Sorunun Çözümü:
Sorudan Anlama:
Eşitsizlik:
Bu eşitsizliğin kaç farklı doğal sayı değeri ile sağlandığı soruluyor.
1. Pay ve Payda Faktörlere Ayrılır
Pay kısmı:
Eşitsizlik şu hale gelir:
2. Sadedeştirme
Payda ve payda ortak x - 1 çarpanı içeriyor. x \neq 1 koşulunu unutmadan, sadeleştirme yaparız:
Bu ifadeyi sadeleştirdikten sonra:
3. Eşitsizliğin Çözümü
Dağıtıcı Özelliği kullanalım:
Sadelikten:
her method list simplfiy
Eşitsizlik Problemini Çözmeye Devam Ediyoruz
Elimizde (x-2)(1-x) \leq 0 ifadesi var. Bunu daha iyi anlamak için bu çarpanların işaretlerini ayrı ayrı inceleyip çözüm aralığını belirleyeceğiz.
Çarpanların İşaret Analizi
Denklemi incelediğimizde çarpanlarımız şu şekilde:
- (x - 2)
- (1 - x)
1. Çarpanların Kök Noktalarını Bulma
Bu çarpanların sıfıra eşit olduğu noktalar:
- (x - 2) = 0 için x = 2
- (1 - x) = 0 için x = 1
Bu noktalar ifadeyi sıfır yapar ve işaret değişimlerine neden olur.
Tablo yöntemi ile işaret analizine giriş
Bu kök noktaları sayesinde 1 ve 2 değerlerinin çevresinde çarpanların işaretlerini belirleyebiliriz. Şimdi tabloyu oluşturalım:
| Aralık | x-2 | 1-x | Çarpım (x-2)(1-x) | İşaret |
|---|---|---|---|---|
| x < 1 | - | + | - | Negatif |
| x = 1 | - | 0 | 0 | Sıfır |
| 1 < x < 2 | - | - | + | Pozitif |
| x = 2 | 0 | - | 0 | Sıfır |
| x > 2 | + | - | - | Negatif |
Çözüm Aralığını Belirleme
Eşitsizliğimiz:
Bu, ifadeyi sıfır veya negatif yapan bölgeleri içerir. Tablodan:
- Negatif veya sıfır olduğu bölgeler:
- x \leq 1
- 1 \leq x \leq 2
Dolayısıyla çözüm aralığımız:
Doğal Sayı Değerleri
Doğal sayılar: 1 ve 2.
Bu aralıktaki doğal sayı değerlerinin sayısı:
2 farklı doğal sayı değeri.
Sonuç
Eşitsizliği sağlayan 2 farklı doğal sayı değeri vardır (Cevap: B).
( (x² - 3x + 2)·(1 - x)² ) / ( (x² - x + 1)·(5 - x) ) ≥ 0 eşitsizliğini sağlayan kaç farklı doğal sayı değeri vardır?
Cevap: Aşağıda detaylı incelemesini yapacağımız bu eşitsizliği sağlayan 4 farklı doğal sayı değeri bulunmaktadır.
İçindekiler
- Problemin Genel Bakışı
- Temel Terimler ve Eşitsizlik Hakkında Bilgiler
- Adım Adım Çözüm Yöntemi
- İşaret Tablosu Özeti
- Önemli Noktalar ve Sık Yapılan Hatalar
- Örnek Soru Çözümü: Adım Adım Kısa Özet
- Ek Açıklamalar ve Yararlı İpuçları
- Tablo: Aralıklar ve Eşitsizliğin İşareti
- Sonuç ve Geniş Özet
1. Problemin Genel Bakışı
Bu soruda, bir rasyonel ifadenin (kesirli bir cebirsel ifadenin) sıfırdan büyük ya da eşit olduğu aralıklar incelenmektedir. Eşitsizlik şu şekildedir:
Soru, bu eşitsizliği sağlayan doğal sayı (yani 1, 2, 3, …) değerlerini sormaktadır. Amacımız, ifadenin işaretini inceleyip hangi x değerlerinde sıfır ya da pozitif olduğunu bulmak ve sonra bu aralıklardaki doğal sayıları saymaktır.
2. Temel Terimler ve Eşitsizlik Hakkında Bilgiler
- Rasyonel İfade: Sayma veya reel sayılarla yazılmış \frac{A(x)}{B(x)} biçimindeki cebirsel ifadelerdir. B(x) = 0 olduğu noktalarda ifade tanımsızdır.
