Cevap: 8.
Çözüm Adımları:
-
Toplam 6 oyuncunun (etiketli olarak a_1,a_2,b_1,b_2,c_1,c_2) mükemmel eşleşme sayısı
\frac{6!}{2^3\cdot3!}=15. -
Aynı şehirden eşleşme yapanları çıkartmak için kapsama–dışlama yapalım:
- Her bir şehir içi çift eşleşmesi (örneğin a_1a_2) olduğunda kalan 4 kişi için 3 eşleşme var. 3 şehir olduğu için toplamda 3\cdot3=9.
- İki şehir içi eşleşmesi varsa (örneğin a_1a_2 ve b_1b_2), kalan iki kişi otomatik olarak son şehrin ikilisi oluyor. Toplamda 3 durum var.
- Üç şehir içi eşleşmesi yapan yalnız 1 durum var.
Kapsama–dışlamayla:
15\;-\;9\;+\;3\;-\;1\;=\;8.
Dolayısıyla doğru seçenek C) 8.
Soru: Üç farklı şehirden ikişer satranç oyuncusu bir turnuvada eşleştirildiğinde ilk turda kaç farklı eşleştirme yapılabilir?
Önemli Noktalar
- Toplam 3 şehir var, her şehirden 2 oyuncu
- Her oyuncu kendi şehrinden olmayan bir oyuncuyla eşleştirilmeli
- Her eşleştirme 2 oyuncu arasında yapılır
- Amaç, ilk tur için kaç farklı eşleştirme kombinasyonu olduğunu bulmak
Birinci turda eşleştirme sayısını hesaplamak için oyuncuları ve seçim kurallarını net belirlemeliyiz.
İçindekiler
- Problemin Anlaşılması
- Matematiksel Model ve Çözüm Adımları
- Eşleştirme Sayısının Hesaplanması
- Özet Tablo
- Sık Sorulan Sorular
Problemin Anlaşılması
Her şehirden 2 oyuncu var: Toplam 6 oyuncu.
Görev: İlk turda, her oyuncu kendi şehrinden olmayan bir oyuncu ile eşleşecek.
Örneğin:
- Şehir A’dan oyuncu A1, A2
- Şehir B’den oyuncu B1, B2
- Şehir C’den oyuncu C1, C2
Kurallar:
- A1 ve A2 kendi şehirlerinden oyuncularla eşleştirilemez (yani A1, A2 ile eşleşemez)
- Aynı şehirden oyuncular birbirleriyle eşleşemezler
- Her oyuncunun bir rakibi olmalı, toplam 3 maç (6 oyuncu / 2)
Bu eşleştirmeyi kaç farklı şekilde yapabiliriz?
Uyarı: Aynı oyuncuların yer değiştirmesi farklı eşleştirme sayılmaz, örneğin (A1-B1) ile (B1-A1) aynıdır.
Matematiksel Model ve Çözüm Adımları
Problemi, bir eşleme problemi (matching problem) olarak düşünüyoruz.
Her şehirden 2’şer oyuncu olduğu için:
- A = { A1, A2 }
- B = { B1, B2 }
- C = { C1, C2 }
Her oyuncu sadece diğer şehirlerin oyuncularıyla eşleşebilir.
Eşleme Olanağı:
| Oyuncu | Eşleşebileceği Oyuncular |
|---|---|
| A1, A2 | B1, B2, C1, C2 |
| B1, B2 | A1, A2, C1, C2 |
| C1, C2 | A1, A2, B1, B2 |
Ama maç bir çift oluşturduğundan toplam 3 maç olacak ve her maç bir oyuncuyu kapsar.
Mümkün eşleme sistemini adım adım ele alalım:
- A oyuncularına B veya C’den oyuncular seçilmeli
- Aynı şekilde B oyuncuları, A ve C’den oyuncu seçmeli ama daha önce seçilenleri saymamalıyız
Eşleştirme Sayısının Hesaplanması
Adım 1: A oyuncularının eşleşmeleri
- A1 4 oyuncu (B1, B2, C1, C2) içinden birini seçer
- A2 3 kalan oyuncu içinden birini seçer (biri A1’e seçilen oyuncu olduğu için)
Toplam mümkün seçimler = 4 × 3 = 12
Adım 2: A ile eşleşmeyen oyuncular eşleşir
A oyuncularıyla eşleşmeyen oyuncular: Toplam 6 oyuncu - 2 (A oyuncusu) - 2 (A’nın seçtiği rakipleri) = 2 oyuncu
Bu oyuncular karşılıklı eşleşir, yani seçim yok (1 şekilde).
