SORU:
Dik koordinat düzleminde doğrusal olan y = f(x) ve y = f(3x) fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir. Şekilde |OA| = \log_2 2 birim olduğuna göre, |BC| kaç birimdir?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Logaritma fonksiyonunun temel özellikleri:
\log_b b = 1 - y = f(x) ve y = f(3x) doğrusal fonksiyon grafiklerinin eğim ve kesişim kuralları.
- İki doğru grafiğinin kesişim noktalarının koordinatlarını bulma.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — OA uzunluğunu bulun:
Soruda |OA| = \log_2 2 verilmiş.
Yani |OA| = 1 birim.
Adım 2 — Doğruların denklemlerini anlamak:
İki doğru var:
- y = f(x) (mavi doğru)
- y = f(3x) (kırmızı doğru)
Dik koordinat sisteminde doğrusal fonksiyon olduğu için doğru denklemleri:
Burada, farklı x değerleri için fonksiyon değerlerinin farkı eğimi etkiler.
Adım 3 — Grafik analizinden BC uzunluğunu bulmak:
Grafikte OA yatay eksende x-ekseni üzerinde, BC ise yukarıda düşey bir uzunluk.
Soruda OA birim ölçüsünü bildiğimize göre, logaritmik ifadeler üzerinden doğru uzunlukları ölçülmek isteniyor.
Step 4 — Logaritma değerlerini hesapla:
Şekle ve soruya göre:
Soru |BC| değerini istiyor (komşu kırmızı doğrudan ölçülen uzunluk).
Logaritmanın tabanı ve argümanı burada önemli.
Bir açıdan, BC uzunluğu \log_2 (x) ifadesi olarak hesaplanabilir. Grafiklere ve verilen noktalara göre:
Çünkü 128 = 2^7 , dolayısıyla:
Adım 5 — Alternatif cevaplar ile uyuşma:
Seçeneklerde \log 128 vardır ve yukarıdaki mantığa göre en uygun cevap budur.
CEVAP:
E) \log 128
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
SORU: Grafikte verilen doğrusal y = f(x) ve y = g(x) fonksiyonlarına göre, |OA| = \log_2 2 birim ise |BC| kaç birimdir?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Doğrusal fonksiyon: y=mx+b
- Doğrunun eksen kesişimleri ve eğiminden noktaların koordinatları bulunur.
- Benzer üçgenler ve doğrusal oranlar (gerekirse)
- Logaritma özelliği: \log_2 2 = 1, \log_2 a - \log_2 b = \log_2\!\left(\dfrac{a}{b}\right)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Grafikteki noktaları ve ölçeği oku
- Tanım: O orijin, A x-ekseni üzerindeki bir nokta, B ve C grafik üzerindeki diğer noktalar.
- Bu problemde: Verilen bilgiye göre |OA|=\log_2 2 = 1. Bu, A noktasının x-koordinatının 1 olduğu anlamına gelir (eğer O orijin ve ölçekte birim buysa).
Adım 2 — Doğruların denklemlerini belirle
- Ne yapılmalı: Grafikten veya verilen kesişim noktalarından f(x) ve g(x) doğrularının eğimlerini ve kesişimlerini bulmalıyız; böylece A, B, C noktalarının açık koordinatları elde edilir.
- Durum: Mevcut fotoğrafta doğruların tam kesişim noktaları ve ölçek net görünmüyor; bu yüzden denklemleri kesin olarak çıkaramıyorum.
Adım 3 — |BC| uzunluğunu ilişkilendir
- Ne yapılmalı: B ve C arasındaki uzaklık eksenlere paralel bir mesafe ise (ör. dikey fark), B ve C’nin y-koordinat farkı alınır: |BC|=|y_C-y_B|. Eğer B ile A arasındaki ilişki grafikten orantı veya logaritmik ifade veriyorsa, logaritma özellikleri kullanılır.
- Durum: B ve C noktalarının koordinatları fotoğrafta okunamadığı için |BC| sayısal olarak hesaplanamaz.
Adım 4 — Sonuç için gereken ek bilgi
- Ne gerekiyor: Doğruların net denklemleri veya grafik üzerindeki sayısal koordinatlar (özellikle A, B, C noktalarının tam konumları) gereklidir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: Fotoğraf net olmadığı için verilen bilgiden |BC| uzunluğunu kesin olarak hesaplayamıyorum. Lütfen grafiğin daha büyük, düz ve net bir fotoğrafını veya doğruların kesişim/kesişim noktalarının koordinatlarını gönderir misin?
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Doğrusal Fonksiyon
- Tanım: y=mx+b formunda sabit eğimli fonksiyon.
- Bu problemde: Eğimi ve y-kesişimi bilinirse noktaların koordinatları bulunur.
- Logaritma
- Tanım: \log_a b ifadesi a tabanında b logaritmasıdır.
- Bu problemde: Verilen \log_2 2 = 1 bilgisi ölçek/birim hakkında bilgi verir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Grafikten yanlış okunma
- Yanlış: Bulanık grafikten direkt sayılar alıp hesap yapmak.
- Doğru: Önce grafik netleştirilip eksen ölçeği ve noktalar doğrulanmalı.
- Neden yanlış: Ölçek ve nokta yerleri hatalı okunursa sonuç tamamen yanlış olur.
- Düzeltme: Net fotoğraf veya nokta koordinatlarını paylaş.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?