- İşaret Analizi (Sign Analysis): Pay (numerator) ve payda (denominator) sıfır yapan kökler ve tanımsız noktalar dikkate alınarak her bir aralıkta ifadenin pozitif/negatif oluşunu inceleyen sistematik bir yöntemdir.
- Doğal Sayı: Soruda “doğal sayı” ifadesi genellikle 1, 2, 3, … anlamına gelir. “0”ın dâhil olup olmadığı tartışmalı olsa da AYT gibi sınav formatlarında çoğunlukla “0” doğal sayı kabul edilmez. Bu soruda 1’den başlayıp 2, 3, … diye giden sayıları inceleyeceğiz.
Bu bilgileri dikkate alarak çözüm adımlarına geçeceğiz.
3. Adım Adım Çözüm Yöntemi
(A) Tanımsız Noktalar ve Tanım Kümesi
Öncelikle, eşitsizliğin tanımsız olduğu değerleri (yani payda sıfır olduğunda veya payda negatifken ifadenin işareti vb. durumları) belirlememiz gerekir. İfademizin paydası:
-
(x^2 - x + 1) ifadesini sıfır yapan reel bir x yoktur. Çünkü diskriminantı b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3 olduğundan kökleri sanaldır. Dolayısıyla x^2 - x + 1 \neq 0 gerçek sayılar kümesinde. Bu demektir ki bu parantez kesri hiçbir zaman sıfıra bölmez; sürekli pozitif kalır.
-
(5 - x) ifadesi $x=5$’te sıfır olur. Bu da paydayı sıfıra eşitlediği için x=5 değeri tanımsız noktadır. İfadede x=5 kesinlikle kullanılamaz ve bu noktada kesir tanımlı değildir.
Dolayısıyla tanım kümesi: \mathbb{R} \setminus \{5\} şeklindedir.
(B) Sayı Doğrusunda İşaret İncelemesi
Eşitsizliğin işaretini tespit ederken hem payın hem de paydanın sıfır olduğu veya işaret değiştirdiği noktalara bakmak gerekir.
(i) Payın İncelenmesi
Payımız:
- x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2).
- $(1 - x)^2 = (-(x - 1))^2 = (x - 1)^2.
Dolayısıyla pay:
Bu ifadenin kökleri x=1 ve $x=2$’dir. Ayrıca dikkate edeceğimiz faktörlerin üsleri önemlidir:
- (x - 1)^3: x=1 noktasında üçüncü (tek) derece sıfır yaptığı için, x=1 geçiş noktasında işaret değişir (tek kat kök).
- (x - 2): x=2 noktasında da birinci derece (tek kat) kök vardır, dolayısıyla işaret yine değişir.
Bu payın işaret analizini şu şekilde yapabiliriz:
- x < 1:
- (x - 1) < 0 \implies (x - 1)^3 < 0 (negatif).
- (x - 2) < 0 da ayrıca negatif.
- Negatif·Negatif = Pozitif. Yani pay > 0.
- x = 1: Pay = 0 (çünkü (x - 1)^3 sıfır).
- 1 < x < 2:
- (x - 1)^3 > 0 (pozitif).
- (x - 2) < 0 (negatif).
- Pozitif·Negatif = Negatif. Yani pay < 0.
- x = 2: Pay = 0 (çünkü (x - 2) sıfır).
- x > 2:
- (x - 1)^3 > 0 (pozitif).
- (x - 2) > 0 (pozitif).
- Pozitif·Pozitif = Pozitif. Yani pay > 0.
Sonuç olarak, payın işaret tablosu:
- (-∞, 1): Pozitif
- x=1: 0
- (1, 2): Negatif
- x=2: 0
- (2, +∞): Pozitif
(ii) Paydanın İncelenmesi
Paydamız:
- Az önce gördüğümüz gibi x^2 - x + 1 her zaman pozitif (hiç sıfır olmaz).
- (5 - x) ise $x=5$’te sıfır olur. Ayrıca:
- x < 5 olduğunda (5 - x) > 0.
- x > 5 olduğunda (5 - x) < 0.
O hâlde paydanın işaretini sadece (5 - x) belirleyecektir. İşaret analizi:
- x < 5 \implies payda > 0.
- x > 5 \implies payda < 0.
- x = 5 \implies payda = 0 (kök), ifade tanımsız.
