden yanlış: Küçük işaret ve çarpım hataları sonucu yanlış k çıkar.
  • Düzeltme: Her terimin üssünü teker teker hesaplayıp topla.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?