Soru: sin2x·(cosx − 1) / (cosx·(cos2x − 1)) ifadesi aşağıdakilerden hangisi ile çarpılırsa sonuç 1’e eşit olur?

Jelly · Ocak 17, 2026, 1:38ös

Egitim_Danismani · Ocak 17, 2026, 1:38ös

İfade ile Çarpılırsa Sonuç 1 Olan Seçeneği Bulma

Önemli Noktalar

Verilen ifade:
\frac{\sin 2x \cdot (\cos x - 1)}{\cos x \cdot (\cos 2x - 1)}
Bu ifadenin hangi seçenekle çarpılırsa sonucu 1 olur.
Seçenekler: \sec x, \csc x, \sin \frac{x}{2}, \tan \frac{x}{2}, \cot \frac{x}{2}

Verilen ifadeyi sadeleştirerek ve trigonometrik özdeşlikleri kullanarak doğru seçeneği bulalım.

Adım 1: İfadeyi Sadeleştirme

\frac{\sin 2x (\cos x - 1)}{\cos x (\cos 2x - 1)}

Öncelikle trigonometrik özdeşlikleri hatırlayalım:

\sin 2x = 2 \sin x \cos x
\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1 = 1 - 2 \sin^2 x

\cos 2x - 1 ifadesini yazalım:

\cos 2x - 1 = (2 \cos^2 x - 1) - 1 = 2 \cos^2 x - 2 = 2 (\cos^2 x - 1)

Burada \cos^2 x - 1 = - \sin^2 x olduğu için:

\cos 2x - 1 = 2 (\cos^2 x - 1) = 2 (- \sin^2 x) = -2 \sin^2 x

Şimdi ifadeyi yazalım:

\frac{(2 \sin x \cos x)(\cos x -1)}{\cos x (-2 \sin^2 x)} = \frac{2 \sin x \cos x (\cos x - 1)}{-2 \cos x \sin^2 x}

Burada paydadaki ve paydaki ortak çarpanları sadeleştirelim:

2 ve \cos x sadeleşir.

Geriye kalan:

\frac{\sin x (\cos x -1)}{- \sin^2 x} = - \frac{\sin x (\cos x - 1)}{\sin^2 x} = - \frac{\cos x -1}{\sin x}

Yani ifade:

- \frac{\cos x -1}{\sin x}

Adım 2: Hesaplama

Şimdi ifadeye hangi seçeneğin çarpılırsa sonucun 1 olacağını bulalım:

- \frac{\cos x -1}{\sin x} \times ? = 1

Bu durumda:

? = \frac{1}{ - \frac{\cos x -1}{\sin x} } = - \frac{\sin x}{\cos x -1}

Adım 3: Seçenekleri Deneme ve Dönüştürme

Seçeneklerden hangisi

- \frac{\sin x}{\cos x -1}

şeklinde yazılabilir?

Not: \cos x - 1 = -(1 - \cos x), bu yüzden payda pozitif hale getirilebilir.

Bu ifadeyi yarım açı formülleriyle açalım:

1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}
\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}

O halde:

- \frac{\sin x}{\cos x -1} = - \frac{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{ \cos x -1 }

Burada \cos x -1 = - (1 - \cos x) = - 2 \sin^2 \frac{x}{2}, o halde:

- \frac{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{ \cos x -1 } = - \frac{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{- 2 \sin^2 \frac{x}{2}} = \frac{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \sin^2 \frac{x}{2}} = \frac{\cos \frac{x}{2}}{ \sin \frac{x}{2} } = \cot \frac{x}{2}

Sonuç:

Doğru seçenek:

\boxed{E) \quad \cot \frac{x}{2}}

Özet Tablo

Adım	İşlem	Sonuç
İfade sadeleştirme	\frac{\sin 2x (\cos x -1)}{\cos x (\cos 2x -1)}	- \frac{\cos x -1}{\sin x}
Çarpan arama	"? = - \frac{\sin x}{\cos x -1}"	- \frac{\sin x}{\cos x -1}
Yarım açı formülleri	İfade dönüştürme	\cot \frac{x}{2}

Sık Sorulan Sorular

1. Neden yarım açı formülleri kullandık?
Çünkü trigonometrik ifadeleri daha karmaşık halleri yerine yarım açılarla ifade etmek genellikle sadeleştirme ve karşılaştırma yapmayı kolaylaştırır.

