Soru: n bir doğal sayı olmak üzere $2^6 + 1 < n^3 < 2^{15} + 1$ eşitsizliğini sağlayan kaç farklı n doğal sayısı vardır?

LİSE 12.Sınıf Matematik
1

17700577545361833945187907284666
17700577545361833945187907284666720×960 21.9 KB

2

n İçin Verilen Eşitsizliği Sağlayan Doğal Sayıların Sayısı

Önemli Noktalar

  • Eşitsizlik: 2^6 + 1 < n^3 < 2^{15} + 1
  • Üst ve alt sınırları uygun şekilde sadeleştirip, n aralığını bulmalıyız
  • Bu eşitsizliği sağlayan n doğal sayılarının sayısı hesaplanacak

Eşitsizlikte verilen:

2^6 + 1 < n^3 < 2^{15} + 1

Buradan:

64 + 1 < n^3 < 32768 + 1
65 < n^3 < 32769

Şimdi her iki tarafın küp kökünü alalım:

  • n^3 > 65 \Rightarrow n > \sqrt[3]{65}
  • n^3 < 32769 \Rightarrow n < \sqrt[3]{32769}

Yaklaşık değerlerle:

  • \sqrt[3]{65} \approx 4.02
  • \sqrt[3]{32769} \approx 32 (Çünkü 32^3 = 32768)

Yani:

4.02 < n < 32

Burada n doğal sayı olduğuna göre:
n = 5, 6, 7, \dots, 31

Toplam kaç sayı?
31 - 5 + 1 = 27 tane

Cevap: E şıkkı, 27

İçindekiler

  1. Verilen Eşitsizliğin Analizi
  2. Küp Kök Hesaplama
  3. Doğal Sayıların Sayısının Hesaplanması
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

1. Verilen Eşitsizliğin Analizi

Verilen eşitsizliği sadeleştirmek için üs ifadelerini açtık:

  • 2^6 = 64, 2^{15} = 32768

Bu sayıları yerine yazdığımızda eşitsizlik:

65 < n^3 < 32769

:light_bulb: Pro Tip: Üsleri kesin sayılara çevirmek eşitsizlik çözümünü kolaylaştırır.

2. Küp Kök Hesaplama

Eşitsizliği sağlamak için küp kök alınır:

\sqrt[3]{65} < n < \sqrt[3]{32769}

Yaklaşık değerler:

  • \sqrt[3]{65} \approx 4.02
  • \sqrt[3]{32769} \approx 32 (Çünkü tam küp sayılara yakın)

Sonuç: n 4.02 ile 32 arasında olmalıdır.

3. Doğal Sayıların Sayısının Hesaplanması

n doğal sayı olduğundan değerler:

5, 6, 7, \dots, 31

Aradaki sayılar:

31 - 5 + 1 = 27

Bu, eşitsizliği sağlayan doğal sayı adedidir.

:warning: Uyarı: n=4 ve n=32 eşitsizliği sağlamaz çünkü sınır değerlerde eşitsizlik eşitlik halindedir.

Özet Tablo

Adım İşlem Sonuç
Eşitsizliği sadeleştir 2^6+1 < n^3 < 2^{15}+1 65 < n^3 < 32769
Küp kök alın \sqrt[3]{65} < n < \sqrt[3]{32769} 4.02 < n < 32
Aralıkta doğal sayılar 5, 6, …, 31 27 sayı

Sık Sorulan Sorular

1. Neden eşitliklerin sınırları dahil edilmedi?
Çünkü eşitsizlikte “<” işaretleri kullanılmış ve eşitlik hali verilmemiştir, bu yüzden sınırdaki değerler dahil edilmez.

2. Üsler neden tam sayılarla yazıldı?
Çözümü kolaylaştırmak için 2^6=64 ve 2^{15}=32768 sayıları kullanıldı.

3. Sonucu nasıl tam sayı yaptık?
Küp kök sonucu yaklaşık değerlerle bulunur, doğal sayılar için aralıkta kaç tam sayı olduğunu bulduk.

4. n sadece pozitif doğal sayıdır, peki 0 dahil mi?
Hayır, 0 değerine doğal sayı denmez burada çünkü n^3 > 65 gerekiyor.

Sonraki Adımlar

Başka bir n ile üstel eşitsizlik probleminde adım adım çözüm ister misiniz? Yoksa bu tip sorularda küp kök ve sınır kavramlarını örneklerle göstereyim mi?

@Busra_Yaman

3

Soru: n bir doğal sayı olmak üzere 2^6 + 1 < n^3 < 2^{15} + 1 eşitsizliğini sağlayan kaç farklı n doğal sayısı vardır?

  • 2^6 + 1 = 65 ve 2^{15} + 1 = 32\,769
  • n^3 değerini sınırlandırarak küpkök hesaplaması yapılır
  • Bulunan aralıkta tam sayılar sayılarak sonuç elde edilir

Eşitsizliği sağlayan doğal sayı sayısı 28’dir.

İçindekiler

  1. Çözüm Adımları
  2. Özet Tablosu
  3. SSS

Çözüm Adımları

  1. Verilenleri hesaplayalım:

    • 2^6 + 1 = 64 + 1 = 65
    • 2^{15} + 1 = 32\,768 + 1 = 32\,769

  2. Eşitsizlik şu hâle gelir:

65 < n^3 < 32\,769

  1. Her iki tarafın küp kökünü alalım:

    • \sqrt[3]{65} \approx 4{,}02 \quad\Rightarrow\quad n > 4{,}02
    • \sqrt[3]{32\,769} \approx 32{,}00\!6 \quad\Rightarrow\quad n < 32{,}00\!6

  2. n doğal sayı olduğuna göre n en küçüğü 5, en büyüğü 32 olabilir.

  3. Toplam terim sayısı: 32 - 5 + 1 = 28.

Özet Tablosu

Alt Sınır Üst Sınır Geçerli n aralığı Eleman Sayısı
2^6 + 1 = 65 2^{15} + 1 = 32\,769 5 \le n \le 32 28

SSS

S1. Eşitsizlikte neden eşitlik hakkı verilmedi?
Cevap: “<” işareti, sınır değerleri dışlar. Soruda “<” kullanıldığı için n^3=65 ve n^3=32\,769 alınamaz.

S2. Başka üslerle benzer çözüm adımları uygulanabilir mi?
Cevap: Evet. a < n^k < b formunda küpkök yerine k-inci kök alarak aynı mantıkla çözülür.

S3. Kök hesaplamada yaklaşık değer nasıl bulunur?
Cevap: Hesap makinesi veya tam küpleri (örneğin 4^3=64, 5^3=125) referans alarak yakın değer bulunur.

S4. Doğal sayı aralığını sayarken formül nedir?
Cevap: Eğer m \le n \le M ise eleman sayısı M - m + 1 formülüyle hesaplanır.

Başka bir küp içeren eşitsizlik problemi çözmek ister misin?
@Busra_Yaman