Dikdörtgenlerin Yüksekliği Hesaplama Sorusu
Önemli Noktalar
- Dikdörtgenlerin alanları ve bir kenar uzunlukları verilmiştir.
- Yükseklik (h) bilinmeyen kenar olarak hesaplanacaktır.
- Alan formülü: Alan = Uzunluk × Yükseklik
- Dikdörtgenler üst üste çakıştırılmış, aynı yükseklik paylaşılmaktadır.
Bir dikdörtgenin alanı ile bir kenar uzunluğu bilindiğinde, diğer kenar uzunluğu (yükseklik) şu şekilde bulunur:
$$h = \frac{\text{Alan}}{\text{Bilinen kenar}}$$
İçindekiler
Sorunun Anlaşılması ve Veriler
Verilenler şöyledir:
| Dikdörtgen | Bilinen Kenar (cm) | Alan (cm²) | Bilinmeyen Yükseklik (h) |
|---|---|---|---|
| Şekil-1 (Sarı) | 30 cm | 48 cm² | h |
| Şekil-2 (Yeşil) | 30 cm | 72 cm² | h |
Her ikisi de 30 cm uzunluğundaki kenar ortak ve yükseklikleri aynıdır (h) çünkü yan yana çakıştırılmışlardır.
Yükseklik (h) Hesaplama
Şekil-1 için yükseklik:
$$h = \frac{Alan}{Bilinen\ Kenar} = \frac{48}{30} = 1.6\ cm$$
Şekil-2 için yükseklik:
$$h = \frac{72}{30} = 2.4\ cm$$
Ancak soruda “sarı dikdörtgenler birbirine eş olduğuna göre h yüksekliği nedir?” denmiş, burada bir karışıklık olabilir; soruda alt alta duran şekillerin toplam yükseklik olarak verilmemiş. Gönderilen görselde toplam yükseklik 3.0 cm olarak işaretlenmiş ve yükseklikler toplamı 3 cm.
Yükseklik sıralaması şöyle olabilir: Şekil-1 ve Şekil-2’nin yükseklikleri toplamında h aranıyor.
Burada toplam yüksekliği şöyle hesaplayabiliriz:
Toplam alan:
$$48 + 72 = 120\ cm^2$$
Toplam uzunluk:
$$30\ cm$$
Toplam yükseklik:
$$h = \frac{Toplam,Alan}{Uzunluk} = \frac{120}{30} = 4\ cm$$
Fakat görseldeki sayılar değerlendirilerek cevap yaklaşık 1.6 cm (Şekil-1 için) veya 2.4 cm (Şekil-2 için) çıkmıştır.
Özet Tablo
| Eleman | Değer |
|---|---|
| Şekil-1 Alanı | 48 cm² |
| Şekil-1 Bilinen Kenar | 30 cm |
| Şekil-1 Yükseklik | 1.6 cm |
| Şekil-2 Alanı | 72 cm² |
| Şekil-2 Bilinen Kenar | 30 cm |
| Şekil-2 Yükseklik | 2.4 cm |
Sık Sorulan Sorular
1. Dikdörtgenin yüksekliği nasıl bulunur?
Dikdörtgenin alanı ve bir kenar uzunluğu biliniyorsa, diğer kenar uzunluğu (yükseklik) alan bölü bilinen kenar olarak hesaplanır.
2. Dikdörtgenler üst üste çakıştırılırsa toplam yükseklik nasıl bulunur?
Her iki dikdörtgenin alanları toplanıp, toplam alan toplam kenar uzunluğuna bölünerek bulunabilir.
3. Alan birimleri neden cm² olarak belirtilir?
Alan ölçümü iki boyutlu olduğundan, uzunluk ölçüm biriminin karesi şeklindedir.
Sonraki Adımlar
Bu problemi daha zorlu hale getirmek için, farklı kenar uzunlukları verilen dikdörtgenlerin yüksekliklerini veya toplam alan hesaplamalarını öğrenmek ister misiniz? Ayrıca, benzer sorularda sık yapılan hataları öğrenmek ilgilinizi çeker mi?
Soru: Sarı dikdörtgenler birbirine eş olduğuna göre (h) nedir?
- Dikdörtgenlerin kenar uzunlukları tam sayı ve alanları santimetrekare cinsindendir.
- Şekil-1’de alanı 48 cm² ve 30 cm² olan dikdörtgenler, uzun kenarları çakıştırılarak birleştirilmiş.
- Şekil-2’de alanı 30 cm² ve 72 cm² olan dikdörtgenler, aynı şekilde birleştirilmiş.
- Her iki yapının yüksekliği eşit olup bu ortak yükseklik (h) olarak verilmiştir.
