Soru: Verilen denkleme göre \(\dfrac{\log{7}x}{\log{7}8}\) ifadesinin değeri kaçtır?

YKS TYT
1

IMG_5082
IMG_5082720×960 20 KB

2

Logaritma Denklemi Problemi Çözümü

Önemli Noktalar

  • Verilen denklem: 2^{\log_x 4x} + 2^{\log_x (2x)^2} = 192
  • Amaç: \frac{\log_7 x}{\log_7 8} ifadesinin değerini bulmak
  • Logaritma ve üs kuralları dikkatlice uygulanmalı
  • Bilinmeyeni sadeleştirip denklem çözülür

Verilen denklemin çözümü için öncelikle ifadeleri sadeleştirelim ve bilinmeyenleri uygun şekilde tanımlayalım.

İçindekiler

  1. Denklemin Sadeleştirilmesi ve Değişken Tanımlaması
  2. Denklemin Çözümü
  3. İstenen Oranın Hesaplanması
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

1. Denklem Sadeleştirme ve Değişken Tanımlaması

Verilen:

2^{\log_x 4x} + 2^{\log_x (2x)^2} = 192

Öncelikle logaritma ifadelerini sadeleştirelim.

  • \log_x 4x = \log_x 4 + \log_x x = \log_x 4 + 1 çünkü \log_x x = 1
  • \log_x (2x)^2 = \log_x (2^2 x^2) = \log_x 4 + \log_x x^2 = \log_x 4 + 2

Bunları üs olarak yazalım:

2^{\log_x 4 + 1} + 2^{\log_x 4 + 2} = 192

Üsleri açalım:

2^{\log_x 4} \cdot 2^1 + 2^{\log_x 4} \cdot 2^2 = 192

Common factor 2^{\log_x 4} alınır:

2^{\log_x 4} (2 + 4) = 192 \implies 2^{\log_x 4} \cdot 6 = 192

Buradan:

2^{\log_x 4} = \frac{192}{6} = 32

:light_bulb: Pro Tip: 2^{\log_x 4} ifadesini x^{\log_2 4} şeklinde dönüştürmek veya logaritmanın taban değiştirme formüllerini kullanmak çoğu zaman işlemi kolaylaştırır.

2. Denklem Çözümü

Hatırlayalım: 2^{\log_x 4} = 32

Taban değiştirme formülüne göre:

2^{\log_x 4} = 2^{\frac{\log 4}{\log x}} = 32

Buradaki logaritma doğal log veya herhangi bir taban olabilir çünkü oranlar aynı. 32 = 2^5 olduğuna göre eşitliği şu şekilde alabiliriz:

2^{\frac{\log 4}{\log x}} = 2^5 \Rightarrow \frac{\log 4}{\log x} = 5

Buradan:

\log 4 = 5 \log x \implies \log x = \frac{\log 4}{5}

Üsteki logaritmalar aynı tabanda varsayıldı.

3. İstenen Oranın Hesaplanması

Bulunmak istenen ifade:

\frac{\log_7 x}{\log_7 8}

Yine taban değiştirme kuralı uygulanır:

\frac{\log_7 x}{\log_7 8} = \log_8 x

Yani sonuç \log_8 x değeridir.

\log_8 x ifadesi temel logaritma işlemleriyle hesaplanabilir:

\log_8 x = \frac{\log x}{\log 8}

Bizim bulduğumuz \log x = \frac{\log 4}{5} idi.

Burada \log tabanının önemi yok; aynı tabanlı logaritmalar oranları değişmez.

Şimdi \log 8 = \log 2^3 = 3 \log 2 ve \log 4 = \log 2^2 = 2 \log 2.

Bunları yerine koyarsak:

\log_8 x = \frac{\frac{2 \log 2}{5}}{3 \log 2} = \frac{2/5}{3} = \frac{2}{15}

Sonuç:

\frac{\log_7 x}{\log_7 8} = \frac{2}{15}

Doğru seçenek A) \frac{2}{15}'tir.

Özet Tablo

Adım Açıklama Sonuç
Denklem Sadeleştirme Üslerdeki logaritma ifadeleri açıldı ve ortak çarpan alındı 2^{\log_x 4} = 32
Taban Değiştirme Üslü ifade logaritma dönüşümüne tabi tutuldu \frac{\log 4}{\log x} = 5
İstenen Oran \frac{\log_7 x}{\log_7 8} = \log_8 x olarak basitleştirildi \frac{2}{15}

Sık Sorulan Sorular

1. Logaritmanın taban değiştirme formülü nedir?

\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}

Burada c, herhangi bir pozitif taban olabilir.

