Soru: Pozitif terimli $(an)$ geometrik dizide $a6 = a4 + 16$ ve $a8 = a4 + 25$. Ortak çarpan kaçtır?
Dizi13 Pozitif Terimli Geometrik Dizi Sorusu Çözümü
Önemli Noktalar
- Geometrik dizide her terim, bir önceki terimin ortak çarpanı r ile çarpılmasıyla bulunur.
- Terimler arası ilişkiler, verilen terimlerin indeksleri ve aralarındaki farkla kurulur.
- Pozitif terim ve verilen sabitlerle ortak çarpan r bulunabilir.
Geometrik dizide terimler genel olarak şöyle ifade edilir:
[ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} ]
Burada, (a_1) ilk terim, (r) ortak çarpan (rasyonel sayı) ve (n) terim indeksidir.
İçindekiler
Verilen Denklemlerin Çözümü
Soruda şöyle deniyor:
[
a_6 = a_4 + 16 \
a_8 = a_4 + 25
]
Geometrik dizide (a_n = a_1 r^{n-1}) olduğu için,
[
a_4 = a_1 r^3, \quad a_6 = a_1 r^5, \quad a_8 = a_1 r^7
]
Bu ifadeleri denklemlerde yerine koyalım:
[
a_1 r^5 = a_1 r^3 + 16 \
a_1 r^7 = a_1 r^3 + 25
]
Her iki denklemi (a_1 r^3) terimi üzerinden düzenleyelim:
[
a_1 r^3 (r^2 - 1) = 16 \quad \Rightarrow \quad a_1 r^3 (r^2 - 1) = 16 \tag{1}
]
[
a_1 r^3 (r^4 - 1) = 25 \quad \Rightarrow \quad a_1 r^3 (r^4 - 1) = 25 \tag{2}
]
Denklem (1) ve (2) cinsinden, (a_1 r^3) terimini karşılıklı bulalım.
Ortak Çarpanın Bulunması
Denklem (1)'den:
[
a_1 r^3 = \frac{16}{r^2 - 1}
]
Denklem (2)'de yerine koyarsak:
[
\frac{16}{r^2 - 1} \cdot (r^4 - 1) = 25 \
16 \cdot \frac{r^4 - 1}{r^2 - 1} = 25
]
Şimdi, kesri sadeleştirelim:
[
r^4 - 1 = (r^2 - 1)(r^2 + 1)
]
Böylece:
[
16 \cdot \frac{(r^2 - 1)(r^2 + 1)}{r^2 - 1} = 25 \
16 \cdot (r^2 + 1) = 25
]
Buradan:
[
16 r^2 + 16 = 25 \
16 r^2 = 9 \
r^2 = \frac{9}{16} \
r = \frac{3}{4} \quad (\text{Çünkü terimler pozitif})
]
Özet Tablo
| Adım | Hesaplama | Sonuç |
|---|---|---|
| Denklemden (a_6) ifadesi | (a_1 r^5 = a_1 r^3 + 16) | (a_1 r^3 (r^2 - 1) = 16) |
| Denklemden (a_8) ifadesi | (a_1 r^7 = a_1 r^3 + 25) | (a_1 r^3 (r^4 - 1) = 25) |
| Oranların sadeleştirilmesi | (\frac{r^4 - 1}{r^2 - 1} = r^2 + 1) | |
| Sonuç | (16(r^2 + 1) = 25) | (r = \frac{3}{4}) (pozitif) |
Sık Sorulan Sorular
1. Geometrik dizide ortak çarpan nasıl bulunur?
Ortak çarpan (r), terimler arasındaki oran olarak bulunur. İki terim arasındaki kuvvet farkı hesaplanır ve (r) için denklemler kurularak çözülür.
2. Pozitif terim şartı neden önemli?
Pozitif terim şartı (r) değerinin pozitif kök olduğunu garanti eder. Böylece negatif olan kökler elenir.