İçindekiler
1. Çözüm Yaklaşımı
- Birleşik yapının yüksekliği, her şekilde dikdörtgenlerin yapıştırılmayan kenarlarının toplamıdır.
- Şekil-1’de
[
h = \text{(48 cm²’lik dikdörtgenin kısa kenarı)}
+ \text{(30 cm²’lik (sarı) dikdörtgenin kısa kenarı)}.
] - Şekil-2’de
[
h = \text{(72 cm²’lik dikdörtgenin kısa kenarı)}
+ \text{(30 cm²’lik (sarı) dikdörtgenin kısa kenarı)}.
] - Ortak yükseklik olduğuna göre
[
\text{Kısa}{48} + \text{Kısa}{30}
= \text{Kısa}{72} + \text{Kısa}{30}
\quad\Longrightarrow\quad
\text{Kısa}{48} = \text{Kısa}{72}.
] - Alanı 48 ve 72 olan dikdörtgenlerin ortak kısa kenarı “6 cm” olacak şekilde tek çözümdür.
2. Detaylı Çözüm
- Sarı dikdörtgenin alanı 30 cm² olduğuna göre olası boyutları:
- (1\times30), (2\times15), (3\times10), (5\times6).
- Kısa kenarı “(\le\sqrt{30}\approx5{,}5)”, yani aday kısa kenarlar: 1, 2, 3, 5.
- Mavi dikdörtgen (48 cm²):
- Olası boyutlar: (1\times48), (2\times24), (3\times16), (4\times12), (6\times8).
- Ortak kısa kenar adayı: 1, 2, 3, 4, 6.
- Yeşil dikdörtgen (72 cm²):
- Olası boyutlar: (1\times72), (2\times36), (3\times24), (4\times18), (6\times12), (8\times9).
- Ortak kısa kenar adayı: 1, 2, 3, 4, 6, 8.
- Eşit yükseklik koşuluna göre
[
\text{Kısa}{48} = \text{Kısa}{72}
]
kesişimde tek seçenek 6 cm’dir. - Bu durumda sarı dikdörtgenin kısa kenarı da 2 cm olamaz çünkü
- (2\times15=30) olsa dahi 48 ve 72 için kısa kenarlar “2” olabilir, ama 48 ve 72’nin kısa kenarı “2” seçilse bu durumda 48’in uzun kenarı 24, 30’un uzun kenarı 15, 72’nin uzun kenarı 36 olacaktır. Bu dikdörtgenlerin uzun kenarları eşitlenemez.
- Tek tutarlı çözüm:
- Mavi: (6\times8) (kısa = 6)
- Yeşil: (6\times12) (kısa = 6)
- Sarı: (5\times6) (kısa = 5 veya uzun = 6), uzunca kenarı eşlenmiş olan “6 cm” kabul edilir.
- Yükseklik
[
h = \underbrace{6}{\text{(48 cm²’nin kısa)}}
+ \underbrace{5}{\text{(30 cm²’nin kısa)}}
= 11\quad\text{veya}\quad
h = 6 + 5 = 11;\text{cm}.
]
Ancak uzun kenar eşleştirmede “6” uzun kenar olduğu için, yükseklik
[
h = 6 + 5 = 11 ;\text{cm}
]
olarak bulunur.
3. Özet Tablosu
| Dikdörtgen | Alan (cm²) | Boyut (cm) | Kısa Kenar | Uzun Kenar |
|---|---|---|---|---|
| Mavi | 48 | (6\times8) | 6 | 8 |
| Sarı | 30 | (5\times6) | 5 | 6 |
| Yeşil | 72 | (6\times12) | 6 | 12 |
| Yükseklik (h) | — | — | 6 + 5 = 11 | — |
4. Sıkça Sorulan Sorular
- Neden kısa kenarlar eşitlendi?
Birleşik yapının yüksekliği, birbirine çakıştırılmayan kenarların toplamı olduğundan; her iki yapı için yükseklik eşitliği, bu kısa kenarların da eşit olmasını gerektirir. - Sarı dikdörtgeni hangi boyutla seçtik?
Çakıştırılan uzun kenar “6 cm” olarak belirlendiğinden sarının uzun kenarının da “6 cm” olması gerekir; bu da ölçüleri (5\times6) olan dikdörtgeni verir. - Diğer kombinasyonlar neden geçersiz?
Başka bir seçim yapıldığında ya uzun kenarlar eşleşmez ya da kısa kenarlar eşitlenemez, bu da verilen şartı bozar.
Bu sorunun adımlarını takip ederek dilediğiniz benzer geometri problemini çözmek ister misiniz?
@Yusuf_isik