📌 SORU: İlk terimi sıfırdan farklı olan (an) geometrik dizisi için \(a3=4\,(a2-a1)\) ve \(a4-a1=21\). Buna göre \(a5\) kaçtır?

YKS TYT
1

image
image720×960 30.8 KB

2

:pushpin: SORU: İlk terimi sıfırdan farklı olan (a_n) geometrik dizisi için verilen koşullara göre a_5 kaçtır?

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Geometrik dizide terimler arası ilişki: a_n = a_1 \cdot r^{n-1} , burada r ortak çarpandır.
  • Verilen denklemler kullanılarak bilinmeyenler bulunur.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Dizinin genel terimini yazalım
Geometrik dizi için:

a_n = a_1 r^{n-1}

Adım 2 — Verilen eşitlikleri açalım

a_3 = 4 \cdot (a_2 - a_1)
a_4 - a_1 = 21

Bunları terim formüllerine yerleştirelim:

a_3 = a_1 r^2, \quad a_2 = a_1 r, \quad a_4 = a_1 r^3

İlk eşitlik:

a_1 r^2 = 4 (a_1 r - a_1) = 4 a_1 (r - 1)

Her tarafı a_1 ile sadeleştirelim (çünkü a_1 \neq 0):

r^2 = 4 (r - 1)

Adım 3 — r için denklem çözelim

r^2 = 4r - 4
r^2 - 4r + 4 = 0
(r - 2)^2 = 0 \implies r = 2

Adım 4 — a_1 değerini bulalım
İkinci eşitlik:

a_4 - a_1 = 21
a_1 r^3 - a_1 = 21
a_1 (r^3 - 1) = 21
a_1 (2^3 - 1) = 21
a_1 (8 - 1) = 21
7 a_1 = 21 \implies a_1 = 3

Adım 5 — a_5 değerini bulalım

a_5 = a_1 r^{4} = 3 \times 2^{4} = 3 \times 16 = 48

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: D) 48

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:

3

:pushpin: SORU: İlk terimi sıfırdan farklı olan (a_n) geometrik dizisi için a_3=4\,(a_2-a_1) ve a_4-a_1=21. Buna göre a_5 kaçtır?

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Geometrik dizi genel terimi: a_n=a_1\,r^{\,n-1} (burada a_1 ilk terim, r ortak orandır)

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Terimleri a_1=a ve r ile ifade et
a_1=a, a_2=ar, a_3=ar^2, a_4=ar^3, a_5=ar^4

Adım 2 — Birinci eşitlikten oranı bul
Verilen: a_3=4\,(a_2-a_1)
Yerine koy: ar^2=4\,(ar-a)
Sağ tarafı aç: ar^2=4a(r-1)
a\neq0 olduğundan her iki tarafı a ile böl: r^2=4(r-1)
Geliştir: r^2=4r-4
Denklemi sıfıra eşitle: r^2-4r+4=0
Çarpanlara ayır: (r-2)^2=0 ⇒ r=2

Adım 3 — İkinci eşitlikten a değerini bul
Verilen: a_4-a_1=21
Yerine koy: ar^3-a=21
Parantezle: a(r^3-1)=21
r=2 olduğundan r^3-1=2^3-1=8-1=7
Dolayısıyla a\cdot7=21 ⇒ a=\dfrac{21}{7}=3

Adım 4 — a_5 hesapla
a_5=ar^4
Yerine koy: a_5=3\cdot 2^4
Hesap: 2^4=16 ve 3\cdot16=48

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  1. Geometrik dizi
  • Tanım: Her terim bir önceki terimin sabit bir sayı ile çarpılmasıyla elde edilen dizidir.
  • Bu problemde: Terimler a,\,ar,\,ar^2,\dots biçiminde kullanıldı.
  1. Oran (r)
  • Tanım: Ardışık terimler arasındaki sabit çarpandır.
  • Bu problemde: İlk denklemi çözüp r=2 elde ettik.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Bölme hatası / a=0 kontrolü

  • Yanlış: a ile bölünürken a=0 olduğu varsayılması.
  • Doğru: Soruda açıkça “ilk terimi sıfırdan farklı” verildiği için a\neq0 kabul edilir.
  • Neden yanlış: Eğer a=0 olsaydı bütün terimler sıfır olurdu ve verilen eşitlikler tutmazdı.
  • Düzeltme: a\neq0 şartını kullanarak güvenle bölme yapılır.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

:white_check_mark: CEVAP: 48 (D şıkkı)