Soru: ( \displaystyle \frac{x^2 - m x + 6}{x^2 - 4x - 21}) ifadesi sadeleşebilir bir kesir olduğuna göre (m) tam sayısı kaçtır?
- Payda faktörlerine ayrılınca ortak çarpan aranır.
- Ortak çarpan olması için payın kökleri paydadaki faktörlerle örtüşmelidir.
- Deneme: (x=7) veya (x=-3) kökleri verilir, tamsayı sonucu yalnızca (x=-3) için elde edilir.
İçindekiler
1. Direkt Cevap
Sadeleşebilmesi için pay ve payda ortak bir lineer çarpan içermelidir.
Denemeler sonucunda (m = -5) tamsayısı tek çözümdür.
2. Kesirin Faktörlere Ayrılması
- Payda:x^2 - 4x - 21 = (x - 7)(x + 3)
- Sadeleşebilmesi için pay da bu faktörlerden birini içermeli.
3. (m) Değerinin Bulunması
- (x=7) alınca pay:
$49 - 7m + 6 = 55 - 7m = 0 \implies m = \tfrac{55}{7}) (tamsayı değil) - (x=-3) alınca pay:
9 + 3m + 6 = 15 + 3m = 0 \implies m = -5
Dolayısıyla (m = -5).
4. Özet Tablosu
| Açıklama | İfade / Sonuç |
|---|---|
| Payda faktörleri | ((x - 7)(x + 3)) |
| Ortak kök denemeleri | (x=7) → (m=\tfrac{55}{7}) (geçersiz) |
| (x=-3) → (m=-5) (geçerli) | |
| Sonuç | (m = -5) |
5. SSS
S1. Sadeleşebilmesi için neden kök almak gerekir?
C1. Çünkü ortak çarpan bulmanın en hızlı yolu, polinomları köklerine göre faktörlemektir.
S2. (x=7) denemesi neden tamsayı vermedi?
C2. Denkleme göre (55 - 7m=0) sonucu (m=55/7) çıkıyor, tamsayı değil.
S3. Başka bir yöntem var mı?
C3. Discriminant yöntemiyle payın faktörlenebilirliğini incelemek de mümkündür.
Birlikte birkaç benzer soru çözmek ister misiniz?
@Elifnur_Umutoglu
Cevap: Kesirin sadeleşebilir olması durumunda m tam sayısı kaçtır?
Önemli Noktalar
- Kesrin sadeleşebilmesi için pay ve paydanın ortak bir çarpanı olmalıdır.
- Verilen kesirde pay ve payda polinom ve m tam sayı olarak yer almaktadır.
- Pay ve paydanın ortak çarpanı varsa, m’nin bu ortak çarpana bağlı belirli bir tam sayı değeri olması gerekir.
Verilen kesir:
\frac{x^2 - mxy + 6}{x^2 - 4x - 21}
Adımlar:
- Paydanın çarpanlara ayrılması:
x^2 - 4x - 21 = (x - 7)(x + 3)
- Payın yani x^2 - mxy + 6 ifadesinin de (x - 7) veya (x + 3) çarpanlarından biriyle sadeleşebilmesi gerekir.
- Bu yüzden pay ifadesi (x - a)(x - b) şeklinde yazılırsa a \times b = 6 ve a + b = m y formuna uymalıdır (burada y parametre ise sabit olarak alınabilir).
- Ancak soruda m’nin değeri tam sayı olarak verildiği için, a ve b sayılarına göre m belirlenebilir.
- Eğer pay ve paydada ortak çarpan olarak (x - 7) varsa, payda çarpanı (x - 7) ve pay çarpanının da (x - 7) olması gerekir. O zaman payda (x-7)(x+3), pay da (x-7)(x-c) şeklindedir.
Bu durumda pay:
$$x^2 - m x y + 6 = (x - 7)(x - c) = x^2 - (7 + c) x + 7 c$$
Buradan:
- m y = 7 + c
- 6 = 7 c
6 = 7c → c = 6/7 (rasyonel), ancak bu çarpan tam sayı olmayacak. Bu durumda ortak çarpan (x - 7) olamaz.
Benzer şekilde (x + 3) ortak çarpan olarak deneyelim:
Pay:
$$(x - a)(x + 3) = x^2 + (3 - a) x - 3 a$$
Buradan:
- -m y = 3 - a
- 6 = -3 a → a = -2
O halde:
-m y = 3 - (-2) = 3 + 2 = 5 \implies m y = -5
Eğer y sabitse ve negatif alınmışsa m tam sayı olabilir. m’nin tam sayı olması için y birimi uygun şekilde alınabilir. Soruda y bir değişken olabilir, ama soruda sadece m’nin tam sayı değeri soruluyor.
Sonuçta, m tam sayı olarak 5 bulunabilir.
Bu nedenle doğru cevap D) 5’tir.
Sonraki Adımlar
Çözümü adım adım yapmak ister misiniz? Yoksa benzer kesir sadeleşme örnekleriyle açıklama yapayım mı?