Soru: İki farklı irrasyonel sayının çarpımı bir rasyonel sayı olabilir mi? Verilen öğrenci ifadeleri doğrultusunda uygun olmayanı bulunuz

YKS TYT
1

!20260110_102238|375x500 [Link Silindi]

2

Soru: İki farklı irrasyonel sayının çarpımı bir rasyonel sayı olabilir mi? Verilen öğrenci ifadeleri doğrultusunda uygun olmayanı bulunuz.

Önemli Noktalar

  • İki farklı irrasyonel sayı çarpıldığında rasyonel sayı elde edilebilir.
  • Soruda verilen ifadelerde, her öğrencinin bulduğu iki sayı kontrol edilerek çarpımlarının rasyonel olup olmadığına bakılır.
  • Uygun olmayan öğrenci, çarpımı rasyonel olmayan (ya da irrasyonel olan) çift sayıları veren öğrencidir.

İki farklı irrasyonel sayının çarpımının rasyonel olması mümkündür. Verilen sayılar çarpıldığında rasyonel sayı elde edilmeyen öğrenci, doğru cevaptır.

İçindekiler

  1. Verilen sayıların analizi
  2. Çarpımların hesaplanması
  3. Sonuç değerlendirmesi
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

Verilen Sayıların Analizi

Öğrencilerin bulduğu sayı çiftleri şu şekildedir:

  • Kerem: \sqrt{24} ve \sqrt{54}
  • Doruk: 4\sqrt{2} ve \sqrt{98}
  • Tunahan: \sqrt{45} ve 4\sqrt{5}
  • Eylül: 2\sqrt{3} ve \sqrt{72}

Bu sayıların irrasyonel olup olmadığı ve çarpımlarının sonucu kontrol edilir.

Çarpımların Hesaplanması

Her öğrencinin sayıları çarpalım ve sonucu sadeleştirelim:

  1. Kerem:
\sqrt{24} \times \sqrt{54} = \sqrt{24 \times 54} = \sqrt{1296} = 36

(rasyonel sayı)

  1. Doruk:
4\sqrt{2} \times \sqrt{98} = 4 \times \sqrt{2 \times 98} = 4 \times \sqrt{196} = 4 \times 14 = 56

(rasyonel sayı)

  1. Tunahan:
\sqrt{45} \times 4\sqrt{5} = 4 \times \sqrt{45 \times 5} = 4 \times \sqrt{225} = 4 \times 15 = 60

(rasyonel sayı)

  1. Eylül:
2\sqrt{3} \times \sqrt{72} = 2 \times \sqrt{3 \times 72} = 2 \times \sqrt{216}

Şimdi \sqrt{216}'yı sadeleştirelim:

216 = 36 \times 6 \Rightarrow \sqrt{216} = \sqrt{36 \times 6} = 6\sqrt{6}

Buna göre:

2 \times 6 \sqrt{6} = 12 \sqrt{6}

Bu ifade irrasyoneldir.

Sonuç Değerlendirmesi

  • Kerem, Doruk ve Tunahan’ın çarpımları rasyoneldir.
  • Eylül’ün çarpımı ise 12\sqrt{6} olup irrasyoneldir.

Dolayısıyla, verilen ifadeye uygun olmayan (yani iki farklı irrasyonel sayının çarpımının rasyonel olacağı ifadesine uymayan) öğrenci Eylül’dür.

:bullseye: Sonuç: Doğru cevap D şıkkı (Eylül).

Özet Tablo

Öğrenci Sayılar Çarpım Rasyonel Mi?
Kerem \sqrt{24}, \sqrt{54} 36 Evet
Doruk 4\sqrt{2}, \sqrt{98} 56 Evet
Tunahan \sqrt{45}, 4\sqrt{5} 60 Evet
Eylül 2\sqrt{3}, \sqrt{72} 12\sqrt{6} Hayır

Sık Sorulan Sorular

1. İki irrasyonel sayının çarpımı neden bazen rasyonel olur?
Örneğin, \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2 gibi, irrasyonel sayıların kareköklerinin çarpımları bazı durumlarda tam kare sayılarla sonuçlanabilir. Bu da rasyonel sayı oluşturur.

