Soru: Oturma odası için alanı 18 m² ve çevresi 18 m olan dikdörtgen halının kenar uzunlukları nelerdir?
- Alan formülü: A = a \times b
- Çevre formülü: P = 2\,(a + b)
- İki bilinmeyenli denklem oluşturulduğunda ortaya çıkan ikinci derece denklemin kökleri
Alan 18 m² ve çevresi 18 m olan dikdörtgenin kenar uzunlukları 3 m ve 6 m’dir.
İçindekiler
Çözüm Adımları
- Kenar uzunlukları a ve b olmak üzere:
- Alan ab = 18
- Çevre 2(a + b) = 18 \;\Rightarrow\; a + b = 9
- b = 9 - a ifadesini alana yerine yazın:a\,(9 - a) = 18
- Denklem düzenlenince:-a^2 + 9a - 18 = 0 \quad\Longrightarrow\quad a^2 - 9a + 18 = 0
- Diskriminant: \Delta = 9^2 - 4\cdot1\cdot18 = 81 - 72 = 9a = \frac{9 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{9 \pm 3}{2} \;\Rightarrow\; a = 6 \text{ veya } a = 3Buna göre (a,b) = (6,3) veya (3,6).
Özet Tablosu
| Kenar a (m) | Kenar b (m) | Alan (m²) | Çevre (m) |
|---|---|---|---|
| 3 | 6 | 18 | 18 |
| 6 | 3 | 18 | 18 |
SSS
- Neden kare olamaz?
Kare için a=b olmalı; bu durumda 2\times a=9\Rightarrow a=4{,}5 ve alan 20{,}25 m² olur, yani istenen 18 m² sağlanmaz. - Başka pozitif çözüm var mı?
Hayır, ikinci derece denklem en fazla iki kök verir ve pozitif çözümler 3 ile 6’dır. - Alan ve çevre sabitken farklı dikdörtgen var mı?
Sabit alan ve çevre koşullarını sağlayan tek dikdörtgen boyutları 3×6’dır (ve tersi).
Dinamik matematik yazılımında bu iki modeli çizmek ister misiniz? @Zeynep_Vurhan
Resimli Soru 13-01-2026 19:41:14 Çözümü
Önemli Noktalar
- Alanı 18 metrekare olan ve çevre uzunluğu 18 metre olan dikdörtgen şeklinde halı tasarlanacak
- Halının eni ve boyu bilinmeyen, bu iki bilinmeyen için denklemler kurmak gerekiyor
- Alan ve çevre formülleri üzerinden çözüm yapılacak
Dikdörtgen halının alanı A = en × boy ve çevresi C = 2(en + boy) formülleriyle hesaplanır. Burada:
- A = 18 metrekare
- C = 18 metre
Buna göre bilinmeyenleri bulmak için:
- Alan denklemi:en \times boy = 18
- Çevre denklemi:2(en + boy) = 18 \Rightarrow en + boy = 9
Bu sistemde en ve boy değişkenlerini ayrı ayrı bulabilirsiniz.
İçindekiler
- Denklem Kurulumu
- Denklemlerin Çözümü
- Karşılaştırma Tablosu: Alan ve Çevre Formülleri
- Özet Tablo
- Sık Sorulan Sorular
Denklem Kurulumu
Dikdörtgen halının eni x ve boyu y olsun.
- Alan = 18 metrekare →x \times y = 18
- Çevre = 18 metre →2(x + y) = 18 \Rightarrow x + y = 9
Bu iki denklemi kullanarak x ve y’yi bulun.
Pro Tip: İkinci denklemden bir değişkeni diğerine bağlı olarak yazmak işlemi kolaylaştırır. Örneğin:
y = 9 - x
Denklemlerin Çözümü
-
İlk denklemi hatırlayalım:
x \times y = 18 -
y’yi ikinci denklemden yerine koyun:
x \times (9 - x) = 18 -
İşlemi açalım:
9x - x^2 = 18 -
Denklemi standart şekle getirelim:
-x^2 + 9x - 18 = 0veya
$$ x^2 - 9x + 18 = 0 $$ (her tarafı -1 ile çarparak) -
Bu ikinci derece denklemi çözelim:
x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 72}}{2} = \frac{9 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{9 \pm 3}{2} -
İki kök bulunur:
-
x = \frac{9 + 3}{2} = 6
-
x = \frac{9 - 3}{2} = 3
-
-
y değerleri:
- y = 9 - 6 = 3
- y = 9 - 3 = 6
Sonuç olarak, halının kenar uzunlukları 3 metre ve 6 metre olabilir.
Uyarı: Halının eni ve boyu yer değiştirmiş olabilir, hangisi kısa hangisi uzun olduğu önemlidir.
Karşılaştırma Tablosu: Alan ve Çevre İlişkisi
| Özellik | Formül | Örnek Değer |
|---|---|---|
| Alan (A) | x \times y | 18 m² |
| Çevre (C) | 2(x + y) | 18 m |
| Alan Denklem | xy = 18 | 3 \times 6 = 18 |
| Çevre Denklem | 2(x + y) = 18 \Rightarrow x + y = 9 | 3 + 6 = 9 |
Anahtar Nokta: Alan ve çevre sabit tutulduğunda, dikdörtgenin eni ve boyu kutuplaşabilir (örneğin 3x6 ya da 6x3).
Özet Tablo
| Eleman | Detay |
|---|---|
| Alan | 18 m² |
| Çevre | 18 m |
| Denklem 1 | xy=18 |
| Denklem 2 | 2(x+y)=18 → x+y=9 |
| Çözüm | x=3 veya 6, y=6 veya 3 |
| Halının Kenarları | 3 metre ve 6 metre |
Sık Sorulan Sorular
1. Bu soru ne tür matematik konusu kapsamına girer?
Denklem kurulumu ve çözümü ile dikdörtgenin alan ve çevresi arasındaki ilişkiyi içerir. Genel olarak geoemtri ve cebir konularına bağlıdır.
2. Farklı alan ve çevre değerleri verildiğinde nasıl çözüm yapılır?
Aynı yöntemle denklemler kurulur, ancak her zaman çözüm çiftleri pozitif olmayabilir. Mutlak değer ve pratik sınırlar göz önüne alınmalıdır.
3. Bu problemi grafikle göstermek mümkün mü?
Evet, y= \frac{18}{x} ve y = 9-x grafiklerini çizerek kesişim noktalarını görsel olarak da bulabilirsiniz.
Sonraki Adımlar
Hesaplamayı kolaylaştıran grafik çizimi veya bu tür geometrik düzlemde farklı şekiller için (örneğin kare vs dikdörtgen) çözüm farklarını anlamak ister misiniz?