!image|666x500 [Link Silindi]
Area Between Two Curves by Rewriting Functions in Terms of y
Önemli Noktalar
- Bölgenin alanı, fonksiyonları y cinsinden yeniden yazıp y’ye göre integrasyon yapılarak bulunur
- İki fonksiyonun kesişim noktaları y değerleri olarak belirlenir ve integral sınırları olarak kullanılır
- Alan, sağdan ve soldan sınır olarak x fonksiyonlarının farkının integrali şeklinde ifade edilir
Verilen:
- f(x) = x^2 - 7x + 12
- g(x) = \frac{3x}{4} + \frac{21}{4}
- Alt sınır x -eksenidir (y=0)
- Alan, f(x) ve g(x) tarafından sınırlandırılmış
İçindekiler
- Fonksiyonları y cinsinden ifade etme
- Kesişim noktalarının y koordinatlarını bulma
- Alan için integral ifadeyi yazma
- Karşılaştırma Tablosu: x’ye göre vs y’ye göre integre etme
- Özet Tablo
- Sık Sorulan Sorular
1. Fonksiyonları y cinsinden ifade etme
Alan y’ye göre yazılacağı için her bir fonksiyonda x y’nin fonksiyonu olacak şekilde çözülmeli:
- y = f(x) = x^2 - 7x + 12
Bunu y cinsinden x fonksiyonuna çevirmek için ikinci dereceden denklem çözeceğiz:
x^2 - 7x + (12 - y) = 0
Çözüm:
x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4(12 - y)}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 48 + 4y}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{1 + 4y}}{2}
İki kök var, hangi taraf alanı belirliyorsa ona göre seçilecek. Grafikte alan x ekseninde x \geq 3’de, bu nedenle sağdaki kökü alacağız:
x = \frac{7 + \sqrt{1 + 4y}}{2}
- y = g(x) = \frac{3x}{4} + \frac{21}{4}
Buradan x bulalım:
y = \frac{3x}{4} + \frac{21}{4} \implies \frac{3x}{4} = y - \frac{21}{4} \implies x = \frac{4}{3}y - 7
2. Kesişim Noktalarının y Koordinatlarını Bulma
Alan, y=0 (x ekseni) ile başlıyor. Kesişim noktalarının y değerlerini bulmak için
f(x) = g(x) 'yi orijinal fonksiyonlarda bulalım:
x^2 -7x + 12 = \frac{3x}{4} + \frac{21}{4}
Bütün terimleri eşitleyelim:
4x^2 - 28x + 48 = 3x + 21
4x^2 - 31x + 27 = 0
Kökler:
x = \frac{31 \pm \sqrt{31^2 - 4 \times 4 \times 27}}{8} = \frac{31 \pm \sqrt{961}}{8} = \frac{31 \pm 31}{8}
İki kök:
x_1 = \frac{31 - 31}{8} = 0
\quad , \quad
x_2 = \frac{31 + 31}{8} = \frac{62}{8} = 7.75
Şimdi y koordinatlarını bulalım:
- x=0:
y = f(0) = 0^2 - 7 \times 0 + 12 = 12
- x=7.75:
y = f(7.75) = (7.75)^2 -7 \times 7.75 + 12 \approx 60.06 - 54.25 + 12 = 17.81
Alan, yukarıda y=0 ile başlıyor ve y=12 ile y=17.81 arasında değişiyor. Alanı hesaplamak için integral sınırlarını y=0 ile y=12 alıyoruz (grafiğe göre).
3. Alan için İntegral İfadeyi Yazma
x sınırlarının sol sınırı g^{-1}(y)= \frac{4}{3}y -7 ve sağ sınırı f^{-1}(y) = \frac{7 + \sqrt{1 + 4y}}{2} olarak bulunmuştur. Alan;
\text{Alan} = \int_{y=0}^{y=12} \big[ f^{-1}(y) - g^{-1}(y) \big] \, dy = \int_0^{12} \left(\frac{7 + \sqrt{1 + 4y}}{2} - \left(\frac{4}{3}y -7\right) \right) dy
Bu integral, alanı y cinsinden hesaplamak için gereken tam ifadedir. (İntegrali hesaplamayın denilmiş.)
4. Karşılaştırma Tablosu: x’e göre vs y’ye göre Integre Etme
| Kriter | x’ye Göre İntegrasyon | y’ye Göre İntegrasyon |
|---|---|---|
| Fonksiyonların ifadesi | y = f(x), y = g(x) | x = f^{-1}(y), x = g^{-1}(y) |
| Sınırlar | x=a ile x=b | y=c ile y=d |
| Karmaşıklık | Basit polinomlarda tercih edilir | Fonksiyonların tersleri kolaysa tercih edilir |
| Uygulama Alanı | Dikey dilimler için | Yatay dilimler için |
| Avantaj | Grafik ve hesaplama basittir | Fonksiyonlar y’ye göre zor ise daha uygundur |
5. Özet Tablo
| Eleman | Detay |
|---|---|
| Fonksiyonlar | f(x) = x^2 -7x + 12, g(x) = \frac{3x}{4} + \frac{21}{4} |
| x olarak ters fonksiyonlar | f^{-1}(y) = \frac{7 + \sqrt{1 + 4y}}{2}, g^{-1}(y) = \frac{4}{3} y -7 |
| Alan integrali | \displaystyle \int_0^{12} \left( \frac{7 + \sqrt{1 + 4y}}{2} - \left(\frac{4}{3} y -7\right) \right) dy |
| İntegrasyon değişkeni | y |
| İntegrali değerlendirmeyin | Sadece integral yazılması yeterlidir |
Sık Sorulan Sorular
1. Neden fonksiyonlar y cinsinden ifade edilir?
Alan, verilen problemde y’ye göre entegrasyon isteniyor. Böylece yatay dilimler kullanılır ve alan daha kolay ifade edilir.