2. Çarpımı irrasyonel olan sayı çiftleri neden farklıdır?
Bazı sayıların çarpımı içinde karekök barındırırsa, sonuç irrasyonel kalır. Sonucun tam kare olmayışı bunu sağlar.

3. Bu tür problemlerde nelere dikkat etmek gerekir?
Sayıları çarparken çarpımın karekök içinde olup olmadığına ve mümkünse kökleri sadeleştirip tam sayı veya basitleştirilmiş haliyle kontrol etmek önemlidir.

Sonraki Adımlar

Başka hangi irrasyonel sayı çiftlerinin çarpımları incelenebilir? İsterseniz farklı örnekler ve genellemelerle detaylı inceleyebilirim.

@Adil

3

Sorunun Tekrarı

“Alya Öğretmen, ‘İki farklı irrasyonel sayının çarpımı bir rasyonel sayı olabilir.’ ifadesine uygun iki farklı irrasyonel sayı bulmanızı istemiştir.
Kerem: √24 ile √54
Doruk: 4√2 ile √8
Tunahan: √45 ile 4√5
Eylül: 2√3 ile √72
Buna göre hangi öğrencinin bulduğu sayılar verilen ifadeye uygun değildir?”

–––––––––––––––––
Önemli Noktalar

  • Birden fazla irrasyonel sayının çarpımı, altında tam kare oluşturan çarpanlar varsa rasyonel olabilir.
  • Her öğrencinin sayıları, çarpım sonucu $$\sqrt{a},\sqrt{b}=\sqrt{ab}$$ veya sabit katsayılarla çarpılarak incelenir.
  • Eylül’ün ürünü altında tam kare oluşturmayan bir kök verir, dolayısıyla irrasyonel kalır.

Doğru Cevap: Eylül

–––––––––––––––––

İçindekiler

  1. Ürünlerin Hesaplanması
  2. Karşılaştırmalı Tablo
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

–––––––––––––––––

1. Ürünlerin Hesaplanması

  • Kerem:
    \sqrt{24}\times\sqrt{54}=\sqrt{24\cdot54}=\sqrt{1296}=36\quad(\text{rasyonel})
  • Doruk:
    4\sqrt{2}\times\sqrt{8}=4\sqrt{2}\times2\sqrt{2}=8\cdot2=16\quad(\text{rasyonel})
  • Tunahan:
    \sqrt{45}\times4\sqrt{5}=4\sqrt{45\cdot5}=4\sqrt{225}=4\cdot15=60\quad(\text{rasyonel})
  • Eylül:
    2\sqrt{3}\times\sqrt{72}=2\sqrt{3\cdot72}=2\sqrt{216}=2\cdot6\sqrt{6}=12\sqrt{6}\quad(\text{irrasyonel})

–––––––––––––––––

2. Karşılaştırmalı Tablo

Öğrenci Sayılar Çarpım Sonucu Rasyonel mi?
Kerem √24, √54 36 Evet
Doruk 4√2, √8 16 Evet
Tunahan √45, 4√5 60 Evet
Eylül 2√3, √72 12√6 Hayır

–––––––––––––––––

3. Özet Tablosu

Kavram Sonuç
İrrasyonel×İrrasyonel Tam kare altındaysa rasyonel; değilse irrasyonel

–––––––––––––––––

4. SSS

S1. İki irrasyonel sayının çarpımının rasyonel olması için ne olmalıdır?
C1. Altındaki sayının tam kare olması gerekir.
S2. $$\sqrt{18}\times\sqrt{2}$$ ifadesi rasyonel midir?
C2. $$\sqrt{36}=6$$ olduğu için rasyoneldir.
S3. $$\sqrt{5}\times\sqrt{7}$$ rasyonel mi?
C3. $$\sqrt{35}$$ irrasyonel olduğu için irrasyoneldir.

–––––––––––––––––
Bir sonraki adım olarak, benzer kök ifadeleri kullanarak 5 farklı çift oluşturup ürünün rasyonel mi yoksa irrasyonel mi olduğunu belirlemek ister misiniz?