Soru: İki işçi birlikte bir işi 12 saatte bitirebiliyor. İşçilerden biri 2 saat, diğeri 3 saat çalışsaydı işin %20’sini bitirmiş olacaklardı. Buna göre, işçilerden hızlı olanı bu işi tek başına kaç saatte bitirebilir?

YKS TYT
1

IMG_20260124_155533
IMG_20260124_155533720×960 33.4 KB

2

İşçi Problemi: Hızlı İşçi Tek Başına Kaç Saatte Bitirir?

Önemli Noktalar

  • İki işçinin birlikte çalışma süresi 12 saat.
  • İlk işçi 2 saat, ikinci işçi 3 saat çalıştığında işin %20’si tamamlanıyor.
  • Hızlı işçinin iş bitirme süresi soruluyor.

İki işçinin birlikte iş yapma hızları toplamı, işin tamamını 12 saatte bitiriyor. İşçilerden biri 2 saat, diğeri 3 saat çalışınca işin %20’si tamamlanıyor. Buna göre, işçilerden hızlı olanın işi tek başına bitirme süresi hesaplanabilir.

İçindekiler

  1. Problemin Çözüm Adımları
  2. Karşılaştırma Tablosu: İşçi Hızı ve İş Süresi
  3. Özet Tablo
  4. Sık Sorulan Sorular

Problemin Çözüm Adımları

İşçilere hızlarını x ve y saatlik sürelerle işin tamamını bitirdiklerini varsayalım. Hızlı işçi süre olarak kısadır.

  • İki işçinin birlikte çalışma hızı:
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12}
  • İlk işçi 2 saat, ikinci işçi 3 saat çalıştıklarında tamamlanan iş kısmı:
2 \times \frac{1}{x} + 3 \times \frac{1}{y} = \frac{20}{100} = 0.2

Bu iki denklemle:

\begin{cases} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{12} \\ 2 \times \dfrac{1}{x} + 3 \times \dfrac{1}{y} = 0.2 \end{cases}

Burada, \frac{1}{x} işçinin saatte yaptığı iş miktarıdır. \frac{1}{x} ve \frac{1}{y} hızları bulup, hızlı olanı (daha büyük olan iş hızı/saat) seçip, tersini alarak süreyi hesaplarız.

Adımlar:

  1. İlk denklemi \frac{1}{y} = \frac{1}{12} - \frac{1}{x} şeklinde düzenleyin.
  2. Bunu ikinci denkleme yerleştirin:
2 \times \frac{1}{x} + 3 \times \left(\frac{1}{12} - \frac{1}{x}\right) = 0.2
  1. Açalım:
2 \times \frac{1}{x} + \frac{3}{12} - 3 \times \frac{1}{x} = 0.2
(2 - 3) \times \frac{1}{x} + 0.25 = 0.2
- \frac{1}{x} = 0.2 - 0.25 = -0.05
  1. Buradan:
\frac{1}{x} = 0.05 \quad \Rightarrow \quad x = 20
  1. Daha sonra \frac{1}{y} = \frac{1}{12} - \frac{1}{20} = \frac{5}{60} - \frac{3}{60} = \frac{2}{60} = \frac{1}{30} \Rightarrow y=30

Bu durumda, hızlı işçi işini 20 saatte bitirir.

:light_bulb: Pro İpucu: İşçi problemlerinde iş hızı "işin birimini zamana bölmek"le hesaplanır. Hızlı olan, işini daha kısa sürede tamamlayandır.

Karşılaştırma Tablosu: İşçi Hızı ve İş Süresi

İşçi İş Yükü (tam iş) Süre (saat) Saatlik İş Hızı \frac{1}{süre}
Hızlı İşçi 1 20 0.05
Diğer İşçi 1 30 0.0333
Birlikte 1 12 0.0833

Özet Tablo

Öğe Değer
Birlikte iş bitirme süresi 12 saat
%20 iş tamamlanan durumdaki çalışma süreleri 2 saat ve 3 saat
Hızlı işçinin işi tek başına bitirme süresi 20 saat

Sık Sorulan Sorular

1. İş hızını nasıl hesaplarım?
İş hızı, işin tamamının işçiden geçme süresinin tersidir. Örneğin 20 saatte bitirenin hızı \frac{1}{20} iş/saat olur.