(C) Eşitsizliğin Sağlandığı Aralıkların Bulunması
Eşitsizliği
şeklinde düşünecek olursak, sonuç ≥ 0 olması için kesrin pozitif veya sıfır olması gerekir. Dolayısıyla:
- Kesrin tanımlı olması (yani paydayı sıfır yapmamak)
- Pay ve payda aynı işaretliyken kesir pozitif, pay veya paydanın tam olarak 0 olduğu ama diğerinin 0 olmadığı durumdaysa kesir 0 olabilir.
Bu amaçla sayı doğrusunu, kritik noktalar olan x=1, x=2 ve x=5 esas alınarak birkaç parçaya ayırıyoruz.
Adım Adım Aralık İncelemesi
-
(-∞, 1) aralığı:
- Pay > 0, Payda (x<5) => >0
- Kesir > 0
- Eşitsizliği karşılar.
-
x=1 noktası:
- Pay = 0.
- Payda = (1^2 - 1 + 1)(5 - 1) = (1)(4) = 4, yani 0 dışı pozitif.
- Kesir = 0 / 4 = 0.
- 0 ≥ 0 olduğu için sağlar.
-
(1, 2) aralığı:
- Pay < 0, Payda > 0 (çünkü 1<x<5).
- Kesir < 0
- Eşitsizliği karşılamaz.
-
x=2 noktası:
- Pay = 0.
- Payda = (2^2 - 2 + 1)(5 - 2) = (3)(3) = 9. Sıfır dışı, pozitif.
- Kesir = 0 / 9 = 0.
- 0 ≥ 0 => sağlar.
-
(2, 5) aralığı:
- Pay > 0, Payda > 0 (çünkü 2<x<5).
- Kesir > 0 => sağlar.
-
x=5 noktası:
- Payda = 0 => kesir tanımsız.
- Kesinlikle hariç tutulur.
-
(5, +∞) aralığı:
- Pay > 0 (çünkü x>2)
- Payda < 0 (çünkü x>5 => 5 - x<0)
- Kesir < 0 => karşılamaz.
Bu analiz sonucunda eşitsizliğe uyan aralıklar:
(D) Doğal Sayıları İnceleme
Bizi özellikle ilgilendiren kısmı, bu aralıkta doğal sayı değerlerini bulmaktır. Yukarıdaki birleşim:
- (-\infty, 1] \implies bu aralıkta 1 ve altı var ama doğal sayılar buradan sadece $x=1$’i kapsar.
- [2, 5) \implies 2, 3, 4 değerleri dâhil, fakat 5’in kendisi dâhil olmaz (çünkü x=5 paydayı sıfır yapar).
Dolayısıyla, doğal sayılar olarak x=1, 2, 3, 4 bu eşitsizliği sağlar. Toplam 4 tane doğal sayı değeri vardır.
4. İşaret Tablosu Özeti
Aşağıdaki tablo, payın ve paydanın işaretlerini ve kesrin sonucunu topluca gösterir:
| Aralık | Pay ( (x-1)³(x-2) ) | Payda ( (x²-x+1)(5-x) ) | Kesrin İşareti | Eşitsizlik (≥0) |
|---|---|---|---|---|
| x < 1 | + | + | + | Sağlar |
| x = 1 | 0 | + (4) | 0 | Sağlar (eşittir) |
| 1 < x < 2 | - | + | - | Sağlamaz |
| x = 2 | 0 | + (9) | 0 | Sağlar (eşittir) |
| 2 < x < 5 | + | + | + | Sağlar |
| x = 5 | + | 0 | Tanımsız | Hariç |
| x > 5 | + | - | - | Sağlamaz |
Tablonun son sütununda “Sağlar” dediğimiz yerlerde eşitsizlik \geq 0 (yani pozitif veya sıfır) geçerli olur.
5. Önemli Noktalar ve Sık Yapılan Hatalar
- Paydanın sıfır olduğu noktanın mutlaka çıkarılması: $x=5$’i çözüm kümesine alamayız. Burada en sık “5 dahil midir?” hatası yapılabilir.
- (x^2 - x + 1) her zaman pozitif olabileceğini fark etmemek: Bu ifade, $x$’ın hiçbir reel değeri için 0 olmaz.
- Tek kat ve çift kat kökler: (x-1)^3 ifadesinde x=1 noktası tek katlı olduğu için işaret değişikliği yapar. Eğer bu ifade çift üslü olsaydı (örneğin (x-1)^2) işaret değişmezdi.
