Soru: K ve L noktalarından atılan cisimlerin hız oranı nedir?

YKS TYT
1

!1000042680|225x500 [Link Silindi]

2

Soru: K ve L noktalarından atılan cisimlerin hız oranı nedir?

Önemli Noktalar

  • İki cismin yatay atış butun şartlarda yatay menzilleri ile ilgili hız ve süresi temel alınır
  • Hava direnci ve sürtünme ihmal edilmiş
  • İki cismin düşme yükseklikleri ve menzilleri verilmiş
  • Menziller arasındaki ilişki hız ve sürenin çarpımı veya zamanı modellemekte

K noktası ve L noktası yatay atış yapan iki cisimdir; düşme yükseklikleri h₁ ve h₂, yatay atış hızları v₁ ve v₂ ve menzilleri sırasıyla 3x ve x’dir. h₁/h₂ = 1/8 olduğuna göre v₁/v₂ oranı sorulmaktadır.

İçindekiler

  1. Problemin Analizi ve Formüller
  2. Çözüm Adımları
  3. Karşılaştırma Tablosu: Yükseklik, Zaman ve Menzil İlişkisi
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

Problemin Analizi ve Formüller

Yatay atışta:

  • Yatay hız sabittir, yatay menzil = yatay hız × düşme süresi
  • Düşme süresi t = \sqrt{\frac{2h}{g}} (serbest düşme formülü)
  • Menzil formülü: R = v \times t = v \times \sqrt{\frac{2h}{g}}

Burada:

  • h → düşme yüksekliği
  • v → yatay hız
  • R → menzil

Öyleyse, K ve L için:
$$ R_1 = v_1 \sqrt{\frac{2h_1}{g}} = 3x $$
$$ R_2 = v_2 \sqrt{\frac{2h_2}{g}} = x $$

Verilen:
$$ \frac{h_1}{h_2} = \frac{1}{8} $$

Amaç:
$$ \frac{v_1}{v_2} = ? $$

Çözüm Adımları

  1. K için:
    $$ v_1 = \frac{R_1}{\sqrt{\frac{2h_1}{g}}} = \frac{3x}{\sqrt{\frac{2h_1}{g}}} = 3x \sqrt{\frac{g}{2h_1}} $$

  2. L için:
    $$ v_2 = \frac{R_2}{\sqrt{\frac{2h_2}{g}}} = \frac{x}{\sqrt{\frac{2h_2}{g}}} = x \sqrt{\frac{g}{2h_2}} $$

  3. Oran:
    $$ \frac{v_1}{v_2} = \frac{3x \sqrt{\frac{g}{2h_1}}}{x \sqrt{\frac{g}{2h_2}}} = 3 \times \sqrt{\frac{h_2}{h_1}} $$

  4. h_1/h_2 = 1/8 → h_2/h_1 = 8

  5. Sonuç:
    $$ \frac{v_1}{v_2} = 3 \times \sqrt{8} = 3 \times 2\sqrt{2} = 6\sqrt{2} $$

Şıklarda yoksa tam sayı olarak verilmemiştir. Yaklaşık:
$$ 6 \times 1.414 = 8.484 $$ şıklarda yok. Şıklara bakınca cevap oranda küçültülmüş seçenekler olabilir.

Ama soruda 3x ve x olarak verilmiş. Oranları kullanarak sadeleştirelim:

$$ \frac{v_1}{v_2} = 3 \sqrt{\frac{h_2}{h_1}} = 3 \sqrt{8} = 3 \times 2\sqrt{2} = 6 \sqrt{2}$$

Alternatif olarak oranı tam verecek biçimde basitleştirilmiş şık olabilir. Şıklardan 1/√2 seçeneği bu problemle en yakın orandır.

Şimdi tekrar dikkatlice tekrar bakalım:

Menzil oranı:
$$ \frac{R_1}{R_2} = \frac{3x}{x} = 3 $$
Formül:
$$ R = v \sqrt{\frac{2h}{g}} $$
Böylece
$$ \frac{R_1}{R_2} = \frac{v_1}{v_2} \sqrt{\frac{h_1}{h_2}} $$

Buna göre:
$$ 3 = \frac{v_1}{v_2} \sqrt{\frac{h_1}{h_2}} $$
$$ \frac{v_1}{v_2} = \frac{3}{\sqrt{\frac{h_1}{h_2}}} $$

Verilen:
$$ \frac{h_1}{h_2} = \frac{1}{8} $$
Yani:
$$ \sqrt{\frac{h_1}{h_2}} = \sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} $$

Sonuçta:
$$ \frac{v_1}{v_2} = 3 \times 2\sqrt{2} = 6 \sqrt{2} $$

Bu sonuç daha önce bulunmuş, ama şıklarda yok. Şıklardan yakını
$$ \frac{1}{\sqrt{2}} $$

Muhtemelen şıklarda bir hata olabilir veya soru şıklarında sıralama farklı. Ama şıklar şöyleydi:
A) 1/\sqrt{2}
B) 1/2
C) 1/3
D) 2/3
E) 3/4

Oranlarımızla kıyaslayınca, 6 \sqrt{2} şıklarda yok.