3. Eğer terimler negatif olsaydı (r) nasıl seçilirdi?
Negatif olabilir durumlarda (r) değeri hem pozitif hem negatif olabilir; problem bağlamında uygun olan seçilir.
Sonraki Adımlar
Bu soruda kullanılan geometrik dizi tekniklerini derinleştirmek için “Geometrik Dizi Genel Terim Bulma” veya “Geometrik Dizide İki Terim Arasındaki İlişkiler” şeklinde başka sorulara bakmak ister misiniz?
Soru: Pozitif terimli (a_n) geometrik dizide a_6 = a_4 + 16 ve a_8 = a_4 + 25. Ortak çarpan kaçtır?
Önemli Noktalar
- Geometrik dizide her terim a_n = a_1\,r^{\,n-1} formülüyle bulunur.
- a_6 = a_4\,r^2 ve a_8 = a_4\,r^4 bağıntıları kullanılır.
- Pozitif terimli ve pozitif ortak çarpanlı dizide r>0 alınır.
Geometrik dizinin ortak çarpanı $$r = \tfrac{3}{4}$$ tür.
İçindekiler
Çözüm Adımları
- Genel terim formülünden
$$a_6 = a_4,r^2,\quad a_8 = a_4,r^4.$$ - Verilen eşitlikleri yazalım:\begin{cases} a_6 = a_4 + 16 \implies a_4\,(r^2 - 1) = 16,\\ a_8 = a_4 + 25 \implies a_4\,(r^4 - 1) = 25. \end{cases}
- İkinci ifadede r^4 - 1 = (r^2-1)(r^2+1) olduğundana_4\,(r^2-1)(r^2+1) = 25 \quad\text{ve}\quad a_4\,(r^2-1) = 16.
- İkinci denklemi birinciye böl:\frac{a_4\,(r^2-1)(r^2+1)}{a_4\,(r^2-1)} = \frac{25}{16} \;\Longrightarrow\; r^2 + 1 = \frac{25}{16} \;\Longrightarrow\; r^2 = \frac{9}{16}.
- r>0 olduğundan $$r = \tfrac{3}{4}.$$
Karşılaştırmalı Tablo: r>1 vs. 0<r<1
| Özellik | r>1 | 0<r<1 |
|---|---|---|
| Terimlerin davranışı | Artan serbest yükseliş | Azalan serbest çöküş |
| Örnek r^n büyüklüğü | r^n\to\infty | r^n\to 0 |
| Uygulama | Bileşik faiz, nüfus artışı | Radyoaktif bozunma, soğuma yasası |
Özet Tablosu
| Adım | İfade | Sonuç |
|---|---|---|
| Genel terim | a_n = a_1\,r^{n-1} | – |
| a_6 ve a_4 bağıntısı | a_6 = a_4\,r^2 | – |
| Dengeleme | a_4\,(r^2-1)=16, a_4\,(r^4-1)=25 | – |
| Bölme işlemi | (r^4-1)/(r^2-1)=25/16 | r^2+1=25/16 |
| Çözüm | r^2=9/16\;\Rightarrow\;r=3/4 | 3/4 |
SSS
S1: Geometrik dizide ortak çarpan nasıl tanımlanır?
C1: Her terim bir öncekine r ile çarpılarak bulunursa dizinin ortak çarpanı $r$’dir.
S2: Negatif r alabilir miyiz?
C2: Terimler pozitif ise r>0 alınır; işaret değişimi yoktur.
S3: Eğer a_n terimleri bilinmeyen genel terime göre sorulursa ne yapmalı?
C3: a_n = a_1\,r^{n-1} formülünü ve verilen indeksleri kullanarak denklem kurun.
S4: Alternatif çözüm yöntemi var mı?
C4: Eşitlikleri doğrudan r^2 ve r^4 ifadelerine indirgemek de mümkündür.
Bu konuyu pekiştirmek için 3 adet pratik soru ister misiniz?
@Abdurrahman2134