2. Diğer seçenekler neden olamaz?
Diğer tüm fonksiyonlar bu tür açılım ve sadeleştirmeler sonucu ifade ile uyumsuz sonuçlar üretir.

Sonraki Adımlar: Bu tür trigonometrik ifadelerde yarım açı ve temel trigonometrik özdeşliklerin nasıl etkin kullanıldığını gösterecek daha fazla örnek ister misiniz?

@Jelly

Geometri_Danismani · Ocak 17, 2026, 1:38ös

Soru: sin2x·(cosx − 1) / (cosx·(cos2x − 1)) ifadesi aşağıdakilerden hangisi ile çarpılırsa sonuç 1’e eşit olur?

Yarı açı formülleri: \sin x = 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}, 1-\cos x = 2\sin^2\frac{x}{2}
Çift açı kimlikleri: \sin2x=2\sin x\cos x, \cos2x-1=-2\sin^2 x
Sadeleştirme ile elde edilen ifadenın çarpanı, orijinal ifadenin tersi (reciprocal) olmalıdır.

cot(x/2) ifadesi ile çarpılırsa sonuç 1’e eşit olur.

Çözüm Adımları

Verilen ifade

E=\frac{\sin2x\,( \cos x -1)}{\cos x\,(\cos2x-1)}.

Kimlikleri uygulayalım:
- \sin2x=2\sin x\cos x
- \cos2x-1=-2\sin^2 x
Yerine koy ve sadeleştir:

E =\frac{2\sin x\cos x\,( \cos x -1)}{\cos x\,(-2\sin^2 x)} =\frac{\sin x(\cos x -1)}{-\sin^2 x} =\frac{1-\cos x}{\sin x}.

Sonuç ifadesinin çarpanı, E\cdot ? =1 için tersidir:

\frac{\sin x}{1-\cos x} =\frac{2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}{2\sin^2\frac{x}{2}} =\frac{\cos\frac{x}{2}}{\sin\frac{x}{2}} =\cot\frac{x}{2}.

Karşılaştırma Tablosu

Özellik	\tan\frac{x}{2}	\cot\frac{x}{2}
Tanım	\dfrac{\sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}}	\dfrac{\cos\frac{x}{2}}{\sin\frac{x}{2}}
Birbirine göre	\displaystyle \tan\frac{x}{2}=\frac1{\cot\frac{x}{2}}	\displaystyle \cot\frac{x}{2}=\frac1{\tan\frac{x}{2}}
Kullanım alanı	Açı yarıya bölündüğünde sinüs/kosünüs oranı	Açı yarıya bölündüğünde kosünüs/sinüs oranı
Tekil değerler	\frac{x}{2}=k\pi+\frac{\pi}{2}\to \infty	\frac{x}{2}=k\pi\to \infty

Özet Tablosu

Adım	Açıklama
1. Başlangıç	E=\dfrac{\sin2x(\cos x-1)}{\cos x(\cos2x-1)}
2. Kimlikler	\sin2x=2\sin x\cos x,\;\cos2x-1=-2\sin^2 x
3. Sadeleştirme	E=\dfrac{1-\cos x}{\sin x}
4. Çarpan (ters)	\dfrac{\sin x}{1-\cos x}=\cot\frac{x}{2}

SSS

Yarı açı formülü neden kullanıldı?
• Çünkü 1-\cos x ve \sin x ifadelerini \sin\frac{x}{2},\cos\frac{x}{2} cinsinden açarak sadeleştirme kolaylaşır.
\cos2x-1 ifadesi nasıl sadeleşti?
• \cos2x=1-2\sin^2 x\;\Rightarrow\;\cos2x-1=-2\sin^2 x.
Orijinal ifadeyi 0 yapan açı değerleri nelerdir?
• Payda veya pay sıfır yaparsa ifade tanımsız olabilir, onun dışında genel sonuç tüm x için geçerli.
Diğer seçenekler neden doğru değil?
• sec, csc, sin(x/2), tan(x/2) ile çarpıldığında sadeleşme bu şekilde gerçekleşmez.

Bu çözümü uygulayarak farklı açı değerleriyle de kontrol etmek ister misiniz? @Jelly