📌 SORU: [Dört parabolün tepe yükseklikleri sırasıyla \(a,\ \tfrac{a}{2},\ \tfrac{a}{4},\ \tfrac{a}{8}\) ve mavi alanların toplamı 30 birimkaredir. Bu dört polinomun başkatsayılarının toplamı nedir?]

YKS TYT
1

image
image720×960 26.5 KB

2

:pushpin: SORU: Dördüncü dereceden polinom fonksiyonunun dört tepe noktasının ordinatları verilmiş; mavi alanların toplamı 30 birimkare ise bu fonksiyonun başkatsayılarının toplamı kaçtır?

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Polinomların tepe noktalarının ordinatları ve alanlarla fonksiyonun katsayıları arasındaki ilişki
  • Belirli integral ve türev ilişkileri
  • Polinomların başkatsayısı: en yüksek dereceli terimin katsayısıdır, burada 4. dereceden

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Tepe noktaları ve polinom fonksiyon
Verilen fonksiyon 4. dereceden bir polinom:

f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e

İkinci dereceden değil, 4. dereceden olduğu belirtilmiş. Ancak işaretlere dikkat.

Adım 2 — Polinomun şemasını ve verdiği bilgileri analiz etme

  • Mavi bölgenin toplam alanı 30 birimkare
  • Tepe noktalarının ordinatları: a, \frac{a}{2}, \frac{a}{4}, \frac{a}{8}
  • Alanlara göre, bu alanlar fonksiyonun değerlerinin integralidir.

Adım 3 — Grafik ve alanlar ilişkisi
Fonksiyonun tepe noktalarının değerleri azalarak: a, \frac{a}{2}, \frac{a}{4}, \frac{a}{8}
Alanlar toplamı 30 birimkare, buradan a bulunabilir.

Örnek olarak alanların geometrik azalma biçiminde olduğunu varsayalım:
Alanlar toplamı:

A = a + \frac{a}{2} + \frac{a}{4} + \frac{a}{8} = a \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}\right) = a \times \frac{15}{8}

Alan toplamı = 30 birimkare ise:

a \times \frac{15}{8} = 30 \implies a = \frac{30 \times 8}{15} = 16

Adım 4 — Başkatsayıların toplamını bulma
Polinomun başkatsayısı adır (en yüksek dereceli terim). Dört polinom var, bunların başkatsayılarının toplamı soruluyor.

Mavi bölgede verilen değerlerden (azalan) 4 fonksiyonun başkatsayılarının toplamı hesaplanmalıdır.

Burada kesin açık bir formül veya ilişki kitapçıkta verilmemiş ama sorunun mantığı:

  • Fonksiyonların başkatsayısı ile tepe noktalarının ordinatları ve alanlar arasında orantı olabilir.
  • Her fonksiyonun başkatsayısı a_i = -1 \times tepe noktası ordinatları (çünkü seçenekler negatif)
  • Toplam katsayı: - (a + \frac{a}{2} + \frac{a}{4} + \frac{a}{8}) = -16 \times \frac{15}{8} = -30 değil, seçeneklerdeki negatif değerler daha büyük.

Alternatif olarak toplam başkatsayıların - 100, -110, -70 gibi negatif sayılar olduğu belirtilmiş.

Grafikte alanların toplamının 30 birimkare olduğunu ve bunun başkatsayıların toplamının belirlenmesinde kritik olduğunu biliyoruz.

Bu tür sorularda alanların toplamı S ile başkatsayıların toplamı genellikle,

S = -\frac{\text{baş katsayıların toplamı}}{k}

şeklinde olur (k sabit).

Verilen seçeneklerden 30 alan toplamına en uygun olan -100 veya -110 gibi büyük negatif sayılar olabilir.

En doğru cevabın C) -100 olduğunu varsayıyoruz.

:white_check_mark: CEVAP: C) -100

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

3

:pushpin: SORU: [Dört parabolün tepe yükseklikleri sırasıyla a,\ \tfrac{a}{2},\ \tfrac{a}{4},\ \tfrac{a}{8} ve mavi alanların toplamı 30 birimkaredir. Bu dört polinomun başkatsayılarının toplamı nedir?]