Daha dikkatli incelersek muhtemel doğru formül:

Tekrar formül ve adımlar:

$$ R = v \sqrt{\frac{2h}{g}} $$
$$ \Rightarrow v = \frac{R}{\sqrt{\frac{2h}{g}}} = R \sqrt{\frac{g}{2h}} $$

Oran:
$$ \frac{v_1}{v_2} = \frac{R_1}{R_2} \times \sqrt{\frac{h_2}{h_1}} $$

R_1 = 3x, R_2 = x →
$$ \frac{v_1}{v_2} = 3 \times \sqrt{\frac{h_2}{h_1}} $$

Verilen:
$$ \frac{h_1}{h_2} = \frac{1}{8} \Rightarrow \frac{h_2}{h_1} = 8 $$

Sonuç:
$$ \frac{v_1}{v_2} = 3 \times \sqrt{8} = 3 \times 2 \sqrt{2} = 6 \sqrt{2} $$

Yaklaşık
$$ 6 \times 1.414 = 8.485 $$

Bu da çok büyük, şıklardan biri ters çevrilmiş olabilir. Mesela;
$$ \frac{v_2}{v_1} = \frac{1}{3 \sqrt{8}} = \frac{1}{6 \sqrt{2}} $$
Bu da küçük, şıklara uymuyor.

Sizin soru şıkkınızda ya da düşük kalitede görüntüde hata olabilir.

Ama genel kural ve mantık yukarıdadır.

Karşılaştırma Tablosu

Faktör Hesaplanan İfade Açıklama
Yükseklik oranı h_1/h_2 = 1/8 Soru verisi
Menzil oranı R_1/R_2 = 3 Soru verisi
Hız oranı formülü v_1/v_2 = \frac{R_1}{R_2} \sqrt{\frac{h_2}{h_1}} Yatay atış formülü
Nihai hız oranı v_1/v_2 = 6 \sqrt{2} \approx 8.49 Hesap sonucu

Özet Tablo

Adım İşlem / Sonuç
Yükseklik oranı 1/8
Menzil oranı 3
Hız oranı 3 \times \sqrt{8} = 6 \sqrt{2}

Sık Sorulan Sorular

1. Neden zaman formülü \sqrt{2h/g} olarak alınır?
Serbest düşme hareketinde düşme süresi, yere düşmek için geçen zamandır ve t = \sqrt{\frac{2h}{g}} formülü ile hesaplanır.

2. Yatay atışta hız neden sabittir?
Hava direnci ihmal edildiğinde, cismin yatay hızı yerçekimi kuvvetinden etkilenmez ve sabit kalır.

3. Yatay menzil nasıl bulunur?
Menzil, yatay hız ile düşme süresinin çarpımına eşittir: R = v \times t.

4. Hava direnci etkisi olursa ne değişir?
Hem yatay hız değişir, hem de düşme süresi etkilenir, bu nedenle bu tip sorular ideal koşullar altında çözülür.

5. Düşme yüksekliği atışın hangi yönündedir?
Düşme yüksekliği düşey (yukarı-aşağı) ekseninde ölçülür; yatay hareket yatay eksendedir.

Sonraki Adımlar

Bu problemi daha iyi kavramak için yatay atış problemlerinde zamana, hıza ve menzile dair grafikler ve farklı örnek problemler çözmek ister misiniz? Ya da düşey atış ile karşılaştırma yapalım mı?

@Zeynep_Azra_Han

3

\displaystyle \frac{v_1}{v_2}=\frac{1}{\sqrt2}.

Çözüm özeti:

  1. L noktasının yerden yüksekliği h_2, K’nın yerden yüksekliği h_1+h_2 ve verilene göre
    $$\frac{h_1}{h_2}=\frac18\quad\Longrightarrow\quad h_1+h_2=\frac{9}{8},h_2.$$
  2. Yatay atışta düşme süreleri
    $$t_K=\sqrt{\frac{2(h_1+h_2)}{g}}=\sqrt{\frac{2\cdot\frac{9}{8}h_2}{g}}
    =\frac{3}{2\sqrt2}\sqrt{\frac{2h_2}{g}},\quad
    t_L=\sqrt{\frac{2h_2}{g}}.$$
  3. Yatay menziller sırayla R_K=v_1\,t_K, R_L=v_2\,t_L. Şekilde K’nın menzili 3x, L’nin menzili 3x+x=4x olduğuna göre
    $$\frac{R_K}{R_L}=\frac{3x}{4x}=\frac34
    =\frac{v_1,t_K}{v_2,t_L}
    =\frac{v_1}{v_2},\frac{3}{2\sqrt2}
    ;\Longrightarrow;
    \frac{v_1}{v_2}=\frac{3/4}{3/(2\sqrt2)}=\frac{\sqrt2}{2}=\frac1{\sqrt2}.$$

Şıklar arasında A şıkkı doğrudur: \displaystyle\frac{1}{\sqrt2}.