2. İki işçinin birlikte çalışma hızını nasıl bulurum?
Bireysel hızların toplamı, birlikte çalışma hızına eşittir. Eğer birlikte 12 saatte bitiriyorlarsa, hızları toplamı \frac{1}{12} iş/saat’tır.

3. Neden ters orantı kuruluyor?
Süre kısa ise iş hızı büyüktür. Bu nedenle süre ve iş hızı ters orantılıdır.

Sonraki Adımlar

İsterseniz, bu tür birleşik işçi problemlerinde farklı değişkenlerle kurulan denklemleri örneklerle detaylandırayım ya da benzer hız-süre problemlerinin farklı tiplerini açıklayayım. İlgilenir misiniz?

@Vedat4

3

Soru: İki işçi birlikte bir işi 12 saatte bitirebiliyor. İşçilerden biri 2 saat, diğeri 3 saat çalışsaydı işin %20’sini bitirmiş olacaklardı. Buna göre, işçilerden hızlı olanı bu işi tek başına kaç saatte bitirebilir?

Temel Çıkarımlar

  • Birlikte çalışma süresi: 12 saat
  • Kısmi çalışmada tamamlanan oran: %20
  • Hızlı işçinin tek başına süresi: 20 saat

Hızlı işçi işi tek başına 20 saatte tamamlar.

İçindekiler

  1. Çözüm
  2. Özet Tablosu
  3. SSS

Çözüm

İki işçinin saatlik hızlarını a ve b iş/saat olarak tanımlayalım. Birlikte tamamlamaları 12 saat olduğuna göre:

a + b = \frac{1}{12}

Kısmi çalışmada, hızlı işçi 2 saat, diğer işçi 3 saat çalışıp işin 0,2 kısmını bitiriyor:

2a + 3b = 0{,}2

Substitüsyon yöntemiyle çözüm:

a = \frac{1}{12} - b
2\Bigl(\frac{1}{12} - b\Bigr) + 3b = 0{,}2 \;\Longrightarrow\; \frac{1}{6} + b = 0{,}2 \;\Longrightarrow\; b = 0{,}2 - \frac{1}{6} = \frac{1}{30}
a = \frac{1}{12} - \frac{1}{30} = \frac{1}{20}

Dolayısıyla hızlı işçinin hızı a=\frac{1}{20} iş/saat, yani tek başına işi 20 saatte tamamlar.

Karşılaştırma Tablosu

İşçi Hız (\tfrac{\text{iş}}{\text{saat}}) Tek Başına Süre
Hızlı (A) 1/20 20 saat
Yavaş (B) 1/30 30 saat

Özet Tablosu

Temel Bilgi Değer
Birlikte çalışma hızı a + b = \tfrac{1}{12} iş/saat
Kısmi çalışma sonucu 2a + 3b = 0{,}2
Hızlı işçi hızı a = \tfrac{1}{20} iş/saat
Hızlı işçinin tek başına tamamlama süresi 20 saat

SSS

  1. Çözümde neden a + b = \tfrac{1}{12} alındı?
    Çünkü iki işçi birlikte saatte toplam işi \tfrac{1}{12} oranında bitiriyor.

  2. 2a + 3b = 0{,}2 denklemi nasıl kuruldu?
    Hızlı işçi 2 saat, diğer işçi 3 saat çalıştığında bitirilen iş 0{,}2 (yüzde 20) olduğu için.

  3. Eğer kısmi tamamlama oranı %25 olsaydı ne yapardık?
    Denklem 2a + 3b = 0{,}25 olarak güncellenir, aynı yöntemle çözülür.

  4. Bu tip iş-hız problemlerini orantı yöntemiyle de çözebilir miyiz?
    Evet, doğrudan iş miktarlarını ve süreleri orantılayarak da sonuç bulunabilir.

Benzer iş-hız problemlerinde pratik yapmak ister misiniz? Size %30 ve %40’lık kısmi tamamlama değerleriyle 3 farklı örnek soru hazırlamamı ister misiniz? @Vedat4