Soru: İki araçtan biri 6 günde bir, diğeri 7 günde bir birlikte temizlenmektedir. Bu araçlar aynı gün temizlendikten sonraki 120 gün içinde kaç defa aynı gün temizlenirler?

YKS TYT
1

Screenshot_20260103-150639
Screenshot_20260103-150639720×1440 43.6 KB

2

İki araç birlikte kaç defa aynı gün temizlenir?

Önemli Noktalar

  • Araçlardan biri her 6 günde bir, diğeri 7 günde bir temizleniyor.
  • Temizliklerin aynı gün olması, ortak temizlik gününü bulmakla ilgilidir.
  • 120 gün içinde kaç defa aynı gün temizlendiklerini bulmak gerekiyor.

Cevap

İki aracın aynı gün temizlendikleri günleri bulmak için 6 ve 7 sayılarının en küçük ortak katını (EKOK) bulmamız gerekir.

  • EKOK(6,7) = 42 gündür.

Buna göre, araçlar ilk temizlendikleri gün (0. gün) birlikte temizlendikten sonra, her 42 günde bir tekrar aynı gün temizlenirler.

Şimdi 120 gün içinde kaç defa birlikte temizlendiklerine bakalım:

\left\lfloor \frac{120}{42} \right\rfloor = 2 \text{ kez}

Ancak ilk temizlik günü de bir kez sayılır. Böylece toplam:

2 + 1 = 3 \text{ defa}

Sonuç: Araçlar 120 gün içinde 3 kez aynı gün temizlenirler.

İçindekiler

  1. Temizlik Araçları Temizlik Günleri
  2. En Küçük Ortak Kat (EKOK) Nedir?
  3. Problemin Çözümü
  4. Özet Tablosu
  5. Sıkça Sorulan Sorular

Temizlik Araçları Temizlik Günleri

İki araç farklı aralıklarla temizleniyor:

  • Birinci araç 6 günde bir
  • İkinci araç 7 günde bir

Birlikte temizlendikleri günler, bu iki sayı için EKOK zamanlarıdır.

En Küçük Ortak Kat (EKOK) Nedir?

EKOK, iki sayının ortak katlarının en küçüğüdür. Örneğin:

  • 6’nın katları: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, …
  • 7’nin katları: 7, 14, 21, 28, 42, …

İki sayının ilk ortak katı 42 olduğundan EKOK(6,7) = 42’dir.

Problemin Çözümü

  • İlk birlikte temizlik 0. gündür (başlangıç).
  • Sonraki ortak temizlikler her 42 günde bir olur.
  • 120 gün içindeki temizlik sayısı:
\left\lfloor \frac{120}{42} \right\rfloor = 2
  • Toplam birlikte temizlik sayısı 3’tür (içinde başlangıç günü dahil).

Özet Tablosu

Araçların Temizlik Aralığı (gün) EKOK (gün) 120 Gün İçinde Birlikte Temizlik Sayısı
6 ve 7 42 3 (0, 42, 84. Günler)

Sıkça Sorulan Sorular

S1: EKOK nasıl bulunur?
Cevap: Sayıların asal çarpanlarına ayrılması ve ortak asal çarpanların en büyük üslerinin çarpılması ile bulunur.

S2: Neden 120/42 işlemi yapılır?
Cevap: 120 günlük sürede kaç tam EKOK aralığı olduğunu bulmak için tam sayı bölümü alınır.

S3: Başlangıçtaki temizlik sayılır mı?
Cevap: Evet, başlangıç günü de birlikte temizlik günü sayılır.

Birlikte temizlik problemlerini daha iyi anlamak için farklı gün aralıklarına sahip araçlarla örnekler çözmek ister misiniz?

3

Soru: İki araçtan biri 6 günde bir, diğeri 7 günde bir birlikte temizlenmektedir. Bu araçlar aynı gün temizlendikten sonraki 120 gün içinde kaç defa aynı gün temizlenirler?

Temel Çıkarımlar

  • EKOK(6, 7)=42 gün, araçların ortak temizlik periyodudur.
  • 120 günlük sürede tekrarı hesaplamak için \lfloor120/42\rfloor kullanılır.
  • Başlangıçtaki eş zamanlı temizlik sayılmaz; sonraki 120 günlük döneme bakılır.

EKOK(6, 7) = 42, bu araçlar 42 günde bir aynı gün temizlenir. 120 gün içinde \lfloor 120/42 \rfloor = 2 kez birlikte temizlenirler.

İçindekiler

  1. Çözüm Adımları
  2. Karşılaştırma Tablosu
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

Çözüm Adımları

  • İki sayının en küçük ortak katı (EKOK) bulunur:
    $$\mathrm{EKOK}(6,7)=\frac{6\cdot7}{\gcd(6,7)}=\frac{42}{1}=42.$$
  • Araçlar her 42 günde bir aynı gün temizlenir.
  • 120 gün içinde bu olayın kaç kez tekrarlanacağı:
    $$\left\lfloor\frac{120}{42}\right\rfloor=2.$$
    Dolayısıyla 2 kez aynı gün temizlenirler.

Karşılaştırma Tablosu

Özellik EBOB (GCD) EKOK (LCM)
Tanım İki sayıyı tam bölen en büyük doğal sayı İki sayının ortak katları arasında en küçüğü
Matematiksel İfade \gcd(a,b) veya \mathrm{EBOB}(a,b) \mathrm{lcm}(a,b) veya \mathrm{EKOK}(a,b)
Örnek \gcd(6,7)=1 \mathrm{EKOK}(6,7)=42
İlişki a\cdot b = \gcd(a,b)\times \mathrm{lcm}(a,b) Aynı formülle ilişkilidir

Özet Tablosu

Özellik Değer
Temizlik aralıkları 6 gün, 7 gün
EKOK(6, 7) 42 gün
120 gün içindeki çakışma sayısı 2 kez

SSS

  1. EKOK nedir?
    İki sayının ortak katları arasından en küçük pozitif sayıdır.
  2. EKOK nasıl bulunur?
    \mathrm{EKOK}(a,b)=\dfrac{a\cdot b}{\gcd(a,b)} formülüyle.
  3. Neden 120/42 işleminde tam bölüm alınır?
    Çünkü yalnızca tam çakışma günleri sayılır, kısmi kalanın tamamlanması gerçekleşmez.
  4. EBOB ve EKOK’un ilişkisi nedir?
    a\times b = \mathrm{EBOB}(a,b)\times \mathrm{EKOK}(a,b) bağıntısı ile birbirine bağlıdır.

Bu konuyla ilgili daha fazla pratik soru ister misiniz?
@Gulayhasan