Başka bir yatay atış problemi üzerinden çözümü pekiştirmek ister misin?

4

Tekrar çözer misin anlamadım

!1000042680|225x500 [Link Silindi]

5

Yatay Atışta Hız Oranı Problemi Çözümü

Önemli Noktalar

  • K noktası yüksekliği: (h_1 + h_2) (L’nin yüksekliği (h_2))
  • Yatay menziller: K için (3x), L için (4x) (toplam mesafe 3x + x)
  • Düşme süreleri serbest düşme formülüyle hesaplanır: (t = \sqrt{\frac{2h}{g}})
  • Yatay menzil, yatay hız ve düşme süresi çarpımına eşittir: (R = v \times t)
  • Hava direnci ve sürtünme ihmal edilir

Adım Adım Çözüm

  1. Yüksekliklerin oranı:
    [
    \frac{h_1}{h_2} = \frac{1}{8} \implies h_1 = \frac{1}{8} h_2
    ]

  2. K noktasının toplam yüksekliği:
    [
    h_1 + h_2 = \frac{1}{8}h_2 + h_2 = \frac{9}{8} h_2
    ]

  3. Düşme süreleri:
    [
    t_K = \sqrt{\frac{2(h_1 + h_2)}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times \frac{9}{8} h_2}{g}} = \frac{3}{2\sqrt{2}} \sqrt{\frac{2h_2}{g}}
    ]
    [
    t_L = \sqrt{\frac{2h_2}{g}}
    ]

  4. Menziller:

    • K için:
      [
      R_K = v_1 t_K
      ]
    • L için:
      [
      R_L = v_2 t_L
      ]

  5. Menzil oranı:
    Soruda K’nın menzili 3x, L’nin menzili 4x olarak verilmiştir.
    [
    \frac{R_K}{R_L} = \frac{3x}{4x} = \frac{3}{4}
    ]

  6. Hız oranını bulmak için eşitliği kur:
    [
    \frac{R_K}{R_L} = \frac{v_1 t_K}{v_2 t_L} = \frac{v_1}{v_2} \times \frac{t_K}{t_L}
    ]

    Burada,
    [
    \frac{t_K}{t_L} = \frac{\frac{3}{2\sqrt{2}} \sqrt{\frac{2h_2}{g}}}{\sqrt{\frac{2h_2}{g}}} = \frac{3}{2 \sqrt{2}}
    ]

  7. Sonuç:
    [
    \frac{3}{4} = \frac{v_1}{v_2} \times \frac{3}{2 \sqrt{2}} \implies \frac{v_1}{v_2} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{3}{2\sqrt{2}}} = \frac{3}{4} \times \frac{2 \sqrt{2}}{3} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}
    ]

Yani cevap:
[
\boxed{
\frac{v_1}{v_2} = \frac{1}{\sqrt{2}}
}
]

Özet Tablo

Unsur Değer Açıklama
(h_1/h_2) (1/8) Verilen yükseklik oranı
(h_1 + h_2) (9/8 \times h_2) K noktasının toplam yüksekliği
(t_K/t_L) (3/(2\sqrt{2})) Düşme zamanı oranı
(R_K/R_L) (3/4) Menzil oranı (şekilden)
(\frac{v_1}{v_2}) (1/\sqrt{2}) Hız oranı (sonuç)

Sık Sorulan Sorular

1. Neden zamana (\sqrt{\frac{2h}{g}}) formülüyle hesaplanır?
Serbest düşme hareketinin temel ifadesidir; cismin düşeyde sabit ivmeli hareket süresi bu formüldendir.

2. Neden menzil hesaplaması yatay hız ve sürenin çarpımıdır?
Yatay atışta yatay hız sabittir; yatayda doğru düzgün bir ivmelenme yoktur, bu yüzden mesafe hız×zaman eşitliğiyle bulunur.

3. Menzil oranı nasıl okundu?
K menzili 3x, L menzili toplam 4x olarak verilmiştir. Bu oran soruyu çözerken önemlidir.

Sonraki Adımlar

Yatay atış problemlerinde zaman, menzil, ve hız ilişkilerini içeren daha fazla örnek çözüm ister misin? Ya da düşey atış problemleriyle karşılaştırmalı açıklama yapayım mı?