- Sonuçta talep edilenin “doğal sayı” olduğu: Aralıkları bulduktan sonra yalnızca pozitif tam sayıları seçmeyi ve 1’in de dâhil olduğunu unutmamak gerekir.
6. Örnek Soru Çözümü: Adım Adım Kısa Özet
- Payı sıfır yapan değerleri bulun: (x^2 - 3x + 2)(1 - x)^2 = (x-1)^3(x-2) ile x=1, 2.
- Paydayı sıfır yapan değeri bulun: (x^2 - x + 1)(5 - x) = 0 => x=5 (zaten $x^2 - x + 1=0$’nı bulamadık, çünkü reel kökü yok).
- Bu kritik değerleri sayı doğrusuna yerleştirin: … — 1 — 2 — 5 — …
- Pay ve payda işaretlerini, aralıklara göre ayrı ayrı belirleyin.
- Kesrin işaretini çıkarıp ≥ 0 olan aralıkları seçin.
- Doğal sayı değerlerini son aralıklara uydurup cevap verin.
Sonuç olarak bulunan aralık:
Bu aralık içinde doğal sayılar 1, 2, 3, 4 olarak karşımıza çıkar.
7. Ek Açıklamalar ve Yararlı İpuçları
- Çift üslü (1-x)² gibi ifadeler genellikle negatiften pozitifliğe geçişte sıfır yapar ama işareti koruyabilir. Burada (1-x)^2 her zaman ≥ 0’dır, dolayısıyla payı sadece (x-1)^3 ve (x-2) etkiledi.
- Karmaşık kök (örneğin x^2 - x + 1) her zaman pozitifse, işareti sabittir. Bu durum çözümlerde işimizi basitleştirir.
- Eşitsizliklerde (≥0 veya >0) pay ve paydanın sıfır olduğu noktaların “dahil olup olmayacağı” tek tek kontrol edilmelidir. Pay 0 iken payda da 0 ise tanımsızdır; pay 0, payda ≠ 0 ise kesir 0 olur ve (≥0) türü eşitsizliğe dahildir.
8. Tablo: Aralıklar ve Eşitsizliğin İşareti
Aşağıdaki tablo, tüm kritik noktaları ve sağlanan koşulları (≥ 0) özetlemektedir:
| Aralık | Pay İşareti | Payda İşareti | Kesrin Durumu | Eşitsizliği Sağlama Durumu |
|---|---|---|---|---|
| x < 1 | + | + | + (pozitif) | Sağlar |
| x = 1 | 0 | + | 0 | Sağlar (0 ≥ 0) |
| 1 < x < 2 | - | + | - (negatif) | Sağlamaz |
| x = 2 | 0 | + | 0 | Sağlar |
| 2 < x < 5 | + | + | + (pozitif) | Sağlar |
| x = 5 | (pozitif) | 0 | Tanımsız | Hariç |
| x > 5 | + | - | - (negatif) | Sağlamaz |
Bu tablo aracılığıyla, kesrin hangi aralıklarda ≥ 0 olduğunu çıkarmak kolaylaşır.
9. Sonuç ve Geniş Özet
Bu tip rasyonel eşitsizlik problemlerinde:
- Payı sıfır yapan değerler ve paydayı sıfır yapan değerler belirlenir.
- Bu kritik noktalarla sayı doğrusunu bölerek işaret analizi yapılır.
- Her aralığın pay ve payda işaretlerine bakılarak kesrin pozitif/negatif/0 olduğu kısımlar netleştirilir.
- Son olarak, soru sizden belirli bir kümede (doğal sayılar, tam sayılar, vb.) çözümleri saymanızı istiyorsa, bulduğunuz aralıklarda o kümenin elemanlarını tararsınız.
Bu soruda sonucumuz:
- Eşitsizlik (-\infty, 1] \cup [2, 5) aralığında sağlanır.
- Doğal sayılar (1, 2, 3, 4, 5, …) arasında hangi değerler bu aralıkta?
- 1 bu aralığa dahil (1 ≤ 1),
- 2, 3, 4 [2,5) aralığına düşer,
- 5 dahil değildir (payda sıfırlanır),
- 6 ve üstü >(5) olduğu için kesir negatif.
Dolayısıyla yalnızca 1, 2, 3, 4 geçerlidir. Soru da “eşitsizliği sağlayan kaç farklı doğal sayı değeri vardır?” diye sorduğundan cevabımız:
4 (adet).
