Bhdmşfb sorusundaki fonksiyonun en geniş tanım kümesi nedir?
Önemli Notlar:
- Logaritmanın tanım kümesi: Logaritma içindeki ifade sıfırdan büyük olmalıdır.
- Fonksiyon farklı logaritmaların toplamı olduğunda tüm logaritma içlerinin tanım şartları aynı anda sağlanmalıdır.
- Payda varsa paydanın sıfır olmaması gerekir.
Fonksiyon:
Tanım Kümesi Koşulları:
-
\log_7(3+x) için:
$$3 + x > 0 \implies x > -3$$ -
\log_7(x^2 - 5x + 6) için:
$$x^2 - 5x + 6 > 0$$
Polinom çarpanlara ayrılır:
$$(x - 2)(x - 3) > 0$$
Bir ikinci derece polinomun çarpanlarına göre pozitif olduğu aralıklar:
$$x < 2 \quad \text{veya} \quad x > 3$$
- \log_{x+1}(2x - 4) için logaritmanın tabanı ve içi koşulları:
-
Tabanın tanımı:
$$x + 1 > 0 \implies x > -1$$
$$x + 1 \neq 1 \implies x \neq 0$$ -
İç ifadenin pozitif olması:
$$2x - 4 > 0 \implies x > 2$$
Tüm koşulları birleştirelim:
- x > -3
- x > -1 (daha kısıtlayıcıdır, -3 yerine -1 seçilir)
- x \neq 0
- x > 2
- Ve ikinci derece polinom koşulu: x < 2 veya x > 3
Burada önemli nokta:
- Diğer koşullara göre x > 2 olmalı.
- Ancak polinomun pozitif olması için x < 2 ya da x > 3.
- x < 2 durumu diğer koşullarla çelişik çünkü x > 2 şartı var.
- O halde polinom için pozitif olduğu aralık sadece x > 3 kısmı kabul edilir.
Son durum:
- x > 3
- x \neq 0 zaten x>3 bunu kapsar.
Sonuç olarak fonksiyonun tanım kümesi:
Doğru seçenek:
A) (9, ∞) değil, E) (3, ∞) doğrudur.
İçindekiler:
- Fonksiyon Tanım Kümesi Koşulları
- Logaritma Fonksiyonunda Taban ve İçerik Şartları
- Çözüm Adımları ve Sonuç
- Karşılaştırmalı Tablo: Logaritma Tanım Kümesi Örnekleri
- Özet Tablo
- Sıkça Sorulan Sorular
1. Fonksiyon Tanım Kümesi Koşulları
Bir fonksiyonun tanım kümesi, fonksiyon içindeki tüm ifadelerin tanımlı olduğu x değerleri kümesidir. Logaritma fonksiyonunda tanım kümesini belirlemek için logaritmanın içindeki tüm ifadelerin pozitif olması gerekir. Ayrıca, logaritma tabanı sıfır veya 1 olamaz. Bu nedenle şu koşullar vardır:
- İç ifade > 0
- Taban > 0 ve taban ≠ 1
Belirtilen fonksiyondaki her terim için ayrı ayrı bu koşullar kontrol edilir.
2. Logaritma Fonksiyonunda Taban ve İçerik Şartları
- \log_a b için
- a > 0 ve a \neq 1
- b > 0
Bu iki temel koşulu sağlamayan değerler fonksiyonun tanım kümesi dışında kalır.
3. Çözüm Adımları ve Sonuç
- 3+x > 0 \Rightarrow x>-3
- x^2 -5x +6 >0 → (x-3)(x-2) > 0 \Rightarrow x<2 veya x>3
- Taban x+1 > 0, x+1 \neq 1 (yani x \neq 0), ve içerik 2x - 4 >0 \Rightarrow x>2
Tüm koşulların kesişimi:
x > -3, x > -1, x \neq 0, x > 2, ve (x<2 \text{ veya } x>3)
Bu, x>3 ile netleşir. Dolayısıyla tanım kümesi: (3, \infty).
4. Karşılaştırmalı Tablo: Logaritma Tanım Kümesi Örnekleri
| Fonksiyon | Tanım Kümesi | Açıklama |
|---|---|---|
| \log_a (x - c) | (c, \infty) | İç ifade pozitif |
| \log_{x+1} (2x -4) | x > -1, x \neq 0, 2x -4 >0 | Taban ve içerik şartları birlikte |
| \log_7 (3+x) + \log_7 (x^2-5x+6) | (-3, \infty) \cap (x<2 \cup x>3) | Her iki bölümün kesişimi gerektirir |
5. Özet Tablo
| Koşul | Çözüm |
|---|---|
| 3 + x > 0 | x > -3 |
| x^2 -5x +6 >0 | x<2 veya x>3 |
| x + 1 > 0 ve x + 1 \neq 1 | x > -1, x \neq 0 |
| 2x - 4 > 0 | x > 2 |
| Tüm koşulların kesişimi | x > 3 |
6. Sıkça Sorulan Sorular
S1: Logaritmanın tabanı neden 1 olamaz?