2. Üslü ifadelerde logaritma nasıl sadeleştirilir?

a^{\log_b c} = c^{\log_b a}

Bu dönüşüm karmaşık işlemleri kolaylaştırır.

3. Logaritma ifadelerinde ortak çarpan nasıl alınır?
Eğer üslerin bazları aynıysa ve üsler toplama işlemi içeriyorsa ortak üs ifadesi baz olarak alınabilir.

4. \frac{\log_7 x}{\log_7 8} niçin \log_8 x olarak yazılır?
Logaritmanın taban değiştirme kuralı nedeniyle; bu iki ifade eşittir.

Sonraki Adımlar

Başka logaritma taban dönüşümleri veya karmaşık üslü/logaritmik denklemlerle ilgili örnek çözüm ister misiniz? Ya da bu sorunun daha zor varyasyonlarına geçelim mi?

@Sevval_Tanis

3

Soru: Verilen denkleme göre \dfrac{\log_{7}x}{\log_{7}8} ifadesinin değeri kaçtır?

Ana Hatlar

  • 2^{\log_{x}(4x)} + 2^{\log_{x}\bigl((2x)^2\bigr)} = 192 denklemi
  • \log_{x}(4x)=\log_{x}4+1, \log_{x}\bigl((2x)^2\bigr)=2(\log_{x}2+1) dönüşümleri
  • Çözüm sonucunda x=2^{2/5} ve istenen \dfrac{\log_{7}x}{\log_{7}8}=\dfrac{2}{15}

İçindekiler

  1. Denklemin Çözümü
  2. Aranan İfadenin Hesaplanması
  3. Özet Tablo
  4. SSS

1. Denklemin Çözümü

Denklemi şu şekilde sadeleştirelim:

2^{\log_{x}(4x)} \;+\; 2^{\log_{x}\bigl((2x)^2\bigr)} \;=\; 192.

Önce logaritma dönüşümleri:

\log_{x}(4x)=\log_{x}4+\log_{x}x=2a+1,\quad \log_{x}\bigl((2x)^2\bigr)=2\bigl(\log_{x}2+\log_{x}x\bigr)=2(a+1),

burada a=\log_{x}2. Denklem

2^{2a+1}+2^{2(a+1)}=192 \quad\Longrightarrow\quad 2^{2a+1}+2^{2a+2}=192
2^{2a+1}(1+2)=192 \quad\Longrightarrow\quad 2^{2a+1}\times3=192 \quad\Longrightarrow\quad 2^{2a+1}=64=2^6
2a+1=6 \quad\Longrightarrow\quad a=\frac{5}{2} \quad\Longrightarrow\quad \log_{x}2=\frac{5}{2} \quad\Longrightarrow\quad x^{5/2}=2 \quad\Longrightarrow\quad x=2^{2/5}.

2. Aranan İfadenin Hesaplanması

\frac{\log_{7}x}{\log_{7}8} =\log_{8}x =\log_{8}(2^{2/5}) =\frac{2/5}{\log_{8}2^{-1}} =\frac{2/5}{3} =\frac{2}{15}.

3. Özet Tablo

Adım İşlem Sonuç
1 \log_{x}(4x)=2a+1,\ \log_{x}((2x)^2)=2(a+1), a=\log_x2 –
2 2^{2a+1}+2^{2a+2}=192\;\Rightarrow\;2^{2a+1}=64\;\Rightarrow\;a=5/2 –
3 x^{5/2}=2\;\Rightarrow\;x=2^{2/5} x=2^{2/5}
4 \frac{\log_7x}{\log_78}=\log_{8}x=\frac{2}{15} \displaystyle \frac{2}{15}

4. SSS

S1. \log_{x}(4x) ifadesini nasıl dönüştürdük?
Cevap: \log_x4+\log_x x=2a+1 şeklinde, burada a=\log_x2.

S2. \log_{x}\bigl((2x)^2\bigr) neden 2(a+1) oldu?
Cevap: \log((2x)^2)=2\log(2x)=2(\log_x2+\log_x x).

S3. \tfrac{\log_7 x}{\log_7 8} ifadesi neden \log_8 x ile eşittir?
Cevap: \dfrac{\log_b a}{\log_b c}=\log_c a dönüşüm kuralından.

S4. Denklemin çözümü farklı bir taban için nasıl değişir?
Cevap: Temel yöntem aynı; tabanı değiştirdikçe sayısal sonuç farklı olabilir.

Çalışmanızı pekiştirmek ister misiniz? 3 tane benzer çalışma problemi hazırlayabilirim. @Sevval_Tanis