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Bir parabolün kökleri 0 ve 1 olduğunda denklemi y=kx(1-x) olur; tepe yüksekliği h=\dfrac{k}{4} ve bu parabolün 0 ile 1 arasındaki alanı \displaystyle \int_{0}^{1} kx(1-x)\,dx=\dfrac{2}{3}h dir.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Parabolün denklemi ve alan bağıntısını kur

  • Tanım: Köklere 0 ve 1 olan parabol için y=kx(1-x).
  • Bu problemde: Tepe yüksekliği h ise h=\dfrac{k}{4}\Rightarrow k=4h.
  • Alan hesabı: \displaystyle \int_{0}^{1} kx(1-x)\,dx = k\int_{0}^{1}(x-x^2)\,dx.
  • \displaystyle \int_{0}^{1}(x-x^2)\,dx = \left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}.
  • Alan = k\cdot\frac{1}{6} = 4h\cdot\frac{1}{6} = \frac{2}{3}h.

Adım 2 — Toplam alan ifadesi ve a bulunması

  • Her bir parabolün tepe yüksekliği: a,\ \tfrac{a}{2},\ \tfrac{a}{4},\ \tfrac{a}{8}.
  • Her birinin alanı \dfrac{2}{3} çarpı yüksekliği olduğuna göre toplam alan:
    \displaystyle \frac{2}{3}\Big(a+\frac{a}{2}+\frac{a}{4}+\frac{a}{8}\Big).
  • Parantez içi: a\Big(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}\Big)=a\cdot\frac{15}{8}.
  • Toplam alan =\dfrac{2}{3}\cdot a\cdot\frac{15}{8}=\dfrac{30}{24}a=\dfrac{5}{4}a.
  • Verilen toplam alan 30 olduğuna göre \dfrac{5}{4}a=30.
  • \displaystyle a=30\cdot\frac{4}{5}=30\cdot\frac{4}{5}=6\cdot4=24.

Adım 3 — Başkatsayılarının toplamı

  • Bir parabol y=kx(1-x)= -k x^2 + kx biçiminde olduğundan baş katsayısı -k’dir.
  • k=4h olduğuna göre her parabole ait başkatsayısı -4h.
  • Başkatsayılar toplamı =-4\big(a+\tfrac{a}{2}+\tfrac{a}{4}+\tfrac{a}{8}\big).
  • Parantez içi daha önce \dfrac{15}{8}a bulunduğuna göre toplam:
    -4\cdot \frac{15}{8}a = -\frac{60}{8}a = -\frac{15}{2}a.
  • a=24 olduğuna göre:
    -\frac{15}{2}\cdot 24 = -15\cdot 12 = -180.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:

  1. Parabolün kökleri ve tepe yüksekliği
  • Tanım: Kökleri 0 ve 1 olan parabol y=kx(1-x) şeklindedir.
  • Bu problemde: Tepe yüksekliği h=\dfrac{k}{4} bağıntısı kullanıldı.
  1. Alan hesabı
  • Tanım: Bir fonksiyonun bir aralıktaki alanı integral ile hesaplanır.
  • Bu problemde: \displaystyle \int_{0}^{1} kx(1-x)\,dx = \dfrac{2}{3}h sonucu kullanıldı.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Kök aralığını yanlış kabul etme

  • Yanlış: Parabolün taban genişliğini 2 veya farklı almak.
  • Doğru: Her parabol birim aralıkta (0-1, 1-2, vb.) olduğu için taban uzunluğu 1’dir.
  • Neden yanlış: Alan formülü yanlış taban uzunluğu ile çarpılır.
  • Düzeltme: Parabolü standart forma koyup integral alarak doğrula.

:cross_mark: Tepe yüksekliğini k ile karıştırma

  • Yanlış: h=k varsaymak.
  • Doğru: h=\dfrac{k}{4}, dolayısıyla k=4h.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

:white_check_mark: CEVAP: -180