C: Çünkü tabanı 1 olan logaritmanın sonucu her zaman sıfırdır ve logaritmanın tanımına aykırıdır.
S2: İkinci dereceden polinomların logaritma içindeki tanımını neden böldük?
C: Çünkü ikinci dereceden bir polinomun pozitif olduğu aralıklar parabolün yönüne ve köklerine bağlıdır, işaret analiziyle belirlenir.
S3: Taban değişken ise nelere dikkat etmeliyim?
C: Taban değişken olduğunda pozitif olmalı ve 1 olmamalıdır, bu koşullar ayrı ayrı sağlanmalıdır.
Fonksiyonun en geniş tanım kümesi aralığı (3, ∞) aralığıdır, yani doğru seçenek E şıkkıdır.
Sorunuzun devamında örnek sorularla pratik yapmak ister misiniz?
Soru: f(x)=log₇(3+x)+log₇(x²−5x+6)+log₍ₓ₊₁₎(2x−4) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi nedir?
• Key Takeaways
- Her logaritmada taban b için b>0,\ b\neq1 ve argüman için >0 şartı gerekir.
- 3+x>0\implies x>-3; x^2-5x+6>0\implies x<2\text{ veya }x>3.
- \log_{(x+1)}(2x-4) için x+1>0,\ x+1\neq1,\ 2x-4>0\implies x>2.
- Bütün şartları birleştirdiğimizde tanım kümesi (3,\infty) olur.
Doğru Yanıt: E) (3,\infty)
İçindekiler
1. Tanım Kümelerinin Koşulları
- \log_{7}(3+x) için
$$3+x>0\quad\Longrightarrow\quad x>-3.$$ - \log_{7}(x^2-5x+6) için
$$x^2-5x+6>0;\Longrightarrow;(x-2)(x-3)>0;\Longrightarrow;x<2\text{ veya }x>3.$$ - \log_{(x+1)}(2x-4) için
• Taban:
$$x+1>0\quad\text{ve}\quad x+1\neq1\quad\Longrightarrow\quad x>-1,\ x\neq0.$$
• Argüman:
$$2x-4>0\quad\Longrightarrow\quad x>2.$$
2. Koşulların Birleştirilmesi
Üçüncü şart x>2 demektir ve bu aynı zamanda x>-3 ve x\neq0 koşullarını kapsar. İkinci şartla kesişim alındığında:
- x>2 ile x<2 kesişimi boş küme,
- x>2 ile x>3 kesişimi \;x>3\; verir.
Dolayısıyla nihai domain:
$$(3,\infty).$$
3. Sonuç: Tanım Kümesi
f fonksiyonunun en geniş tanım kümesi
$$D_f=(3,\infty).$$
4. Özet Tablosu
| Koşul | İfade | Çözüm |
|---|---|---|
| \log_7(3+x) | 3+x>0 | x>-3 |
| \log_7(x^2-5x+6) | x^2-5x+6>0 | x<2 veya x>3 |
| \log_{(x+1)}(2x-4) – taban | x+1>0,\ x+1\neq1 | x>-1,\ x\neq0 |
| \log_{(x+1)}(2x-4) – argüman | 2x-4>0 | x>2 |
| Birleşim | (3,\infty) |
5. SSS
S1. Logaritmanın tabanının neden b>0,\ b\neq1 olması gerekir?
C1. Negatif veya bir tabanla gerçek logaritma tanımlı değildir; 1 ise fonksiyon sabit olur.
S2. İkinci logaritmada neden x=2 ve x=3 hariç tutuldu?
C2. x^2-5x+6=(x-2)(x-3) olduğundan bu noktalarda argüman sıfır olur.
S3. Taban x+1 için niçin x\neq0 dedik?
C3. x+1=1\implies x=0 ise logaritmanın tabanı 1 olur ve \log_1 tanımsızdır.
Sonraki Adım: Bu tip birden fazla logaritma içeren fonksiyonlarda tersini (çözüm kümesini) bulmayı da ister misiniz? @Prof.8