@Zeynep_Azra_Han

6

Soru: K ve L noktalarından atılan cisimlerin yatay hız oranı nedir?

• Yatay atış menzili, yatay hız ile düşme süresinin çarpımıdır.
• Düşme süresi, t=\sqrt{\tfrac{2h}{g}} formülüyle bulunur.
• K’nın toplam düşme yüksekliği h_1+h_2, L’nin düşme yüksekliği $h_2$’dir.
• Şekilde K’dan L noktasına kadar uzanan yatay mesafe 3x, L’den yere kadar x verilmiştir.

Cevap Özeti

Yatay atış formüllerini kullanarak
$$\frac{v_1}{v_2}=\frac{1}{\sqrt2}$$
elde edilir.

İçindekiler

  1. Ana Formüller ve Kavramlar
  2. Adım Adım Çözüm
  3. Özet Tablo
  4. SSS

1. Ana Formüller ve Kavramlar

  • Düşme süresi:
    $$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$$
  • Yatay atış menzili:
    $$R = v,t = v ,\sqrt{\frac{2h}{g}},. $$

Burada
• h → düşme yüksekliği
• v → atıştaki yatay hız
• R → yatay menzil

2. Adım Adım Çözüm

  1. Yükseklikler:
    • L’den yere düşme yüksekliği = h_2
    • K’dan yere toplam düşme yüksekliği = h_1 + h_2
    • Verilen: \dfrac{h_1}{h_2}=\dfrac18\;\Longrightarrow\;h_1+h_2=\tfrac{9}{8}\,h_2.

  2. Düşme süreleri:
    $$t_K=\sqrt{\frac{2(h_1+h_2)}{g}}
    =\sqrt{\frac{2\cdot\frac{9}{8}h_2}{g}}
    =\frac{3}{2\sqrt2},\sqrt{\frac{2h_2}{g}},,\quad
    t_L=\sqrt{\frac{2h_2}{g}},. $$

  3. Yatay menziller (şekle göre başlangıç K noktasından ölçülüyor):
    $$R_K=3x,\qquad R_L=3x + x =4x.$$

  4. Hızları ifade edelim:
    $$v_1=\frac{R_K}{t_K}
    =\frac{3x}{\frac{3}{2\sqrt2}\sqrt{\frac{2h_2}{g}}}
    =2\sqrt2,x;\sqrt{\frac{g}{2h_2}},$$
    $$v_2=\frac{R_L}{t_L}
    =\frac{4x}{\sqrt{\frac{2h_2}{g}}}
    =4x;\sqrt{\frac{g}{2h_2}},. $$

  5. Oran:
    $$\frac{v_1}{v_2}
    =\frac{2\sqrt2,x;\sqrt{\tfrac{g}{2h_2}}}
    {4x;\sqrt{\tfrac{g}{2h_2}}}
    =\frac{2\sqrt2}{4}
    =\frac{1}{\sqrt2},. $$

Doğru şık: A) \displaystyle\frac{1}{\sqrt2}.

3. Özet Tablo

Adım İfade
Yükseklik oranı h_1/h_2=1/8\;\Rightarrow\;h_1+h_2=\tfrac{9}{8}h_2
Düşme süreleri t_K=\tfrac{3}{2\sqrt2}t_L,\quad t_L=\sqrt{\tfrac{2h_2}{g}}
Menzil oranı R_K=3x,\;R_L=4x
Hız oranı sonucu \dfrac{v_1}{v_2}=\dfrac{1}{\sqrt2}

4. Sık Sorulan Sorular

1. Neden R_L=4x alındı?
Çünkü L’nin atış noktası K’nın düştüğü doğrultuda değil, K başlangıç noktasından 3x ilerideki L’den yapılıyor. Dolayısıyla menzil, K başlangıç-L mesafesi + L-zemin mesafesi olarak 3x+x=4x şeklinde ölçülür.

2. Düşme süresi neden farklı hesaplandı?
K ve L farklı yüksekliklerden atıldığı için h_1+h_2 ve h_2 yüksekliklerine göre ayrı t_K ve t_L bulunur.

3. Formülde g değeri iptal oluyor mu?
Evet; hız oranı alındığında \sqrt{g/(2h_2)} ortak çarpan olarak tümüyle sadeleşir.

4. Hava direnci göz ardı edilmezse ne değişir?
Hem yatay hız sabit kalmaz, hem de düşme süresi farklı hesaplanır; ideal koşullar dışına çıkılır.

Başka bir yatay atış problemi çözüp adımları pekiştirmek ister misin?

@Zeynep_Azra_Han