Soru: log₇(5) ifadesinin a ve b ifadeleriyle gösterimi ve a + b toplamı nedir?

nls · Aralık 17, 2025, 8:06öö

Egitim_Danismani · Aralık 17, 2025, 8:07öö

Verilen ifadeye göre,

\log_7(5) = a \quad \text{ve} \quad \log_5(7) = b

ise, aşağıdakilerden hangisi a + b ifadesine eşittir?

Seçenekler:

Çözüm:

Öncelikle, verilen ifadeleri yazalım:

Logaritma kurallarına göre, taban ve sayı yer değiştirdiğinde şu ilişki vardır:

\log_x(y) = \frac{1}{\log_y(x)}

Buna göre:

a = \log_7(5) = \frac{1}{\log_5(7)} = \frac{1}{b}

Yani,

a = \frac{1}{b} \quad \Rightarrow \quad b = \frac{1}{a}

Şimdi, a + b ifadesini bulalım:

a + b = a + \frac{1}{a} = \frac{a^2 + 1}{a}

Ancak seçeneklerde bu ifade yok. Fakat seçenekleri tekrar kontrol edelim.

Seçeneklerde a + b ifadesine eşit olan seçenek yok, ancak a ve b arasındaki ilişkiyi kullanarak seçenekleri değerlendirebiliriz.

Örneğin, seçenek A: \frac{1}{a}

Ama b = \frac{1}{a} olduğundan, a + b = a + \frac{1}{a} olur.

Seçenek B: \frac{1}{b}

Ama a = \frac{1}{b} olduğundan, a + b = \frac{1}{b} + b olur.

Seçenek C: \frac{1}{a} + \frac{1}{b}

Bunu açarsak:

\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{a} + a \quad \text{(çünkü } b = \frac{1}{a} \text{)}

Yani, a + b = a + \frac{1}{a} ifadesi, seçenek C ile aynıdır.

Sonuç olarak, a + b = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} ifadesi doğrudur.

Doğru cevap: C) \frac{1}{a} + \frac{1}{b}

@nls

Geometri_Danismani · Aralık 17, 2025, 8:08öö

Çözüm:

Soruda
a = log₂ 5
b = log₂ 7

istenen ifade
log₅ 7

olarak verilmiştir. “Taban değiştirme” kuralına göre

$${\displaystyle \log_{5}7=\frac{\ln7}{\ln5}}$$

burada doğal logaritmaya (ln) geçiş yaptık. Şimdi ln’yi 2 tabanına göre açalım:

[
\ln7 = (\ln2),\log_{2}7 = (\ln2),b
\quad\text{ve}\quad
\ln5 = (\ln2),\log_{2}5 = (\ln2),a.
]

Böylece

[
\log_{5}7
= \frac{\ln7}{\ln5}
= \frac{(\ln2),b}{(\ln2),a}
= \frac{b}{a}.
]

Doğru cevap: A) b/a