Bu durumda toplam eşleşme 12 olacaktır. Fakat bazen bu seçimler birbirini bloke edebilir, o yüzden kombinasyon doğru hesaplanmalı.
Alternatif Daha Sistematik Yaklaşım:
Toplam 6 oyuncu, 3 maç
- Maçlar sadece farklı şehirlerden olabilir
- Her maç bir şehirden bir oyuncu ile başka şehirden bir oyuncu arasında
O halde maçları kombinasyonlar ile inceleyelim:
- A oyuncuları B oyuncularıyla mı eşleşiyor?
- A oyuncuları C oyuncularıyla mı eşleşiyor?
- B oyuncuları C oyuncularıyla mı eşleşiyor?
Olasılıklar (maçlar):
1. A-B eşleşmeleri sayısı
A’dan 2 oyuncu, B’den 2 oyuncu: Bu 2 maç olur.
Kalan 2 C oyuncusu kendi aralarında eşleşemez, hata.
2. A-C eşleşmeleri sayısı
A (2 oyuncu) ve C (2 oyuncu) eşleşir.
Kalan B(2 oyuncu) kendi aralarında eşleşemez, hata.
3. B-C eşleşmeleri sayısı
B (2) ve C (2) eşleşir.
A (2) aynı şehirden, eşleşemez.
Bu durumda her eşleşme grubundan biri mutlaka iki oyuncudan biri farklı (A-B, A-C, B-C) olması lazım. Bu nedenle maçlar:
- 1 maç A-B,
- 1 maç A-C,
- 1 maç B-C şeklinde olmalı.
Yani her maç farklı şehirlerin oyuncuları arasında olmalı. Bu eşleşme düzenine göre:
Her maç için:
- A oyuncusu B oyuncusu ile eşleşir, 2 × 2 = 4 kombinasyon
- A oyuncusu C oyuncusu ile eşleşir, 2 × 2 = 4 kombinasyon
- B oyuncusu C oyuncusu ile eşleşir, 2 × 2 = 4 kombinasyon
Ama seçilen oyuncular bir kere kullanılır, dolayısıyla detaylı hesaplama gerekir.
Sonuç olarak hesaplama şöyle:
- İlk maç: A’dan 1 oyuncu - B’den 1 oyuncu eşleşir → 2 x 2 = 4
- İkinci maç: A’dan kalan 1 oyuncu - C’den 1 oyuncu → 1 x 2 = 2
- Üçüncü maç: B’den kalan 1 oyuncu - C’den kalan 1 oyuncu →1 x 1 = 1
Toplam eşleşme sayısı: 4 × 2 × 1 = 8
Özet Tablo
| Adım | Açıklama | Hesaplama | Sonuç |
|---|---|---|---|
| 1 | A-B eşleşmeleri | 2 oyuncu x 2 oyuncu | 4 |
| 2 | A-C eşleşmeleri kalanlar ile | 1 oyuncu x 2 oyuncu | 2 |
| 3 | B-C kalanlar ile | 1 oyuncu x 1 oyuncu | 1 |
| Toplam | İlk tur eşleşmeler | 4 × 2 × 1 | 8 |
Sık Sorulan Sorular
1. Neden eşleşmeler karmaşık hesaplanıyor?
Çünkü eşleşmelerde her oyuncu sadece farklı şehirden bir oyuncuyla oynayabiliyor ve her oyuncu sadece bir maç yapabiliyor. Bu sınırlamalar kombinasyonları kısıtlıyor.
2. Seçilen oyuncuların yer değiştirmesi yeni bir eşleşme midir?
Hayır, (A1-B1) ile (B1-A1) eşleşmeleri aynıdır.
3. Problemdeki oyuncuların toplam sayısı neden önemli?
Toplam oyuncu sayısı ve dağılım, kaç maç yapılacağını ve hangi kombinasyonların mümkün olduğunu belirler.
4. Eşleşmeler sadece üç farklı şehir arasında nasıl ayarlanır?
Her maç farklı şehirlerden bir oyuncuyu içermeli, böylece 3 maç için 3 farklı şehirden rakipler eşleştirilmeli.
Sonraki Adımlar
Detaylı adımlarla eşleme problemlerini içeren başka örnek sorular ister misiniz?
Ya da benzer kombinasyon problemlerinde permutasyon ve kısıtlı seçim yöntemlerini açıklayayım mı?