Soru: n pozitif tam sayıları için, ℝ reel sayılar kümesinin

YKS TYT
1

image
image720×960 38.9 KB

2

Kesişim Kümesi Sorusu Çözümü

Önemli Noktalar

  • Verilen A_n = \left\{ x \in \mathbb{R} : \frac{(-1)^n}{n} < x < \frac{2}{n} \right\} aralıklarından A_1, A_2, A_3 kesişimi isteniyor
  • Her n pozitif tam sayısı için aralıklar gerçek sayılar üzerinde tanımlı
  • Kesişim A_1 \cap A_2 \cap A_3 aralığı, tüm aralıkların ortak sınırlarıdır

İçindekiler

  1. Verilen Aralıkların İncelenmesi
  2. Kesişim Aralığının Belirlenmesi
  3. Sonucun Karşılaştırması ve Seçimi

Verilen Aralıkların İncelenmesi

  • A_n = \{ x \in \mathbb{R} : \frac{(-1)^n}{n} < x < \frac{2}{n} \}
  • n pozitif tam sayı, n = 1,2,3 için ayrı ayrı yazalım:
n Alt Sınır \frac{(-1)^n}{n} Üst Sınır \frac{2}{n}
1 \frac{(-1)^1}{1} = -1 2
2 \frac{(-1)^2}{2} = \frac{1}{2} 1
3 \frac{(-1)^3}{3} = -\frac{1}{3} \frac{2}{3}

Yani:

  • A_1 = (-1, 2)
  • A_2 = \left(\frac{1}{2}, 1\right)
  • A_3 = \left(-\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right)

Kesişim Aralığının Belirlenmesi

  • Kesişim: A_1 \cap A_2 \cap A_3 , yani tüm aralıkların ortak kısmı
  • A_1 = (-1, 2) en geniş aralık, diğerlerinin içinde
  • Kesişim için en geniş alt sınır \max\{-1, \frac{1}{2}, -\frac{1}{3}\} = \frac{1}{2}
  • Kesişim için en geniş üst sınır \min\{2, 1, \frac{2}{3}\} = \frac{2}{3}

Böylece:

A_1 \cap A_2 \cap A_3 = \left( \frac{1}{2}, \frac{2}{3} \right)

Sonucun Karşılaştırması ve Seçimi

Şıklara bakarsak:

  • A) \left(\frac{1}{2}, \frac{2}{3}\right) — Doğru seçenek
  • B) \left(\frac{1}{2}, 2\right) — Yanlış (üst sınır çok geniş)
  • C) \left(-\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right) — Yanlış (alt sınır çok düşük)
  • D) \left(-\frac{1}{3}, 1\right) — Yanlış (alt sınır çok düşük, üst sınır çok geniş)
  • E) \left(-1, \frac{2}{3}\right) — Yanlış (çok geniş aralık)

Özet Tablo

Aralık Alt Sınır Üst Sınır
A_1 -1 2
A_2 1/2 1
A_3 -1/3 2/3
Kesişim 1/2 2/3

Sık Sorulan Sorular

1. Kesişim aralığı nasıl hesaplanır?
Kesişim, tüm kümelerin ortak elemanlarını içerir. Aralıkların kesişimi için alt sınırların maksimumu, üst sınırların ise minimumu alınır.

2. (-) işaretli kesirler nasıl değerlendirilir?
Negatif kesir sayıları negatif küçüktür; büyüklük karşılaştırmasında dikkatli olunmalıdır.

3. Kesişim boş kümeyi verebilir mi?
Evet, eğer aralıklar birbirini kapsamazsa kesişim boş küme olur.

Sonraki Adımlar

Benzer A_n aralıklarının genel kesişimini veya birleşimini matematiksel olarak nasıl bulabileceğinizi anlatmamı ister misiniz?
Ya da aralıklar ve kümeler konusuyla ilgili daha fazla örnek çözüm ister misiniz?

@Aysegul_Huzmeli

3

Soru: n pozitif tam sayıları için, ℝ reel sayılar kümesinin

A_n = \{\,x\in\mathbb{R}:\frac{(-1)^n}{n}<x<\frac{2}{n}\}

alt kümeleri tanımlanıyor. Buna göre,

A_1\cap A_2\cap A_3

kesişim kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?

  • A) \bigl(\tfrac12,\tfrac23\bigr)
  • B) \bigl(\tfrac12,2\bigr)
  • C) \bigl(-\tfrac13,\tfrac23\bigr)
  • D) \bigl(-\tfrac13,1\bigr)
  • E) \bigl(-1,\tfrac23\bigr)

Önemli Noktalar

  • A_1=(\,-1,2)
  • A_2=(\tfrac12,1)
  • A_3=(-\tfrac13,\tfrac23)
  • Kesişimde alt sınır en büyük alt sınır, üst sınır en küçük üst sınır alınır.
  1. İçindekiler
  2. Derinlemesine İnceleme
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

İçindekiler

  1. An kümelerinin belirlenmesi
  2. Kesişim kuralları
  3. Sonucun bulunması
  4. Özet Tablosu
  5. SSS

Derinlemesine İnceleme

  1. A1, A2, A3 aralıkları
    • A_1=\bigl(\frac{(-1)^1}{1},\frac{2}{1}\bigr)=(-1,2)
    • A_2=\bigl(\frac{(-1)^2}{2},\frac{2}{2}\bigr)=(\tfrac12,1)
    • A_3=\bigl(\frac{(-1)^3}{3},\frac{2}{3}\bigr)=(-\tfrac13,\tfrac23)
  2. Kesişim için
    • Alt sınır: \max\{-1,\tfrac12,-\tfrac13\}=\tfrac12
    • Üst sınır: \min\{2,1,\tfrac23\}=\tfrac23

Karşılaştırma Tablosu

Küme Alt sınır Üst sınır
A_1 -1 2
A_2 +\tfrac12 1
A_3 -\tfrac13 +\tfrac23

Kesin Aralık: \bigl(\tfrac12,\tfrac23\bigr)

Özet Tablosu

Adım İşlem Sonuç
1. A_1 (-1,2)
2. A_2 (\tfrac12,1)
3. A_3 (-\tfrac13,\tfrac23)
4. Kesişim (\max{\rm alt},\min{\rm üst}) (\tfrac12,\tfrac23)

SSS

  1. An tanımında (-1)^n ifadesi ne zaman pozitif olur?
  2. İki aralığın kesişimi nasıl bulunur?
  3. \max ve \min işlemlerinin rolleri nelerdir?
  4. Eğer n=4 için A_4 aralığı nasıl yazılır?

Kesişim sonucu (A şıkkı) (\tfrac12,\tfrac23).

Anlayışınızı pekiştirmek için benzer bir kesişim problemi çözmek ister misiniz?
@Aysegul_Huzmeli