2. İntegralde neden kökün pozitif olan dalı seçildi?
Grafikten alanın hangi tarafında olduğuna bakılır. Sağdaki kök alanı sınırlar, bu yüzden pozitif kök seçildi.
3. Sınırlar neden y=0 ile y=12 arasında?
Alt sınır problemde x-ekseni (y=0) olarak verilmiş, üst sınır ise fonksiyonların kesişim noktasındaki y değerlerinden en küçüğüdür (grafiğe göre).
4. Fonksiyonların terslerini nasıl çözeriz?
İkinci dereceden fonksiyonlarda y=f(x) denklemi x için çözülür. Doğru kök seçimi grafik ve alanın konumuna göre yapılır.
Sonraki Adımlar
Bu entegrali nasıl çözebileceğinizi adım adım göstereyim mi? Yoksa benzer başka yatay dilim problemini çözmemi ister misiniz?
Soru: f(x)=x²−7x+12 ve g(x)=³/₄x+21/4 ile x-ekseninin sınırladığı bölgenin, y’ye göre entegrasyon yaparak alanını bulmak için yazılması gereken entegrali yazınız (değerlendirme yapmayınız).
Temel Çıkarımlar
- f(x)=x²−7x+12, x-eksenini x=3 ve x=4 noktalarında keser.
- g(x)=¾x+21/4, x-eksenini x=−7 noktasında keser.
- f(x) ve g(x), bölgeyi kapatan eğriler (1, 6) noktasında kesişir.
Doğrudan Cevap
Bölgeyi yatay şeritler biçiminde, $y=0$’dan $y=6$’ya kadar entegre ederek
A \;=\;\int_{0}^{6}\Bigl[x_{\text{sağ}}(y)\;-\;x_{\text{sol}}(y)\Bigr]\,dy
\;=\;\int_{0}^{6}\Bigl(\tfrac{7-\sqrt{1+4y}}{2}\;-\;\bigl(\tfrac{4y}{3}-7\bigr)\Bigr)\,dy.
İçerik
Entegralin Yazımı
Bölge y=0 çizgisi ile f(x) ve g(x) eğrilerinin oluşturduğu kapalı alan. Yatay dilimler için:
- Alt sınır: y_{\min}=0
- Üst sınır: y_{\max}=6 (kesişim noktası)
- Sol sınır (g(x) eğrisinden):g(x)=y\;\Rightarrow\;x_{\text{sol}}(y)=\frac{4y}{3}-7
- Sağ sınır (f(x) eğrisinin küçük kökünden):
$$f(x)=y;\Rightarrow;x^2-7x+(12-y)=0
;\Rightarrow;x_{\text{sağ}}(y)=\frac{7-\sqrt{1+4y}}{2}$$
Sonuçta
A=\int_{0}^{6}\Bigl(x_{\text{sağ}}(y)-x_{\text{sol}}(y)\Bigr)\,dy
=\int_{0}^{6}\Bigl(\tfrac{7-\sqrt{1+4y}}{2}-\bigl(\tfrac{4y}{3}-7\bigr)\Bigr)\,dy.
Derinleme Açıklama
- y’ye göre entegrasyonda dilimin genişliği dy, uzunluğu ise x_{\text{sağ}}(y)-x_{\text{sol}}(y) olur.
- Eğrilerin kesişiminden itibaren bölge tek parçaya düşer (y\le6).
- Parantez içi: eğriler arasındaki yatay mesafe.
dx’ye Göre vs dy’ye Göre Karşılaştırma
| Özellik | dx’ye Göre | dy’ye Göre |
|---|---|---|
| Dilim şekli | Dikey şerit | Yatay şerit |
| Sınırlar | x=a\to b | y=c\to d |
| Entegrand | f(x)-g(x) (üst–alt) | x_{\text{sağ}}(y)-x_{\text{sol}}(y) |
| Karmaşıklık | Bazen iki parçalı | Bazı bölgelerde tek parça tercih edilir |
Özet Tablosu
| Sembol | Açıklama |
|---|---|
| y_{\min}=0 | Bölgenin alt sınırı |
| y_{\max}=6 | Eğrilerin kesişiminden gelen üst sınır |
| x_{\text{sol}}(y) | \dfrac{4y}{3}-7 (g(x)’den) |
| x_{\text{sağ}}(y) | \dfrac{7-\sqrt{1+4y}}{2} (f(x)’in dalından) |
SSS
- Neden y’ye göre entegrasyon seçtik?
Çünkü bölge, yatay şeritlerle tek parçalı tanımlanabiliyor. - x’e göre entegrasyon yapılsaydı ne olurdu?
Bölge x= -7\to1 ve x=1\to3 şeklinde iki parçaya bölünürdü. - Kesişim noktasını nasıl bulduk?
f(x)=g(x) denklemini çözerek x=1, y=6 elde edilir. - Entegrali değerlendirmeli miyiz?
Bu soruda sadece yazmanız istendi; değerlendirme istenmiyor.
Bu entegrali değerlendirmek veya benzer sorular için 3 örnek çözüm ister misiniz?
@shar