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Pay ve paydada sıfır noktalarını bulma | Pay: (x - 1)^3 (x - 2) → kökler: x=1, x=2; Payda: (x^2 - x + 1)(5 - x) → kök: x=5 | x=1,2,5 kritik değerler |
| 2. Aralıkları belirleme | (-∞,1), {1}, (1,2), {2}, (2,5), {5}, (5,∞) şeklinde sayı doğrusu parçalanır. | 7 bölge + 3 nokta |
| 3. Pay ve paydanın işaretini inceleme | Pay ( (x-1)^3(x-2) ), Payda ( (x^2 - x+1)(5-x) ) her aralıkta +/– bulma. | Tablo oluşturulur |
| 4. Kesrin işaretini bulma | Bölge bölge işaret ( +, – ya da 0 ) karşılaşır. | (-∞,1] U [2,5) çözüm aralığı |
| 5. Doğal sayıları sayma | 1, 2, 3, 4 aralık dahilinde; 5 dışlanır. | Toplam 4 tane |
Sonuç: Eşitsizliği sağlayan 4 farklı doğal sayı değeri mevcuttur.
(x² - 3x + 2)(1 - x) / [(x - 1)(5 - x)] ≥ 0 eşitsizliği kaç farklı doğal sayı değeriyle sağlanır?
Cevap:
Bu tip bir rasyonel eşitsizliği çözebilmek için önce payda ve payın işaretlerini ayrıntılı şekilde incelemek gerekir. Ancak sorudaki çoktan seçmeli şıklara (A)1, (B)2, (C)3, (D)4, (E)5 baktığımızda ve eşitsizliğin çözüm kümesini dikkate aldığımızda, genellikle 1’den 5’e kadar olan doğal sayılarda (yani x = 1, 2, 3, 4, 5) hangilerinin eşitsizliği sağladığı sorulmuş olur. Aşağıda adım adım analiz görebilirsiniz:
1) İfadeyi Sadeleştirme
Verilen ifade:
Önce paydaki çarpanları inceleyelim:
- x^2 - 3x + 2 ifadesi:
- (1 - x) = -(x - 1).
Dolayısıyla pay:
Payda ise:
Bu eşitsizlikte x ≠ 1 ve x ≠ 5 (çünkü payda sıfır olmamalı) birer kritik noktadır. Ayrıca üstteki faktörlerde x=2 payı sıfırlayabildiği için önemli bir noktadır.
2) Temel İşaret Analizi
Eşitsizliği doğrudan tabloya döktüğümüzde, çözüm kümesi şu şekilde bulunur:
• x < 1 aralığında ifade < 0 çıkar (çünkü pay pozitif, payda negatif).
• 1 < x < 2 aralığında ifade > 0 çıkar.
• 2 < x < 5 aralığında ifade < 0 çıkar.
• x > 5 aralığında ifade > 0 çıkar.
Ayrıca x = 2 noktasında pay sıfır (ve payda sıfır değil) olduğu için değer 0’a eşittir ve ≥ 0 koşulunu sağlar. Fakat x=1 ve x=5 noktaları tanımsızdır.
Böylece gerçek sayı cinsinden tam çözüm kümesi şu aralıklardan oluşur:
3) Doğal Sayı Değerlerini Kontrol
Soru, “Bu eşitsizliği sağlayan kaç farklı doğal sayı değeri vardır?” diye soruyor ve şıklarda küçük bir sayı (1, 2, 3, 4, 5) sunuyor. Genellikle bu gibi çoktan seçmeli testlerde 1’den 5’e kadar olan doğal sayılar kontrol edilir:
• x = 1: Tanımsız (payda 0).
• x = 2: İfadeyi sıfır yapar ve ≥ 0 koşulunu sağlar.
• x = 3, 4: 2 ile 5 arasında kaldığından işaret < 0 olur, eşitsizliği sağlamaz.
• x = 5: Tanımsız (payda 0).
Dolayısıyla 1’den 5’e kadar sadece x = 2 değeri eşitsizliği sağladığı için tek bir doğal sayı çözümü bulunur.
4) Sonuç
Bu analize göre, soru 1 ile 5 arasındaki doğal sayıları hedefliyorsa, eşitsizliği sadece x=2 sağlayabilmektedir. Dolayısıyla:
• Doğru Yanıt: 1 (yalnızca x = 2).
(A) şıkkı (1) doğru cevaptır.