📌 SORU: f(x)=ax^2-4x^2+bx+2x+a+b fonksiyonu için tanım kümesindeki her eleman için türevinin sıfır olduğu verilmiş. f(a+b) nedir?

YKS TYT
1

image
image720×960 33.3 KB

2

:pushpin: SORU: f(x) = ax^2 - 4x^2 + bx + 2x + a + b fonksiyonunun türev f'(x)'in tanım kümesindeki her eleman için sıfıra eşit olduğu verilirse, f(a+b) değeri kaçtır?

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Bir fonksiyonun türevinin tüm tanım kümesinde sıfır olması, o fonksiyonun sabit fonksiyon olduğunu gösterir.
  • Türev alırken kuvvet kuralları uygulanır: \frac{d}{dx} (x^n) = nx^{n-1}
  • Fonksiyon değerini bulmak için fonksiyon eşitliğine istenen x değeri yazılır.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Fonksiyonun türevini bulun
f(x) = ax^2 - 4x^2 + bx + 2x + a + b

Türev:

f'(x) = \frac{d}{dx}(ax^2) - \frac{d}{dx}(4x^2) + \frac{d}{dx}(bx) + \frac{d}{dx}(2x) + \frac{d}{dx}(a + b)
f'(x) = 2ax - 8x + b + 2 + 0

Adım 2 — Türev fonksiyonunun her x için sıfıra eşit olduğunu kullan

f'(x) = 2ax - 8x + b + 2 = 0 \quad \forall x

Bu ifadenin tüm x için sıfır olması için öncelikle x’li terimin katsayısı 0 olmalı, sonra sabit terim 0 olmalıdır:
2a - 8 = 0 \Rightarrow 2a = 8 \Rightarrow a = 4
b + 2 = 0 \Rightarrow b = -2

Adım 3 — f(a + b) ifadesini hesaplayın
Önce a + b = 4 + (-2) = 2 bulunur.

f(x) = a x^2 - 4 x^2 + b x + 2x + a + b formülüne koyarsak:

f(2) = 4 \times 2^2 - 4 \times 2^2 + (-2) \times 2 + 2 \times 2 + 4 + (-2)
= 4 \times 4 - 4 \times 4 - 4 + 4 + 4 - 2
= 16 - 16 - 4 + 4 + 4 - 2 = 0 + 0 + 2 = 2

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: 2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:

3

:pushpin: SORU: f(x)=ax^2-4x^2+bx+2x+a+b fonksiyonu için tanım kümesindeki her eleman için türevinin sıfır olduğu verilmiş. f(a+b) nedir?

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Türev: \dfrac{d}{dx}\big( cx^2+dx+e\right)=2cx+d
  • Sabit fonksiyon koşulu: Bir polinomun türevi tüm x için 0 ise tüm katsayıları sıfırdır.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Fonksiyonu Sadeleştir
Fonksiyonu terimlere göre topla:
f(x)=ax^2-4x^2+bx+2x+a+b
\Rightarrow f(x)=(a-4)x^2+(b+2)x+(a+b)

Adım 2 — Türevi Al
f'(x)=\dfrac{d}{dx}\big((a-4)x^2+(b+2)x+(a+b)\big)
\Rightarrow f'(x)=2(a-4)x+(b+2)

Adım 3 — Türev Tüm x için 0 Olma Koşulunu Kullan
Tüm x için f'(x)=0 ise katsayılar sıfır olur:
2(a-4)=0 ve b+2=0

Adım 4 — a) ve b yi Bul
2(a-4)=0 \Rightarrow a-4=0 \Rightarrow a=4
b+2=0 \Rightarrow b=-2

Adım 5 — a+b yi Hesapla ve f(a+b) için x değerini belirle
a+b=4+(-2)=2 olduğundan f(a+b)=f(2)

Adım 6 — f(2) için terimleri yerine koy (a=4, b=-2)
Genelleştirilmiş ifade: f(x)=(a-4)x^2+(b+2)x+(a+b)

  • İlk terim: (a-4)x^2=(4-4)\cdot 2^2=0
  • İkinci terim: (b+2)x=(-2+2)\cdot 2=0
  • Sabit terim: a+b=4+(-2)=2

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: 2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  1. Türev
  • Tanım: Bir fonksiyonun değişim hızını veren ölçüdür.
  • Bu problemde: Bir polinomun türevinin tüm x için sıfır olması, polinomun sabit olması gerektiğini gösterir.
  1. Sabit Fonksiyon
  • Tanım: Tüm x değerleri için aynı değeri alan fonksiyon.
  • Bu problemde: f(x) sabit olması nedeniyle tüm x’lerde aynı değeri alır; bu değer a+b olarak bulunur.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Katsayıları Karıştırma

  • Yanlış: Türevi alırken sabit terimi türevde kalır sanmak.
  • Doğru: Sabit terimin türevi 0’dır; türev yalnızca x içeren terimlerden gelir.
  • Neden yanlış: Sabit terimin x ile çarpanı yoktur.
  • Düzeltme: Türevi alırken her terimin ayrı ayrı türevini alın.

:cross_mark: Türev 0 ise sadece sabit terimi 0 sanmak

  • Yanlış: Sadece sabit terimi 0 yaparak tüm türevi 0 sanmak.
  • Doğru: Hem x li katsayının hem de sabit terimin türevdeki katsayısının 0 olması gerekir.
  • Neden yanlış: Türev polinomun hem x katsayısını hem de sabit terimi etkiler.
  • Düzeltme: Türev ifadesindeki tüm katsayıları sıfıra eşitleyip çözün.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket: