Soru: Fonksiyonun en geniş tanım kümesinde kaç farklı tam sayı vardır?
Verilen fonksiyon:
f(x) = \log_{x-3} (8 - x)
Adım 1: Logaritmanın tanım şartlarını belirleyelim
Bir logaritmanın tanımlı olması için:
- Taban pozitif ve 1’den farklı olmalı:
x - 3 > 0 \quad \text{ve} \quad x - 3 \neq 1 - Logaritmanın içi pozitif olmalı:
8 - x > 0
Adım 2: Şartları çözelim
- x - 3 > 0 \implies x > 3
- x - 3 \neq 1 \implies x \neq 4
- 8 - x > 0 \implies x < 8
Adım 3: Tanım kümesini yazalım
Tüm şartları birleştirelim:
3 < x < 8 \quad \text{ve} \quad x \neq 4
Yani tanım kümesi:
(3,4) \cup (4,8)
Adım 4: Tanım kümesindeki tam sayılar
3 < x < 8 aralığında tam sayılar: 4, 5, 6, 7
Ancak x \neq 4 şartı var, bu yüzden 4 hariç tutulacak.
Böylece tanım kümesindeki tam sayılar:
5, 6, 7
Sonuç:
Tanım kümesinde 3 farklı tam sayı vardır.
Özet Tablosu
| Şartlar | Çözüm Aralığı | Tam Sayılar | Sayısı |
|---|---|---|---|
| x-3 > 0 | x > 3 | ||
| x-3 \neq 1 | x \neq 4 | ||
| 8 - x > 0 | x < 8 | ||
| Birleştirilmiş Tanım | 3 < x < 8, x \neq 4 | 5, 6, 7 | 3 |
Cevap: C) 3
Eğer başka sorularınız varsa, sormaktan çekinmeyin! @nls
Soru:
f(x) = log₍ₓ₋₃₎(8 – x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesinde kaç farklı tam sayı vardır?
Table of Contents
- Logaritma Fonksiyonunun Tanım Koşulları
- Base (Taban) Koşulları
- Argüman Koşulları
- Tüm Koşulların Birleşimi
- Tam Sayı Değerlerinin Belirlenmesi
- Özet Tablosu
- Sonuç ve Cevap
1. Logaritma Fonksiyonunun Tanım Koşulları
Bir logaritma fonksiyonu ( f(x) = \log_{a}(b) ) ifadesinin tanımlı olabilmesi için iki temel koşul vardır:
- Taban ((a)) ile ilgili koşullar
- Argüman ((b)) ile ilgili koşullar
Bu iki koşul sağlanmadığında logaritma işlemi tanımsız hale gelir.
2. Base (Taban) Koşulları
( f(x) = \log_{x-3}(8 - x) ) fonksiyonunda taban ifadesi (a = x - 3)’tür.
Taban için geçerli olması gereken şartlar:
- Pozitif olmak:
x - 3 > 0 \;\Longrightarrow\; x > 3 - 1 olmamak:
x - 3 \neq 1 \;\Longrightarrow\; x \neq 4
3. Argüman Koşulları
Argüman ifadesi ise (b = 8 - x) tir.
Argümanın tanımlı ve logaritması alınabilir olması için:
- Pozitif olmalıdır:
8 - x > 0 \;\Longrightarrow\; x < 8
Not: Argümanın “sıfır olmama” koşulu ((8 - x \neq 0)) zaten yukarıdaki strict “>0” ifadesi ile sağlanmış olur.
4. Tüm Koşulların Birleşimi
Taban ve argüman koşullarını bir araya getirirsek:
- (x > 3)
- (x \neq 4)
- (x < 8)
Bunları tek bir aralıkta toplarsak:
3 < x < 8 ve x ≠ 4
Yani fonksiyonun en geniş tanım kümesi:
\{\,x \in \mathbb{R} \mid 3 < x < 8,\; x \neq 4\,\}
5. Tam Sayı Değerlerinin Belirlenmesi
Aralıktaki tam sayıları bulmak için (3 < x < 8) aralığını düşünürüz.
Bu aralıkta tam sayılar:
4, 5, 6, 7
Ancak (x \neq 4) koşulu nedeniyle 4 değeri çıkarılır.
Geriye kalan tam sayılar:
- 5
- 6
- 7
Toplam: 3 adet tam sayı
6. Özet Tablosu
| Koşul | Matematiksel İfade | Açığlama |
|---|---|---|
| Taban pozitif | x - 3 > 0 | x > 3 |
| Taban ≠ 1 | x - 3 \neq 1 | x \neq 4 |
| Argüman pozitif | 8 - x > 0 | x < 8 |
| Birleşik tanım | 3 < x < 8,\;x\neq4 | Tanım kümesi ((3,8)\setminus{4}) |
| Tam sayılar | — | 4, 5, 6, 7 → 4 çıkarıldı → Kalan: 5, 6, 7 |
| Sonuç | — | 3 farklı tam sayı değeri |
7. Sonuç ve Cevap
Funksiyonun en geniş tanım kümesindeki tam sayılar 5, 6 ve 7’dir.
Sonuç olarak 3 farklı tam sayı vardır.
Doğru cevap: C) 3